高一数学直线方程知识点归纳及典型例题高中教育.docx

求直线的点斜式方程和一般式方程.[答案]y1(x3)3x3y3330[解析]因为直线倾斜角是30，析]〔1〕由点斜式方程得y(2)(x8)，化成一般式得x+2y―4=0．1，化成一般式得2x―y―3即4x5y+1=0，解方程组4x5y102xy1031由入射点与点A的坐标得入射光线方程为13322方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程〔如斜率为2，在y轴上ABC C A当 B=0 ，A≠0时，方程可变形为 Ax+C=0 ，即 x A ，它表示一条与 x 轴垂直的直线．也可以是 x y 0 ，还可以是 4x―2y+2=0 等． 〕.直线的一般式方程与综合[学习目标]1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表 示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.[要点梳理]要点一：直线方程的一般式关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线． 我们把方程写为 Ax+By+C=0 ，这个方程(其中 A、B 不全为零) 叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B 不全为零才能表示一条直线，若 A、B 全为零则不能表示一条直线..当 B≠0时，方程可变形为 y xB ，它表示过点 0, B ，斜率为 B 的直线．C由上可知，关于 x、y 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于 x、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可 以对应着无数个关于 x、y 的一次方程〔如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线， 其方程可以是2x―y+1=0 ，1 12 2要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称点斜式斜截式两点式截距式一般式方程的形式y―y1=k(x―x 1)y=kx+by y x x1 12 1 2 1x ya b Ax+By+C=0 〔 A2+B2 ≠0〕常数的几何意义〔x1 ，y1 〕是直线上一定点， k 是斜率 k 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距〔x1 ，y1〕，〔x2 ，y2 〕是直线上两定点a 是直线在 x 轴上的非零截距， b 是直 线在 y 轴上的非零截距A、B、C 为系数适用 X 围不垂直于 x 轴不垂直于 x 轴不垂直于 x 轴和 y 轴不垂直于 x 轴和 y 轴， 且不过原点任何位置的直线y y x x1要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式， 要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率 ， (y2 y1)(x―x 1)―(x 2 首先要判断是否满足两点式是点斜式 的特 例 ，其 限制条件更 多〔 x1 ≠ ，y1 ≠ 〕，应用 时若采用 x1)(y―y 1)=0 的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时， 线在两坐标轴上的截距存在且不为零 这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同， 得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1． 已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式， 求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同， 考虑的方向也不同．B点后被直线y=x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D〔－1，6〕．求BC所在直截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意意在这两种形式中都要求直线存在斜率，(y2y1)(x―x1)―(x2首先要判断是否满足两点式是点斜式而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有目决定解法〞之说．〔2〕在求直线方程时，要恰当地1k x12b1b ) ；211k．1 2l12AB1 20 B C1 2；B y C 0,l : A xB y C01 1 2 2A A B B 01 2 1 22 2AB A B 0且 AC A C0或B CB CA0 ，记忆式〔 1AB1BC1 〕 C1 22 1与l 重合，于 是 与 直 线 AxBx Ay D 0.A B 02 1By C，0AC A C，1 2 2 1平 行 的 直 线可 以 设 为B C 02 1Ax By D 022〔3 〕在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 3；12〔2 〕由斜截式得 y=2，化为一般式得 y―2=0．x 3〔3 〕由截距式得y3b〔1 〕从斜截式考虑已知直线l : yl // l1 2 1.,l : y k x b ,2 2 2k k (b1 2 1.l1l21 2 2tan 1cot k2 11k2k k 11 2于是与直线 y kx b 平行的直线可以设为y kx b ；垂直的直线可以设为 yx2〔2 〕从一般式考虑：l : Ax1l11l2l // l1 2 2 1 1 2 2 12垂 直 的 直 线可 以 设 为[典型例题]类型一：直线的一般式方程例 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．1〔1 〕斜率是 2 ，经过点 A〔8， 2〕；〔2 〕经过点 B〔4，2〕，平行于 x 轴；32 ，〔4 〕经过两点 P1〔3， 2〕，P2〔5， 4〕．[答案]〔1〕x+2y―4=0〔 2〕y―2=0〔 3〕2x―y―3=0〔 4 〕x y 1 0[解析] 〔 1 〕由点斜式方程得 y ( 2) (x 8) ，化成一般式得 x+2y―4=0．1 ，化成一般式得 2x―y―3=0．2〔4 〕由两点式得 y 24(2) x 353 ，化成一般式方程为 x y 1 0．[总结升华]本题主要是让学生体会直线方程的各种形式， 以与各种形式向一般式的转化， 对于直线方程 的一般式，一般作如下约定： x 的系数为正， x ，y 的系数与常数项一般不出现分数，一般按含 x 项、 y 项、 常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：l与直线3x+4y+1=0平行，∴k334解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x是用坐标法解决生活问题，点P的位置由两个条件确定，一是A、P、B三点共线，二是矩形的面积最大．，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有目决定解法〞之说．〔2〕在求直线方程时，要恰当地33y 1 (x 3) ，化成一般式方程为： 3x 3y 3 3 3 0 .34．1又∵ l 经过点〔 1，2〕，可得所求直线方程为 y 2 (x 1) ，即 3x+4y―11=0．1 21 2 1 223.[变式 1]已知直线l 经过点 B(3, 1) ，且倾斜角是30 ，求直线的点斜式方程和一般式方程..[答案] y 1 (x 3) 3x 3y 3 3 3 0[解析]因为直线倾斜角是30 ，所以直线的斜率k tan tan30333 ，所以直线的点斜式方程为：例 2． ABC 的一个顶点为 A( 1, 4) ， B 、 C 的平分线在直线 y 1 0和 x y 1 0上，求直线 BC 的方程.[答案] x 2y 3 0[解析]由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得 A 点关于 B 的平分线的对称点 A' 在 BC 上， B 点关于 C 的平分线的对称点B' 也在 BC 上．写出直线 A'B' 的方程，即为直线 BC 的方程.例 3．求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点〔 1，2 〕的直线l 的方程．[答案]3x+4y―11=0[解析]解法一：设直线l 的斜率为 k，∵l 与直线3x+4y+1=0 平行，∴ k334解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线l 的方程为3x+4y+m=0 ，∵l 经过点〔 1，2〕，∴ 3 ×1+4 ×2+m=0 ，解得 m=―11．∴所求直线方程为 3x+4y―11=0．[总结升华]〔1 〕一般地，直线 Ax+By+C=0 中系数 A、B 确定直线的斜率，因此，与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可设为 Ax+By+m=0 ，这是常采用的解题技巧．我们称 Ax+By+m=0 是与直线 Ax+By+C=0 平行 的直线系方程．参数 m 可以取 m≠C的任意实数，这样就得到无数条与直线 Ax+By+C=0 平行的直线．当 m=C 时， Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合．〔2 〕一般地，经过点 A〔x0 ，y0〕，且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x―x 0)+B(y―y 0)=0． 〔3 〕类似地有：与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 Bx―Ay+m=0〔 A，B 不同时为零〕．举一反三：[变式 1]已知直线l ：3mx+8y+3m-10=0 和 l ：x+6my-4=0 .问 m 为何值时:〔1 〕l 与l 平行〔 2 〕l 与l 垂直.[答案]〔1 〕m 〔 2 〕m 0[解析]当m 0时， l ：8y-10=0；l2：x-4=0，l l1 2，经过点A〔x0，y0〕，且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x―x0)+B(y―y0)=m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．[思路点拨]〔1〕求过两直线m，n交点坐标，结合直线平选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选。