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《天体物理中的辐射机制》授课教师：吴学兵（北大天文系）研究生课程2013.12.2 子的轫致辐射？ 2、写出以速度v和瞄准距离b入射的电子在离子有心力场中产生轫致辐 射的主要辐射频率表示式？定性说明为何轫致辐射谱功率P(v,)只随频 率而缓慢变化？ 3、何为冈特(Gaunt)因子？写出经典近似下冈特因子在低频时的表示式 在高频时其值一般大约为多少？ 4、用量子力学推导轫致辐射截面公式时一般采用何种近似？它的适用条 件是什么？比它更精确的是什么公式分别写出这些近似下的冈特因子 表示式 5、单个非相对论电子的轫致辐射总功率与电子速度和离子密度有何关系 ？电子系集体轫致辐射的谱发射系数与电子密度和温度、离子密度有何 关系？ 6、电子系集体的热轫致辐射谱在低频和高频分别有何特点？它常被用来 解释宇宙X射线源的何种观测现象？ 7、何为自由-自由吸收？对热平衡等离子体，在高频和低频时自由-自由 吸收系数与频率各有何关系？自由-自由吸收在哪些情况下不能忽视？12月2日复习题五、轫致辐射(bremsstrahlung radiation)参考：尤峻汉 书第6章Ribicki & Lightman书第5章Shu书第15章五、轫致辐射(bremsstrahlung radiation)轫致辐射: 等离子体中电子与离子发生近碰，库仑力 使电子获得加速度从而产生辐射。

轫致辐射是无磁场的热等离子体中主要的辐射机制 在轫致辐射影响下，热等离子体将逐渐冷却系团Soft X-ray image of solar flareRadio emission of HII region NGC 3603Radio emission of Orion NebulaLunar occultation of Sco X-1 (by ROSAT) X-ray emission of Coma cluster of galaxies 由于两个具有相同荷质比的粒子(如两电子)不会有 辐射(因质心作匀速运动，无加速度)，因此只考虑 电子与离子碰撞产生的辐射又因电子和负离子间 是库仑斥力而使它们难以靠近，因此电子与负离子 碰撞产生的轫致辐射可以忽略电子沿双曲线作加速运动的过程中辐射光子，电子 的瞄准距离b代表电子在远离离子时的直线轨道至离 子的垂直距离严格来说，轫致辐射是量 子过程(电子的自由-自由 跃迁)，当辐射光子能量可与热电子能量比较时，必 须用量子理论处理但以下仍着重经典理论分析定性讨论：对速度为v, 瞄准距离为b的入射到正离子有心力场中的 电子，其主要轫致辐射频率为 。

由于轫致辐射光子能量来自热电子动能，因此热运动 速度大的电子产生频率较高的轫致光子另外对近距 碰撞(b小)，电子加速度大，应对应于较高轫致频率对给定速度v的电子，与正离子发生远距离碰撞次数比 近碰撞多，产生的低频光子数远多于高频光子，但低 频光子能量h远小于高频光子，因此对给定速度v的电 子，轫致谱功率P(v,)为一很平的谱，P(v,) 只随频率 而缓慢变化这与定量推导得到的结果一致1、电子运动方程电子与离子碰撞时可认为离子不动，只讨论电子在 静止离子的有心力场中的运动 在极坐标(r, )中，由能量守恒和角动量守恒得到：E和M分别代表电子的总能量和角动量消去时间参量t, 得到r~关系，即电子轨道方程：适当选择的起点使常数为零，并引入：此即圆锥曲线方程，P为半通径，为偏心率 当E0时，1，电子轨道为双曲线(hyperbolic)，碰 撞问题中总有E0(因无穷远处位 能V=0，动能T0)近心点(=0) 到力心的距离为： a为双曲线的“半轴”，对dt/dr进行积分，得到用和a代替M和E，则利用代换 ，积分变为：适当选择计时原点使c=0，即得r~t的参数关系式：用电子的笛卡尔坐标 x=rcos, y=rsin 得到和a与M和E有关，在讨论碰撞问题时常用电子在无 穷远处的初始速度v及电子对离子的瞄准距离b,电子经过离子近旁后的散射角(电子入射与出射方 向间夹角)由下式决定：a代表电子受到90o散射(= 90o)时具有的瞄准距离， 电子轨道方程可改写为：式中以上方程只是对电子运动的近似描写，事实上由于轫 致辐射，电子能量将逐渐减少。

