1993考研数三真题及解析.pdf

Born to winBorn to win19931993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)3x252sin .(1)limx5x3x(2) 已知y  fdy3x22则, fx  arctan x , dx3x2 .x0(ln3)n(3) 级数的和为 .n2n0(4) 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A的秩为 .(5) 设总体X的方差为 1,根据来自X的容量为 100 的简单随机样本,测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似等于0.95 的置信区间为 .二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)*1x sin2,x  0,(1) 设fx则fx在点x  0处 ( )xx  0,0,(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导(2) 设fx为连续函数,且Fxlnx1xftdt,则Fx等于 ( )(A)11 1 1fln x2f (B)flnxxxxx11 1 fln x2f (D)fln xxxx 1fx(C) 1 fx(3)n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件(4) 假设事件A和B满足P(B A) 1,则 ( )(A)A是必然事件 (B)P(B A) 0.(C)A  B (D)A  BBorn to winBorn to win(5) 设随机变量X的密度函数为(x),且( x)(x).F (x)是X的分布函数,则对任意实数a,有 ( )a1(A)F ( a) 1(x)dx. (B)F ( a)(x)dx020a(C)F ( a)F (a) (D)F ( a)2F (a) 1三、三、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )设zf x,y是由方程zyxxez y x0所确定的二元函数,求dz.四、四、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )xa已知lim4x2e2xdx,求常数a的值.axxax五、五、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )设某产品的成本函数为Caqbqc,需求函数为q21(dp),其中C为成本,qe为需求量(即产量),p为单价,a,b,c,d,e都是正的常数,且db,求:(1) 利润最大时的产量及最大利润;(2) 需求对价格的弹性;(3) 需求对价格弹性的绝对值为1 时的产量.六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )x假设:(1) 函数yf(x)(0 x)满足条件f(0) 0和0f(x) e1;x(2) 平行于y轴的动直线MN与曲线yf(x)和ye1分别相交于点P1和P2;(3) 曲线yf(x),直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段PP12的长度.求函数yf(x)的表达式.七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1, f(1))的直线与曲线yf(x)相交于点C (c,f(c)),其中0c1.证明:在(0,1)内至少存在一点,使f ( )0.Born to winBorn to win八、八、( (本题满分本题满分 1010 分分) )k为何值时,线性方程组 x1 x2kx3 4,2x1kx2 x3 k ,x  x 2x  4312有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、九、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )设二次型22f  x12 x2 x32x1x22x2x32x1x322经正交变换X  PY化成f  y2,其中X  (x1,x2,x3)T和Y  (y1, y2, y3)T是三维列2y3向量,P是 3 阶正交矩阵.试求常数,.十、十、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设随机变量X和Y同分布,X的概率密度为32x ,0 x  2,f (x) 8其他.0,(1) 已知事件AX a和B Y  a独立,且PA(2) 求3B.求常数a.41的数学期望.X2十一、十一、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8 小时的情形下,再无故障运行 8 小时的概率Q.Born to winBorn to win19931993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】65223x 523x 5sin 2lim2limx5x3xx5x 3xx2x2sin3x256x3sintx洛lim,极限lim lim1, 而lim2xxxt025x 3x10x5tx【解析】limsin2x,3x25236sin 21.所以limx5x3x55(2)【答案】343x212,则有g0 1,gx,则g03,23x23x2【解析】令gx由复合函数求导法则知dydx(3)【答案】 f g0g03f 13arctan1 x03.422ln3【解析】利用几何级数求和公式xnn0ln31,即得( x 1),令x 21 x(ln3)n12.nln322ln3n012(4)【答案】0【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于rA 2,说明A中 3 阶子式全为 0,于是A的代数余子式Aij 0,故A  0.