1987考研数学一、二、三真题+答案.pdf

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 1 页 1987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答数学试题参考解答 数数 学（试卷学（试卷）） 一、一、填空题（每小题填空题（每小题 3 分，满分分，满分 15 分分. 只写只写答案答案不写解题过程不写解题过程）） (1) 与两直线 1 1 2 x yt zt 及 121 121 xyz 都平行，且过原点的平面方程是 50 xy (2) 当x 1/ln2；时，函数2xyx取得极小值. (3) 由lnyx与两直线(1)yex及0y 围成图形的面积= 3 / 2 (4) 设 L 为取正向的圆周9 22 yx，则曲线积分dyxxdxyxy L )4()22( 2 的值是 18 . (5) 已知三维线性空间的一组基底 )1 , 1 ,0(, )1 ,0, 1(, )0, 1 , 1( 321 ，则向量 (2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 ) 二、 （本题满分二、 （本题满分 8 分）分） 求正的常数a与b，使式1 sin 1 lim 02 2 0 dt ta t xbx x x 成立. 解：解：假若1b ，则根据洛必达法则有 22 22000 11 limlim()01 sincos x xx tx dt bxxbx atax ， 与题设矛盾， 于是1b . 此时 222 2 1 2220000 2 1112 limlim()lim() sin1 cos x xxx txx dt bxxxxa ataxax ， 即 2 1 a ，因此4a . 三、 （本题满分三、 （本题满分 7 分）分） (1) 设函数, f g连续可微，( ,),()uf x xy vg xxy，求 ,. uv xx 解：解： 1212 ()uxxy fffy f xxx ； () (1) vxxy gyg xx . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 2 页 (2) 设矩阵A和B满足2ABAB，其中A 301 110 014 ，求矩阵B. 解：解：因2ABAB，故2ABBA，即(2 )AE BA， 故 1 (2 )BAEA 522 432 223 . 四、 （本题满分四、 （本题满分 8 分）分） 求微分方程 2 6(9)1yyay的通解.其中常数0a . 解：解：由特征方程 322 2(9)0rra r，知其特征根根为 12,3 0,3rrai . 故对应齐次方程的通解为 33 123 cossin xx yCC exC ex ，其中 123 ,,C C C为任意常数. 设原方程的特解为 *( ) y xAx，代入原方程可得A 2 1 9a . 因此，原方程的通解为 *33 123 ( )cossin xx y xyyCC exC ex 2 1 9a x. 五、五、选择题（每小题选择题（每小题 3 分，满分分，满分 12 分）分） (1) 设常数0k ， 则级数 2 1 ) 1( n nk n n （C） (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛与发散与k的值有关. (2) 设)(xf为已知连续函数， t s dxtxftI 0 )(，0,0st， 则I的值 （D） (A) 依赖于s和t (B) 依赖于s、t、x (C) 依赖于t和x, 不依赖于s (D) 依赖于s, 不依赖于t (3) 设 1 )( )()( lim 2 ax afxf ax ， 则在点xa处 (B) (A) ( )f x导数存在,0)( a f (B) ( )f x取得极大值 (C) ( )f x取得极小值 (D) ( )f x的导数不存在. (4) 设 A 为 n 阶方阵, 且0aA, 而 * A是 A 的伴随矩阵， 则 * A= (C) (A) a (B) a/1 (C) 1n a (D) n a 六、 （本题满分六、 （本题满分 10 分）分） 求幂级数 1 1 2 1 n n n x n 的收敛域，并求其和函数. 解：解：记 1 1 2 n n n ux n ，有 1 1 1 2 limlim (1)22 nn n nn nn n xuxn unx ， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 3 页 令 1 2 x ，知原级数在开区间( 2,2)内每一点都收敛. 又当2x 时，原级数= 11 11 11 ( 2)2( 1) 2 nn n nn nn ，故由莱布尼兹判别法知其收敛； 而当2x 时， 原级数= 11 11 11 22( 1) 2 nn n nn nn ， 显然发散， 故幂级数的收敛域为)2 , 2. 又记 1 1 11 11 ( )( )( ) 22 nn n nn x S xxxxS x nn ，其中 1 1 1 ( )( ) 2 n n x S x n ， 有 1 1 1 1 ( )( ) 21/2 n n x S x x ，于是 1 0 2 ( )2ln() 1/22 x dx S x xx ， 因此幂级数的和函数为 2 ( )2 ln 2 S xx x ， 2,2)x . 七、 （本题满分七、 （本题满分 10 分）分） 计算曲面积分 2 (81)2(1)4 S Ixydydzy dzdxyzdxdy ， 其中 s 是曲线 )31 ( 0 1 y x yz 绕 Y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与 Y 轴 正向的夹角恒大于/2 解解：：S的方程为 22 1yxz，记 1 S： 22 3,()yxz，知 1 SS为封闭曲面，设其 方向取外侧，所围区域为，则由高斯公式，有 1 2 (81)2(1)4 S S Ixydydzy dzdxyzdxdy 1 2 (81)2(1)4 S xydydzy dzdxyzdxdy 1 2 102(1)0 S dvy dydz = 3 2 1 2(1 3 ) yz x DD dydzdxdzdx 3 1 (1)16234ydy . 