仅当辐射光子能量远 小于电子能量时，能量守恒才近似满足2、轫致辐射的谱分布• 经典公式及其适用范围 电子运动方程电子在单位时间中在单位频率间隔 中辐射的能量谱功率 对给定入射速度v的电子, 不同的瞄准距离b近似对应 于不同的辐射频率. 电子仅在近心点附近获得较大 加速度并引起辐射，加速时间的量级为 ，叫做 碰撞时间只有当和满足 时，该频率的辐射才 是显著的由此可估计一个具有参量b,v的电子的辐 射频率：可见，速度大的电子产生的轫致辐射频率高，较小 的瞄准距离对应于较高的辐射频率严格来说，对给定b,v的电子其辐射远非单色，上式 给出的只是该电子的主要辐射频率举例：对v=108cm/s(Te~105K)的热电子，假如产生 低频射电辐射( )，可求得双曲线轨道偏心率表示轨道近似为直线，电子几乎未受 离子场加速，故低频辐射的确来自远距离的碰撞定量计算入射电子沿双曲线轨道运动的轫致辐射谱 ，应采用非相对论电子作非周期运动情况下的谱公 式：可见需求出偶极矩或其二阶导数 的傅里叶分量 由电子轨道方程 可求 的傅氏分量位矢 的参数形式为：的傅氏分量由下式给出：由而对 直接作傅氏展开得到 故由于而作积分变量的替换(t), 即：得到x(t), y(t)的傅氏分量为：按Bessel函数理论，有称为含虚宗量的第一类Henkel函数, 表示 对宗量ix的导数。

偶级矩d的傅氏分量为：及代入谱分布公式上式给出了以初速v,瞄准距离b入射电子与正离子碰 撞产生频率为的单色辐射总能量电子与负离子的碰撞情况完全类似，只是傅氏分量与上述情况相差一个因子 求出的也要乘上一指数衰减因子 ，因而辐射较弱在低频( )及远碰撞( )情况下，注意到利用Henkel函数近似式式中 ，c是Euler常数(0.577)， ， 曲线如图 可见辐射主要集中在 的范 围中， 的高频辐射可忽略现求初速为v的电子的轫致辐射的谱功率P() 先求它在离子电量为Ze, 离子密度为Nz的等离子体 中穿行时，以瞄准距离b-b+db和离子碰撞的次数考虑以围绕电子速度方向的环形 面积 为底，以电子速度v为 高的圆柱壳层，其中正离子数为，此即单位时间里电子以瞄准距离b-b+db 和离子碰撞的次数b值越小,碰撞次数越少，辐射 的高频光子数目越少，因此单电子的轫致辐射谱功 率应随频率的增加而下降 将 乘以单位时间碰撞次数 ，再对b从0到 积分，即得电子的谱功率P()，用代替b作积分变量，由 得 ，代 入上式，即有：利用Henkel函数性质求出积分，即得到初速为v的电 子的轫致辐射的谱功率公式：显然，P()与速度有关，即P()= P(,v)。

A：在低频极限下， (小角度散射， ，轨道近 于直线)低频率时只有大的的区间才重要，大的对应于，因此近似有：利用Henkel函数近似式(当xkT), 正比于  -3故高频部分吸收 很弱，如对X射线，等离子体几乎不产生吸收低频时(h离子库仑势 对极端相对论电子，当终态动量 时，有：而当终态动量 时，有：特别当 ，即 时， 可见， 将随频率 的下降而缓慢增大这表明 相对论电子的轫致谱形 的定性行为和非相对论电 子相同，即频率越低，辐射越强对极端相对论电子，辐射总功率为：其中对相对论电子集体的轫致辐射，若电子具有热分布， 轫致辐射单位体积总功率(erg/s/cm3)为：其中括号内第二项为相对论改正7、对轫致辐射的补充讨论•电子-原子碰撞产生的轫致辐射电子和原子碰撞也会引起电子加速，产生轫致辐射， 但发射率远小于电子-离子碰撞因原子中电子云对 核子库仑场的屏蔽效应，只有当入射电子瞄准距离 b不超过原子半径Ra时，入射电子才能穿进原子中 电子云，受到原子核库仑场作用，产生碰撞加速如电子-原子碰撞截面取为 ，电子-离子碰撞截 面近似取为 ，则两者发射率之比为(Na和 Ni分别为原子和离子数密度)：可根据上式对等离子体中电子-原子碰撞产生的轫致 辐射进行估计。

如对由氢组成的等离子体，Z=1， 若电离度为50%，T~10000K，则有：•电子-电子的四极矩辐射 电子-电子碰撞不会产生偶级辐射，但仍然可产生 四极矩辐射，但其辐射功率一般远小于偶级辐射， 只是偶级辐射的 的量级但对很高温度的热 等离子体，四极辐射不可忽略对具有Maxwell速 度分布的等离子体，有如下Gould公式(Ne和NZ为电 子和离子密度)：。