**所以秩r A 0. 若熟悉伴随矩阵A秩的关系式*Born to winBorn to winn,rA n,rA*1,rA n1,0,rA n1,*易知r A 0. 注注：按定义A11AA*12A1nA21A22A2nAn1An2,Ann伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是n1阶子式.(5)【答案】(4.804,5.196)【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.因X的方差为1,设X的期望为,则U X / n2N(0,1).当置信度为1 0.95,时 0.05,有正态分布表知uu0.0251.96.因此用公式：I  (xnu,x2nu).2将x 5,1,n 100,u1.96代入上式,得到所求的置信区间为I  (4.804,5.196).2二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当x  0时,sin1为有界变量,x2x0x为无穷小量,则lim fx limx0x sin1 0,且f00.2x于是fx在x  0处连续.故(A)(B)不正确.x sin又因为limx01 f0x2 limx0x0x sin1x2 lim1sin1不存在 ,所以f x 2x0xxx在x  0处不可导,所以选(C).【相关知识点】 函数连续定义： 如果函数在x0处连续,则有lim f (x)  lim f (x)  f (x0).xx0xx0Born to winBorn to win(2)【答案】(A)【解析】Fx flnx1x 11 fln x1 1f22f.xxxxx【相关知识点】积分上限函数的求导公式：dxftdt  fxx fxx.x dx(3)【答案】(B)【解析】A  A有n个线性无关的特征向量.由于当特征值12时,特征向量1,2线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化.因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).(4)【答案】(D)【解析】P(B A) 1的充分必要条件是P(AB)1,即P(AB)  P(A).显然四个选项中,P(A)当A  B时,AB  A,可得P(AB) P(A).因此A  B是P(B A) 1的充分条件 .因此选(D).(5)【答案】(B)【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有F(a) (x)dx  (t)dt (x)dx,aaxta随机变量X的密度函数为(x),则(x)dx 1,又由于(x) (x),所以(x)dx 0(x)dx ,(偶函数积分的性质)即012(x)dxa(x)dx 0(x)dxa(x)dx .aa0a12于是F(a) (x)dx (x)dx (x)dx(x)dx (x)dx.a000a12a故应选(B).三、三、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )【解析】方法一：方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得dzdydxezyxdx xezyxdzdydx 0.zyxdz  1 xezyxezyxdx  1 xezyxdy.整理后得1 xeBorn to winBorn to win1 xezyxezyxdxdy.由此,得dz 1 xezyx方法二方法二：应先求出函数对x, y的偏导数,将z  y x xezyx 0两边分别对x, y求偏导,zyxz xezyxzx1ex1 0,zy1 xezyxz 1 0,y1x1ezyx解之得z,x1 xezyxzy1.1x1ezyx故dz  zdxdy.xdx zydy 1 xezyx四、四、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )【解析】lim令2a 2a  xa  lim 1 lim 1xxxaxaxxaxxxa  2ax 2a xa,2a t,则当x 时,t  0,x a2a lim1xxaxa 2a lim1t e,t02ax limxa1t2a 所以lim1xxa而xa  2ax 2a xa ex e2a.a4x2e2xdx  2ba22x2xx2de2x 2x e4xedxaa lim 2b e 2a e 2a e22a22b2a e22a2axde2x2x2x 2xe2eadxa2b2a2b2a lim 2be2ae lim eebb22a 2a e由e2a22a2ae2ae2a, 2a2e2a2ae2ae2a,得a2a  0,所以a  0或a 1.五、五、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )【解析】(1) 利润函数为Born to winBorn to winL  pqC  (d eq)q(aq2bqc)  (d b)q(ea)q2c,对q求导,并令dLdLd b. 0,得 (d b)2(ea)q  0,得q dqdq2(ea)d bd2L因为所以,当时为利润函数的极大值点,根据题意也是利q  2(ea) 0,22(ea)dq润的最大值点,所以Lmax(d b)2c.4(ea)(2) 因为q(p) 11peqd(d  p),所以q(p)  ,故需求对价格的弹性为q .eeqeq(3) 由1,得q d.2e六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )x【解析】由题设可得示意图如右.设P(x, f (x)),P (x,e 1),则S  PP1212,即x0f (t)dt  ex1 f (x).两端求导,得f (x)  ex f (x),即f (x) f (x)  ex.