八、 （本题满分八、 （本题满分 10 分）分） 设函数)(xf在闭区间0,1上可微，对于0,1上的每个x，函数的值都在开区间(0,1) 内，且1)( x f.证明 在(0,1)内有且仅有一个x，使( )f xx 证证：：令( )( )h tf tt，知( )h t在闭区间0,1上连续，又由题设知0( )1f x，于是 有(0)(0)00, (1)(1) 10hfhf . 故由零点定理，在(0,1)内有x，使( )f xx. 假若)(xf在开区间(0,1)内有两个不同的点 1 x和 2 x，使得 11 ()f xx， 22 ()f xx， 不妨设 12 xx，则易见)(xf在闭区间0,1上连续，在(0,1)内可导， 故由拉格朗日定理知， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 4 页 (0,1) ，使得 21 21 ()( ) ( ) f xf x f xx ，即( )1f.此与1)( x f矛盾！故在(0,1)内使 ( )f xx的x只能有一个. 九、 （本题满分九、 （本题满分 8 分）分） 问, a b为何值时，线性方程组 1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 xxxx xxx xaxxb xxxax 有唯一解？无解？有无穷多解？ 并求出无穷多解时的通解. 解：解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得 1111011110 0122101221 () 013200101 321100010 AA b abab aa 1 当1a时，系数行列式 2 (1)0Aa，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解； 2 当1a ，且1b 时， ( )3, ( )2r Ar A， ( )( )r Ar A，故原方程组无解； 3 当1a ，且1b 时， ( )( )24r Ar A，故原方程组有无穷的解. 此时显然有 1111010111 0122101221 () 0000000000 0000000000 AA b 可见其通解为： 12 ( 1,1,0,0)(1, 2,1,0)(1, 2,0,1) TTT xcc ，其中 12 ,c c为任意常数. 十、填空题（每小题十、填空题（每小题 2 分，满分分，满分 6 分）分） (1) 在一次试验中事件 A 发生的概率为p，现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率 为 n p)1 (1；而事件 A 至多发生一次的概率为 1 )1() 1(1 n ppn. (2) 三个箱子，第一个箱子有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个白球 3 个黑球，第三 个箱子中有 3 个黑球 5 五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个 球为白球的概率为 53/120 ， 已知取出的是白球， 此球属于第二箱的概率是20/53. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 5 页 (3) 已知连续随机变量 X 的密度为 12 21 )( xx exf ，则 X 的数学期望为 1 ；X 的 方差为 1/2 . 十一、 （本题满分十一、 （本题满分 6 分）分） 设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为 它其0 101 )( x xfX ； 00 0 )( y ye yf y Y ， 求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数( ) z f z. 解：解：由题设，(, )X Y的联合密度为 01,0 ( , )( )( ) 0 y XY exy f x yfx fy 其 它 ， 故Z的分布函数 2 ( )()(2)( , ) z x y z F zP ZzPXYzf x y dxdy ， 1 当0z 时， 2 ( )00 z x y z F zdxdy ，此时( )00 z f z； 2 当02z时， 2 0000 1 ( ) 22 z y zzz yyy z z F zdye dxe dyye dy ，此时 0 11 ( )( )(1) 22 z yz zz fzF ze dye ； 3 当2z 时， 121 22 000 1 ( )(1)1(1) 2 zx yx zz z F zdxe dyedxee ，此时 2 1 ( )( )(1) 2 z zz f zF zee 综上所述，Z=2X+Y 的概率密度函数为( ) z fz 1 2 2 1 2 00 (1)02 (1)2 z z z ez eez 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1987 年数学试题参考解答 1987 年 第 6 页 数数 学（试卷学（试卷）） 一、一、 （本题满分（本题满分 15 分）分） 【 同数学、第一题 】 二、 （本题满分二、 （本题满分 14 分）分） (1)（（6 分）分）计算定积分 2 | | 2(| |). x xx e。