2022年初中数学动点问题专题讲解..pdf

优秀学习资料欢迎下载专题一：建立动点问题的函数解析式例 1(2000 年·上海) 如图 1, 在半径为 6, 圆心角为 90°的扇形OAB的弧 AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为 H,△OPH 的重心为G. (1) 当点 P在弧 AB上运动时 , 线段 GO 、GP 、GH中, 有无长度保持不变的线段?如果有 ,请指出这样的线段 , 并求出相应的长度. (2) 设 PHx,GPy, 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域( 即自变量x的取值范围 ). (3) 如果△ PGH 是等腰三角形, 试求出线段PH的长 . 解:(1) 当点 P 在弧 AB上运动时 ,OP 保持不变 , 于是线段GO 、GP 、 GH中, 有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132OP=2. (2)在Rt △ POH 中 , 22236xPHOPOH, ∴2362121xOHMH. 在 Rt△MPH 中 , . ∴y=GP=32MP=233631x (0

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题．1．（09 年徐汇区） 如图，ABC中，10ACAB，12BC，点D在边BC上，且4BD，以点D为顶点作BEDF，分别交边AB于点E，交射线CA于点F．（ 1）当6AE时，求AF的长；（ 2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长；（ 3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．[ 题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》 24.5(4)例六 ,典型的一线三角 (三等角 )问题 ,试题在原题的基础上改编出第一小题,当 E 点在 AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题 )的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系 (相切问题 )的存在性的研究形成了第三小题．区分度测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载A B C D E O l A′A B C D E O l F 量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解．[ 区分度性小题处理手法] 1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．2．圆与圆的位置关系的存在性( 相切问题 ) 的处理方法：利用d=R±r(rR) 建立方程．3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [ 略解 ] 解：（ 1） 证明CDF∽EBD∴BECDBDCF，代入数据得8CF，∴ AF=2（2）设 BE=x,则,10ACd,10xAE利用（ 1）的方法xCF32，相切时分外切和内切两种情况考虑：外切，xx321010，24x；内切，xx321010，17210x．100x∴当⊙C和⊙A相切时，BE的长为24或17210．（ 3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，320BE．类题⑴一个动点： 09 杨浦 25 题（四月、五月）、09 静安 25 题、⑵两个动点：09 闸北 25 题、 09 松江 25 题、 09 卢湾 25 题、 09 青浦 25 题．（二）线动问题在矩形 ABCD 中，AB＝3，点 O 在对角线 AC 上，直线 l 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直线 l 过点 B，把△ ABE 沿直线 l 翻折，点A 与矩形 ABCD 的对称中心A＇重合，求BC 的长；(2)若直线 l 与 AB 相交于点F，且 AO ＝41AC ，设 AD 的长为x，五边形 BCDEF 的面积为S.①求 S 关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；②探索：是否存在这样的x，以 A 为圆心，以x43长为半径的圆与直线 l 相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．[ 题型背景和区分度测量点]本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系 (相切问题 )的存在性的研究形成了区分度测量点二．[ 区分度性小题处理手法] 1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [ 略解 ] (1) ∵A’ 是矩形 ABCD 的对称中心∴ A’ B＝AA ’ ＝21AC ∵AB ＝A’ B，AB ＝3∴AC ＝6 33BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载 (2) ①92xAC，9412xAO，)9(1212xAF，xxAE492∴AF21AESAEFxx96)9(22，xxxS96)9(322xxxS968127024 (333x)②若圆 A 与直线 l 相切，则941432xx，01x( 舍去) ，582x∵3582x∴不存在这样的x，使圆 A与直线 l 相切．[ 类题 ] 09 虹口 25 题．（三）面动问题如图，在ABC中，6,5 BCACAB，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持BCDE∥，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG. （1）试求ABC的面积；（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设xAD，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长．专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图 1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2）⑵若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接 OA 、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 △OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由FGECABD例 1 题图图 1 OAByxOAByx图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、 D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解练习 4 (2008 广东湛江市 ) 如图所示， 已知抛物线21yx与x轴交于 A、 B 两点，与y轴交于点C．（1）求 A、B、C 三点的坐标．（2）过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似．若存在， 请求出 M 点的坐标； 否则，请说明理由．解： （1）令0y，得210x解得1x令0x，得1y∴ A( 1,0)B(1,0)C(0,1)（ 2）∵ OA=OB=OC=1∴BAC =ACO=BC O=45∵ AP∥CB ，∴PAB=45过点 P 作 PEx轴于 E，则APE 为等腰直角三角形令 OE=a，则 PE=1a∴P( ,1)a aoC B A x练习 4 图P y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载∵点 P 在抛物线21yx上 ∴211aa解得12a，21a（不合题意，舍去）∴ PE=3∴四边形ACB P 的面积S=12AB?OC+12AB?PE=112 123422(3)． 假设存在∵PAB=BAC =45∴ PAAC∵ MGx轴于点 G，∴MGA=PAC =90在 Rt△AOC 中， OA=OC=1∴AC =2在 Rt△PAE 中， AE=P E=3∴AP= 3 2设 M 点的横坐标为m，则 M 2(,1)m m①点 M 在y轴左侧时，则1m(ⅰ) 当AMG ∽PCA 时，有AGPA=MGCA∵ AG=1m，MG=21m即2113 22mm解得11m（舍去）223m（舍去）(ⅱ) 当MAG ∽PCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mm解得：1m（舍去）22m∴ M( 2,3)② 点 M 在y轴右侧时，则1m(ⅰ) 当AMG ∽PCA 时有AGPA=MGCA∵ AG=1m，MG=21m∴2113 22mm解得11m（舍去）243m∴M4 7(,)3 9G M 图 3 C B y P A oxG M 图 2 C B y P A ox精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载(ⅱ) 当MAG∽PCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mm解得：11m（舍去）24m∴ M(4,15)∴存在点M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似M 点的坐标为( 2,3)，4 7(,)3 9，(4,15)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页。