由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得p(x)dxp(x)dxf (x)  e(q(x)edxC) dxdx1 e(exedxC) (exexdxC)ex Cexex.211xx由初始条件f (0)  0,得C  .因此,所求函数为f (x) (e e).22【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y p(x)y  q(x)的通解公式为:p(x)dxp(x)dxy  e(q(x)edxC),其中C为常数.七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )【解析】因为f (x)分别在[0,c ]和[c,1]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在1(0,c),2(c,1),使得f (1) f (c) f (0)f (1) f (c), f (2) ,c01cBorn to winBorn to win由于点C在弦AB上,故有f (c) f (0)f (1) f (c)f (1) f (0) f (1) f (0),c01c10从而f (1)  f (2)  f (1) f (0).这表明f (x)在区间[1,2]上满足罗尔定理的条件,于是存在(1,2) (0,1),使得f ()  0.八、八、( (本题满分本题满分 1010 分分) )【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,第一行和第三行互换,再第一行分别乘以1、1加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互换,再第二行乘以1k 加到第三行上,有24  1121k1k2411k4k24 4 8k24 11kA 1k11122113 0k 12k 204 1120k242k 2830k 1112k 202(1k)(4k)00248.k(k 4)(1)当k  1且k  4时,r(A)  r(A) 3,方程组有唯一解,即k22kk22k 42kx1,x2,x3.k 1k 1k 1(2)当k  1时,r(A) 3,r(A)  2方程组无解.112(3)当k  4时,有A  022000410301180 00004.0因为r(A)  r(A)  23,方程组有无穷多解.Born to winBorn to win取x3为自由变量,得方程组的特解为 (0,4,0)T.又导出组的基础解系为 (3,1,1)T,所以方程组的通解为k,其中k为任意常数.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是mn矩阵,线性方程组Ax  b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即r(A)  r(A).(或者说,b可由A的列向量1,2,等同于1,2,,n线表出,亦,n与1,2,,n,b是等价向量组)设A是mn矩阵,线性方程组Ax  b,则（1）有唯一解r(A)  r(A)  n.（2）有无穷多解r(A)  r(A)  n.（3）无解r(A)1 r(A).b不能由A的列向量1,2,九、九、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ),n线表出.1【解析】经正交变换二次型f的矩阵分别为A 111101.,B 12由于P是正交矩阵,有P AP  B, ,即知矩阵A的特征值是 0,1,2.那么有22A  2 0, 0.E  A  2 0.【相关知识点】 二次型的定义： 含有n个变量x1,x2,次的多项式),xn的二次齐次多项式(即每项都是二fx1,x2,称为n元二次型,令x x1,x2,,xnaijxixj,其中aij aji,i1j1nn,xn,A aij,则二次型可用矩阵乘法表示为Tfx1,x2,,xn xTAx,,xn的矩阵.T其中A是对称矩阵A  A,称A为二次型fx1,x2,Born to winBorn to win十、十、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )【解析】(1)依题意,因为随机变量X和Y同分布,则PA PX  a PY  a PB,又事件AX  a和B Y  a独立,故PAB PAPB.估计广义加法公式：23PAB PA PB PAPB 2PAP A. 42313P A2P A  0.P(A) P(A) 解以P(A)为未知量的方程得,(因不合题  422意).再依题设条件可知2311 P(A)  P{X  a}f (x)dx x2dx (8a3).aa828再解以a为未知量的方程:8a  4,得a 334.(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:1213233 1 2E2f x dx x dx dx x 2200xx888X203.4十一、十一、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )【解析】 本题的关键在于理解随机变量Nt的意义,事件{Ntk}表示设备在任何长为t(t)kte(k 0,1,2).的时间内发生k次故障,其概率为P{Nt k}k!由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当t  0时,Ft PT t 0;当t  0时,事件T t与T t是互逆事件,并且T t表示在长为t的时间内没有发生故障,它等价于事件Nt 0.(1)易见T是只取非负值的连续型随机变量.当t  0时,Ft PT t 0;当t  0时,事件T t与Nt0等价.于是有Ft PT t1PT t1PNt 01et.1et, t  0因此Ft.0,t  计算得知T服从参数为的指数分布.Born to winBorn to win(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此Q  PT 16| T 8 PT 81PT 81F(8)1(1e8) e8.。