曲线、曲面积分小结.ppt

第十章曲线、曲面积分第十章曲线、曲面积分小结小结一一 基本要求基本要求1．．理理解解两两类类曲曲线线和和曲曲面面积积分分的的概概念念, ,了了解解两类积分的性质以及两类积分的关系两类积分的性质以及两类积分的关系. .2．掌握计算两类曲线、曲面积分的方法．掌握计算两类曲线、曲面积分的方法.3．．掌掌握握格格林林公公式式并并会会运运用用平平面面曲曲线线积积分分与路径无关的条件与路径无关的条件.4. 掌握高斯公式掌握高斯公式,并会用公式求曲面积分并会用公式求曲面积分.5．．会会用用曲曲线线积积分分和和曲曲面面积积分分求求一一些些几几何何量量与与物物理理量量（（弧弧长长,质质量量,重重心心,转转动动惯惯量量,引力、功和流量等）引力、功和流量等）. . 二二. .要点提示要点提示弧微分弧微分设设L：：（（1）对弧长（第一类））对弧长（第一类）1.曲线积分的计算曲线积分的计算——化为定积分计算化为定积分计算（（2）对坐标（第二类））对坐标（第二类）设设L：：有方向有方向2．曲面积分的计算．曲面积分的计算（化为二重积分）（化为二重积分）若若（（1）对面积（第一类）的曲面积分）对面积（第一类）的曲面积分向向xoy面的投影为面的投影为 则则投影投影投影投影（（2）对坐标（第二类）的曲面积分）对坐标（第二类）的曲面积分若若 上侧，则上侧，则若若 下侧，则下侧，则有方向有方向3.格林公式格林公式 ---- 平面上曲线积分与二重积分的关系平面上曲线积分与二重积分的关系4.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件L取正向取正向.以及等价关系以及等价关系.设有界闭区域设有界闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成,5. .高斯公式高斯公式 —— —— 曲面积分与三重积分的关系曲面积分与三重积分的关系6.两类积分之间的关系：两类积分之间的关系：的法向量的法向量L的切向量的切向量曲线曲线:曲面曲面:三三.两类曲线两类曲线( (曲面曲面) )积分的典型问题积分的典型问题一般曲线积分化成定积分计算，一般曲线积分化成定积分计算，一般曲面积分化成二重积分计算，一般曲面积分化成二重积分计算，封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分.封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分.第一类曲线积分的求法第一类曲线积分的求法1.基本方法：基本方法：由积分曲线的表达式求出由积分曲线的表达式求出弧微分元素弧微分元素，，定积分定积分定限定限：下限小于上限：下限小于上限.将积分曲线将积分曲线代入代入被积函数，被积函数，2.利用积分性质利用积分性质:解解 3.计算中注意利用对称性计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性奇偶性、轮换性因为积分曲线因为积分曲线L关于关于y轴对称轴对称，函数，函数 2xcosy是是例例 设设L为椭圆为椭圆其周长为其周长为a，求，求解解 原式原式=x的奇函数的奇函数，因此有，因此有而而所以所以 第二类曲线积分的求法第二类曲线积分的求法1.基本方法：基本方法：由积分曲线的表达式确定定积分的由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量积分变量，，将积分曲线将积分曲线代入代入被积表达式，被积表达式，定积分定积分定限定限：起点对应下限，终点对应上限：起点对应下限，终点对应上限.2.利用格林公式利用格林公式(1)积分曲线为封闭曲线积分曲线为封闭曲线,直接化为二重积分直接化为二重积分（满足定理条件）（满足定理条件）(2)积分曲线为非封闭曲线积分曲线为非封闭曲线,添加曲线添加曲线(较简单较简单)使之成为封闭曲线使之成为封闭曲线, 原曲线积分化为一个原曲线积分化为一个二重积分减去在添加曲线上的曲线积分二重积分减去在添加曲线上的曲线积分.记记L所围的区域为所围的区域为D，易知，易知D是边长为是边长为 的正方形区域的正方形区域.例例1 1 设设L L为为 的反时针方向，则的反时针方向，则 (A)0；； (B)2；； (C)4；； (D)1．．解解由已知，由已知，则则由格林公式，得由格林公式，得B解解 为用格林公式为用格林公式, 它与它与L所围区域为所围区域为D , 则则原式原式添加辅助线段添加辅助线段原式原式3.利用曲线积分与路径无关的条件利用曲线积分与路径无关的条件(1)改变原积分路径，使得原积分简化改变原积分路径，使得原积分简化.(2)已知已知 是某函数的全微分，是某函数的全微分，求出该函数，即求出该函数，即4. 有奇点的曲线积分有奇点的曲线积分例例4 设设取逆时针方向，取逆时针方向，求求解解 取取构造构造l：：顺时针顺时针已知已知于是，于是，由格林公式由格林公式第一类曲面积分的求法第一类曲面积分的求法由积分曲面表达式确定曲面向一坐标面由积分曲面表达式确定曲面向一坐标面投影投影，，将积分曲面将积分曲面代入代入被积函数，被积函数，求出求出曲面面积元素曲面面积元素向向xoy面面投影：投影：1.基本方法：基本方法：2.计算中注意利用对称性计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性奇偶性、轮换性关于关于xoy面对称面对称，被积函数是，被积函数是z的偶函数的偶函数.解解 由对称性（轮换性）由对称性（轮换性）问题：问题： 第二类曲面积分的求法第二类曲面积分的求法上侧取上侧取“+”,下侧取下侧取“ ”对坐标对坐标 x,y 的积分：的积分：积分曲面向积分曲面向xoy坐标面坐标面投影投影，，将积分曲面将积分曲面代入代入被积函数，被积函数，由积分曲面的侧确定二重积分的由积分曲面的侧确定二重积分的符号符号.分三项计算分三项计算1.前侧取前侧取“+”,后侧取后侧取“ ”右侧取右侧取“+”,左侧取左侧取“ ”对坐标对坐标 y,z 的积分：的积分：对坐标对坐标 x,z 的积分：的积分：2.利用高斯公式利用高斯公式(1)积分曲面为封闭曲面积分曲面为封闭曲面,直接化为三重积分；直接化为三重积分；(2)积分曲面为非封闭曲面积分曲面为非封闭曲面,添加曲面添加曲面(较简单较简单)使之成为封闭曲面使之成为封闭曲面, 原曲面积分化为一个原曲面积分化为一个三重积分减去在添加曲面上的曲面积分三重积分减去在添加曲面上的曲面积分.例例6 6 计算计算解解 曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, , 为利用高斯公式为利用高斯公式关于关于yoz面对称面对称，，被积函数关于被积函数关于x是奇函数是奇函数原式原式故所求积分为故所求积分为3. 坐标转换坐标转换下侧下侧 把三个积分合并把三个积分合并,只向坐标面只向坐标面xoy投影投影分析分析解解 把三个积分合并把三个积分合并, ,只向坐标面只向坐标面xoy投影投影下侧下侧4. 注意有奇点的曲面积分注意有奇点的曲面积分例例8 求求其中其中上侧上侧.解解 设设 取取 2 2为半球面：为半球面：则原式则原式 下侧下侧 取取 3 3为平面为平面（下侧）：（下侧）：  添加平面：添加平面：使使 成为封闭曲面的内侧，成为封闭曲面的内侧，原式原式由高斯公式由高斯公式上侧上侧所包围区域为所包围区域为两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系是是 的法向量的法向量.。