线性代数与空间解析几何：3.1 空间直角坐标系.ppt

返回3.1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、 向量的概念三、向量的线性运算四、向量在轴上的投影五、 线性运算的几何意义六、向量的模与方向余弦返回返回一、空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系与向量 三个坐标轴的正方向符合右手系.zyxox轴:横轴；y轴：纵轴；z轴：竖轴返回oxyz符合右手系 .oxyzoxyz不符合 右手系 .返回空间直角坐标系共有八个卦限yoz面zox面xoy面返回空间的点M有序数组(x, y, z)特殊点的表示:坐标轴上的点P, Q , R,坐标面上的点A, B, C,.返回例 在Oxyz坐标系中表示以下三个点： M1(1, 2, 3), M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3).M1xyzO123.返回xyzO2-1M2xyzO12-3M33.返回二、 向量的概念 向量：既有大小又有方向的量.以A为起点，B为终点的有向线段.向量的模：向量的大小. 单位向量：模为1的向量.零向量：模为 0 的向量. （模又称为长度或范数）.AB向量的表示：AB|AB|a返回相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.自由向量：不考虑起点位置的向量.返回向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量. 返回三、向量的线性运算1. 向量的分量：把向量 作平行移动，使其起点与原点重合。

设其终点A的坐标为(a1, a2, a3), 则称a1, a2, a3为向量 的分量或坐标，记为 =(a1, a2, a3).OAa1a2a3返回2. 向量的线性运算定义 设 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), + = (a1 +b1, a2 +b2, a3+ b3), k =(ka1, ka2, ka3 ). + 称为加法， k 称为数乘. 加法与数乘统称为线性运算. - = +（- ） = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3). 返回3. 线性运算满足的运算规律(1) + = + ;(2) ( +) + = +( +);(3) + 0 = ;(4) +(- ) = 0 ;(5) 1 = ;(6) k(l ) = (kl) ;(7) k( +) = k +k ;(8) (k+l) = k +l .返回4. 基向量与线性表出单位向量称为基向量.=(a1, a2, a3)=(a1, 0,0)+(0, a2, 0)+(0, 0, a3)称可由线性表出xyzO返回四、向量在轴上的投影 1. 空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.返回2. 空间一点在轴上的投影返回3. 向量在轴上的投影过空间点A,B作平面与轴 u垂直，与轴 u相交于A, B,向量 AB 在轴 u上的投影定义为AB|AB|, AB与u同向- |AB|, AB与u反向返回向量在轴上的投影有以下两个性质：u上的投影等于向量的模乘以(1)向量AB在轴轴与向量的夹角的余弦：证返回由性质1容易看出：投影为负；投影为零；(4) 相等向量在同一轴上投影相等；投影为正；返回（2）（可推广到有限多个）返回利用勾股定理从图中可得在三个坐标轴上的投影.向量OA的坐标a1, a2, a3分别是OA|OA|kOA|OA|返回五、线性运算的几何意义所以，OAPB是平行四边形.设则故经平行移动后可与重合.故 /同理：xyOAPBa1+b2b2a2b1a1a1+b1返回1. 平行四边形法则是以为边的平行四边形的对角线.平行四边形法则也可表示为三角形法则 : 返回2. 伸缩变换(1) 0,与同向；(2) = 0,(3) 0,与反向.返回例1. 非零向量单位化.设向量则返回例2. 证明：三角形的中位线平行于底边且等于 底边的一半.证 设DE是中位线， DE = DA + AE = BC. = BA + AC = (BA + AC) ABCED返回例3. 设M1(x1, y1, z1) , M2(x2, y2, z2)为空间二点. (1) 求 |M1M2|; 解. OM2M1 M1M2= OM2 - OM1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) |M1M2| = 这就是空间两点间的距离公式. 返回(2) 设M为 若M为M1M2的中点，则M的坐标为 M1M2上一点，求M的坐标.解. M1M2M设M的坐标为(x, y, z),由M1 M = M M2 得, (x - x1, y - y1, z - z1) = (x2 - x, y2 - y, z2 - z) x - x1 = (x2 - x),返回六、向量的模与方向余弦非零向量 与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.返回称为向量 的方向余弦.由图示可知a1返回方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为返回解例4返回返回解例5。