反射定律和折射定律的证明.pdf

由费马原理证明光的折射定律和反射定律由费马原理证明光的折射定律和反射定律 证明：证明：首先证明反射定律：首先证明反射定律：设在下图中A为光源，B为接收器，其坐标分 别为A（x 设在下图中A为光源，B为接收器，其坐标分 别为A（x1 1,0,z,0,z1 1）、B（x）、B（x2 2,0,z,0,z2 2）设反射面放在z=0处，P（x,y,0）为光 线与反射面相接触的点 根据勾股定理，光线APB的总长度为： R ）设反射面放在z=0处，P（x,y,0）为光 线与反射面相接触的点 根据勾股定理，光线APB的总长度为： R1 1+R+R2 2= 根据费马原理，P点应在使光线的光程 为极值的位置，微积分上即是求： 将R = 根据费马原理，P点应在使光线的光程 为极值的位置，微积分上即是求： 将R1 1+R+R2 2代入上面第一式，得：代入上面第一式，得： O A(x O A(x1 1,0,z,0,z1 1) B(x ) B(x2 2,0,z,0,z2 2) P(x,y,0) z y x ) P(x,y,0) z y x R R1 1 R R2 2 反射面反射面 22 2 2 2 22 1 2 1 )()(yxxzyxxz+++++ 0)( 21 =+ RRn y 0)( 21 =+ RRn x 0)()( 21 21 =+=+ R y R y nRRn y 上式若成立，只有当上式若成立，只有当y=0，这就意味着反射发生在垂直于反射面的平面内， 入射线、法线、反射线在同一平面内。

将R ，这就意味着反射发生在垂直于反射面的平面内， 入射线、法线、反射线在同一平面内 将R1 1+R+R2 2代入上页第二式，得： 综合上式可得： i 代入上页第二式，得： 综合上式可得： i1 1= i= i1 1 即：入射角等于反射角即：入射角等于反射角 其次证明折射定律：其次证明折射定律： 不失一般性，设在后图中A为光源，B为接收器，均位于y=0平面上，其 坐标分别为A（x 不失一般性，设在后图中A为光源，B为接收器，均位于y=0平面上，其 坐标分别为A（x1 1,0,z,0,z1 1）、B（x）、B（x2 2,0,z,0,z2 2）设折射面放在z=0处，将折射率 为n和n ）设折射面放在z=0处，将折射率 为n和n的两种介质分开，P（x,y,0）为光线与折射面相接触的点的两种介质分开，P（x,y,0）为光线与折射面相接触的点 0)()( 2 2 1 1 21 = + =+ R xx R xx nRRn x z x O A B z x O A B R R1 1R R2 2 i i1 1 I I1 1 x-xx-x1 1x x2 2-x-x 1 1 1 sini R xx = 1 2 2 sini R xx = 根据勾股定理，光线AP和PB的几何长度为： 光线APB的光程为： 根据费马原理，P点应在使光线APB的光程为极值的位置，即求： 由前一式，得： 上式意味着折射发生在垂直于折射面的平面 内，入射线、法线、折射线在同一平面内。

再设入射角为 根据勾股定理，光线AP和PB的几何长度为： 光线APB的光程为： 根据费马原理，P点应在使光线APB的光程为极值的位置，即求： 由前一式，得： 上式意味着折射发生在垂直于折射面的平面 内，入射线、法线、折射线在同一平面内 再设入射角为i、折射角为、折射角为i，则由后一式， 可得： ，则由后一式， 可得： O A(x O A(x1 1,0,z,0,z1 1) B(x ) B(x2 2,0,z,0,z2 2) P(x,y,0) z y x ) P(x,y,0) z y x R R1 1 R R2 2 折射面折射面 22 2 2 22 22 1 2 11 )(,)(yxxzRyxxzR++=++= 0)( 21 =+ RnnR y 0)( 21 =+ RnnR x n n n n 21 RnnRS+= 0 21 =+ R y n R y n 0=y z x O A B z x O A B R R1 1 R R2 2 i i i i x-xx-x1 1 x x2 2-x-x i n n i n n P P 0 2 2 1 1 = + R xx n R xx n 而同时 综合上三式 ，有： 此即为折射定律第二条，折射角 的正弦与入射角的正弦之比与入 射角的大小无关，仅由两种介质 的折射率决定。

而同时 综合上三式 ，有： 此即为折射定律第二条，折射角 的正弦与入射角的正弦之比与入 射角的大小无关，仅由两种介质 的折射率决定 1 1 sin R xx i = 2 2 sin R xx i = sin sin n n i i = 。