九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》练习题.docx

九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．52．已知一元二次方程 的两个根分别为 和 ，且 ，则 的值为（     ）A． B． C． D．3．已知关于x的方程的两实数根为，，则m的值为（    ）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或34．已知：关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（    ）A． B． C． D．5．已知抛物线，当时，；当时，．下列判断：①；②若，则；③已知点，在抛物线上，当时，；④若方程的两实数根为，，则．其中正确的有（    ）个．A．1 B．2 C．3 D．46．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．方程的两根分别为，则等于（    ）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．38．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）A．2022 B．2026 C．2030 D．20349．定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ）A． B． C．且 D．且10．下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（    ）①若，则；②若方程两根为1和－2，则；③若方程有一个根是，则A．①②③ B．①② C．②③ D．①③二、填空题11．一元二次方程2+ m x +3m＝0的两个实根分别为，，若＝1，则m=_________，＝_____．12．已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为______．13．若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______．14．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有___．（填序号）①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（ m x ＋n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．15．规定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是 _____．三、解答题16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：(1)若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；(2)若（x﹣1）（ m x ﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．17．已知关于的一元二次方程有，两个实数根．(1)求的取值范围；(2)若，求及的值；(3)是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．参考答案与解析：1．B【分析】根据根与系数的关系x1+x2代入计算即可．【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，∴x1+x22，故选：B．【点睛】此题考查了根与系数的关系，设x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则有x1+x2，x1•x2=．2．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得，代入代数式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别为 和 ，∴，∵，，∴，∴，，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．3．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由，可得，然后一元二次方程根的判别式，可得，即可求解．【详解】解：∵关于x的方程的两实数根为，∴， ∵，∴，∴，解得：，∵方程有两个实数根，∴解得：，∴m=-3．故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．4．D【分析】利用一元二方程的求根公式求出两根，即可得出结论．【详解】解：是关于的一元二次方程，，由求根公式，得，∴或，∵，，∴，，∴，解得，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式是解本题的关键．5．C【分析】利用根的判别式可判断①；把，代入，得到不等式，即可判断②；求得抛物线的对称轴为直线x=b，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④．【详解】解：∵a=>0，开口向上，且当时，；当时，，∴抛物线与x轴有两个不同的交点，∴，∴；故①正确；∵当时，，∴-b+c<0，即b>+c，∵c>1，∴b>，故②正确；抛物线的对称轴为直线x=b，且开口向上，当x1时，b>，∴则x1+x2>3，但当c<1时，则b未必大于，则x1+x2>3的结论不成立，故④不正确；综上，正确的有①②③，共3个，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系等知识，解题的关键是读懂题意，灵活运用所学知识解决问题．6．B【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．7．C【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵方程的两根为，∴．故选：C．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：．8．C【分析】先根据一元二次方程的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵是方程的实数根，∴，∴，∴，∵，是方程的两个实数根，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．也考查了一元二次方程的解．9．C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，∴．整理得，．∵方程有两个实数根，∴判别式且．由得，，解得，．∴k的取值范围是且．故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．10．A【分析】把b=a+c代入判别式中得到=（a-c）2≥0，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到，根据根的定义可得，于是可对②进行判断；由方程的根的定义可得，即可对③进行判断．【详解】解：a-b+c=0，则b=a+c，=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正确；∵方程ax2+bx+c=0两根为1和-2，∴，则，∴，所以②正确；∵方程有一个根是，∴∴∴所以③正确．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．11．     ﹣2，     ﹣3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝1，＝，∴m＝﹣2，∴＝＝﹣3．故答案为：﹣2，﹣3．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系“一元二次方程a+bx+c＝0(a≠0)的两个实根分别为，，则x1+x2＝﹣，＝”是解题的关键．12．2【分析】设A(x₁，0)，B(x₂，0)，则．由根与系数的关系把x₁+x₂，x₁x₂用含m的代数式表示出来，再代入上式计算，再利用配方法求出AB的最小值即可．【详解】设A(x₁，0)，B(x₂，0)，由根与系数的关系得 x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-2，则===当m=2时，(m-2) ²=0此时有最小值为，∴AB的长的最小值为2．故答案为：2【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，以及用配方法求二次三项式的最小值．综合运用以上知识是解题的关键．13．1【分析】将利用多项式的乘法计算得含有m+n和m n的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求得m+n及m n的值，将其代入化简后的式子即可求解．【详解】解：∵，为一元二次方程的两个实数根，∴m+n=2，m n=-2，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解本题的关键．14．①④##④①【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断．【详解】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，故①正确；②当m≠0，n≠0时，（x+1）（m x+n）＝0，则x1＝﹣1，x2 ，∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（m x＋n）＝0是关于2的等距方程；当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即＝4，∴b＝﹣4a，故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；④对于方程px2﹣x＝0有两根满足x1＝3x2，由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，∴x1x2＝×＝（x1+x2），∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，∴x。