导数高考压轴题分析.doc
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§10 导数综合问题分析一、极值问题(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．二、最值问题(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【注意】1.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．2. 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．三、参数范围问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．：含参数的不等式恒成立、有解、无解的处理方法：①的图象和图象特点考考虑；②构造函数法，一般构造，转化为的最值处理；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.【注意】恒成立问题的两种常见解题思路：①参变分离；②构造函数四、定积分1．定积分的概念在中，分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．2．定积分的性质(1) (k为常数)；(2) ；(3) (其中a 2）奇偶函数在对称区间上的积分①若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则;②若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则高频考点一 求极值【例1】设函数．求f(x)的单调区间和极值;【答案】当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时, f(x)有极大值．【解析】,由得 (2分)x03f’(x)-0+0-f(x)↘极小值-1↗极大值 ↘由上表得, f(x)的单调增区间为,单调减区间为,;当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时, f(x)有极大值． (6分)【点拨】求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.【变式练习】已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.（1）求的值；（2）求函数的单调区间与极值.【答案】（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，【解析】（1）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；（2）由（1）知，则令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.当时，故在内为减函数；当时，故在内为增函数；由此知函数在时取得极小值.【例2】【2013·重庆】设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．【点拨】求极值必定列表。 变式练习】已知函数求的单调区间和极值；【答案】 的单调增区间是，单调减区间是和，当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 ，【解析】由已知有令，解得或，列表如下：所以的单调增区间是，单调减区间是和，当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 ，高频考点二 求最值【例3】设函数f(x)=ln(2x+3)+x2①讨论f(x)的单调性；②求f(x)在区间[-1，0]的最大值和最小值.【答案】（1）f(x)在区间（-，-1），（-，+∞）单调递增，在区间（-1，-）单调递减（2）最小值为f(-)=ln2+,最大值为f(0)=ln3【解析】f(x)的定义域为（-，+∞）……………………1分（1）f′(x)= =………………………………3分当-＜x＜-1时，f′(x)＞0；当-1＜x＜-时，f′(x)＜0；当x＞-时，f′(x)＞0.…………4分从而，f(x)在区间（-，-1），（-，+∞）单调递增，在区间（-1，-）单调递减………7分（2）由（1）知f(x)在区间[-1，0]的最小值为f(-)=ln2+,…………………………9分又f(-1)=1,f(0)=ln3＞1,………………………………11分∴最大值为f(0)=ln3…………………………12分【点拨】求最值先求极值。 变式练习】【2012·淄博一中·期中】已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值；【答案】解：（I）的单调递增区间为，单调递减区间为（II）当时，的最小值为(1-k)e；当时，的最小值为(2-k)e2；当时，的最小值为；【例4】【2014·四川】已知函数，其中，为自然对数的底数设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值答案】【解析】因为 所以 又因为， 所以：① 若，则，，所以函数在区间上单增，② 若，则，于是当时，当时，所以函数在区间上单减，在区间上单增，③ 若，则，所以函数在区间上单减，综上：在区间上的最小值为【点拨】函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【变式练习】已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【点拨】1．求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.2．极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．【例5】【2014·日照·二模】已知，其中e为自然对数的底数.当时，求函数上的最小值；【答案】当时，；当时，；当时，.【解析】当时，则.当，即时，；当，即时，.则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）. ……6分因为，所以，①当，即时，在[]上单调递减，所以②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以③当时，在[]上单调递增，所以.综上，当时，；当时，；当时，. 【点拨】分类技巧要熟记。 高频考点三 证明不等式无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.1.利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口2.利用导数解不等式的基本方法是构造函数，通过研究函数的单调性 ，从而解不等式的方法.【例6】若的定义域为，恒成立，，则解集为（ ） A． B． C． D．【点拨】本题主要是按照题目给出的函数形式，构造新函数变式练习】已知是可导的函数，且对于恒成立，则( )A． B．C． D．【例7】【2014·福建】 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2 2）见解析【解析】(1)由f(x)＝ex－ax，得f ′(x)＝ex－a.又f ′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝ex－2x，f ′(x)＝ex－2.令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.当x 当m=-1时，g(x)=,试证明函数y=的图像恒在函数y=g(x)的图像的上方点拨】利用求函数最值的方法来证明不等式，但是注意是的充分不必要条件；适当对不等式等价变形，通过换元法，转化为含有一个未知数的不等式，并通过构造函数，并且利用导数研究的单调性，达到证明的目的.【变式练习】【2013·北京】设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方高频考点四 参数范围问题【例9】【2014河南洛阳模拟】若f(x)＝－(x－2)2＋bln x在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是( )A．[-1，＋∞) B．(-1，＋∞)C．(-∞，-1] 。
