微积分II全书整理.docx

第一部分 多变量微分学一、多元函数极限论1. 多元函数极限的定义：（1）邻域型定义：设函数 的定义域为 ， 是 的聚点，如果存在常数 ，对于)(PfD0PA任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当点 时，都有 ，)(0UPf)(那么就称常数 为函数 当 时的极限，记作A)(f0.lim0fP（2）距离型定义：设函数 的定义域为 ， 是 的聚点，如果存在常数 ，对于PD0 A任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当点 ，且 时，都有),(0，那么就称常数 为函数 当 时的极限，记作APf)( A)(f0P.)(li0Pf注：①这里给出的是数学分析中国际通用的定义，已自然排除了 邻域内的无定义点；0②极限存在的充要条件：点 在定义域内以任何方式或途径趋近于 时， 都有极限；P )(f③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法，常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量=无穷小、夹挤准则等；④若已知 存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值；相反，如果发现点 以)(lim0Pf P不同的方式或途径于 时， 区域不同的值，则可断定 不存在.0)(f )(lim0fP⑤二元函数的极限记为 或 .Ayxyx,li),(),0（ Ayxfy),(li02. 多元函数的连续性：设函数 的定义域为 ， 是 的聚点，如果 ，且有PfD0D，则称 在 处连续；如果 在区域 的每一点处都连续，)(lim00PffP)(0)(PfE则称 在区域 上连续.E注：①如果 ，只称“不连续” ，而不讨论间断点类型；)(li00ffP②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等.3.二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二重极限都存在，则它们一定相等；反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在，又若两个累次极限存在且相等，称累次极限可以交换求极限的顺序.二、偏导数、全微分1.偏导数、全微分的相关理论问题 （以二元函数为例讨论）（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.； .),('),(),(lim000 yxfxyffx ),('),(),(lim000 yxfyxffy （2）可微性：记 ，则仅当),(,000ffz时， 在 处可微，否则不可微.其中)(li220yxBAzyx ),(yxf,， .,'0f,'0f注：等价于 22)(yxoyBxAz即 22000 )(),(),( yxoBAfyxf 又即  202000000 )()()(,')(,'),(),( yxoyfxyfff x 记 为全微分 在 处的全微分.dzyBxAdz),f,x中值定理推广为： .1,0),(',(' 221 yfyxfzyx（3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性，先用定义求 和 ，用公式'0x)('xfy求 和 ，判断 和),('yxf),('f ),('),('lim0fxfxyx是否都成立，如果都成立则偏导数连续.''lim00yyx④逻辑关系： 极 限 存 在偏 导 存 在可 微连 续偏 导 连 续 2.多元函数微分法：（1）链式求导法则：①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；②求偏导就是“走路”的过程，有几条路，等号后就有几项；每条路上有几段，每项中就会有几部分相乘（注意：偏导写偏微分符号“ ”， 不偏则写微分符号“d” ） ；③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等，要合并同类项）.（2）全微分形式不变性：仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立.（3）隐函数存在性及求导法则：①一个方程的情形（以三个变量为例）：设 在点 某邻域内偏导连续，),(zyxF),(0zyx且 ， ，则方程 在点 内某邻0),(0zyxF0),('0zyxFz ,),(0z域内可唯一确定单值函数 ，这个函数在 的某邻域内具有连续的偏导数，)(0yx且 ， .结论不难推广到一般情形.'zxF'zy②方程组的情形：一般地，设方程组 可确),21(0),;,(2121 miuxFmni  定 个 元函数 .当雅可比行列式mn),(21nii xu0),(, 11121121 mmmuFuFuuuFJ  时，可以确定 ，其中 由将 分母中的第 个元素替换成Jxuji ),(21Ji得到.（雅可比行列式在横向上改变各自变量，纵向上改变各函数名称）jx注：①求导前应事先判断， 个变元， 个方程可确定 个 元函数；abb)(a②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性.③经验结论：由 确定的隐函数 ，0),(,(),( vuFzyxvzyxu ),(yxz求 时，有 ；2xz'')'( 22122 FA求 时，有 ；y 0'')'( 212 yxvFuyx求 时，有 ， 2yz 0'')'( 22122 yvFuyFA其中 .（ 的曲率：121")'("'"'),(x）2321)'('F三、多元微分学的几何学应用（以下的讨论主要为了计算，条件未必严格）1.曲线的切线和法平面：设曲线 在 处 都存在且不为tzytxl:0P0''' tzytx，，0，则曲线 在 处的：l0P（1）切线方程为 ：000''' tztytx（2）法平面方程为 .0)(')(')(' 0zty注：若曲线以 形式给出，切向量为 .0),(zyxGF ，，， '''' yxzy GFGF2.曲面的切平面与法线：设曲面 由方程 确定， 在点0),(zxF),(y0P处可微，且 不为 0，则曲面 在 处的：),(0zyx'''zyxF，， P（1）切平面方程为 （导数已经代入 坐标） ；)(')(')(' 00z0（2）法线方程为 .''' 0zyxFF注：二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量.3.方向导数：（1）定义式： 0)(lim00PffuP（2）若函数 在点 处可微，那么 在点 处沿所有方向的方向导数存),(zyxf ),(zyxf0P在，且 ，其中 为 的方向余弦.cosscos0 zflP cos,csl注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在.4.梯度：（1）计算：grad u = i+ j+ k；xuy（2）grad u 是 在点 的变化量最大的方向，其模等于这个最大变化率；)(P（3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似；（4）方向导数等于梯度在该方向上的投影.四、极值与最值问题1.二元函数的非条件极值问题（1）极值的必要条件：对偏导数存在的函数 ，在 处有极值的必要条件),(yxf),(0yxM是 .（可推广到三元及以上）0),(),(00yxfxf（2）极值的充分条件：设 为函数 的驻点，且 在 处连续，),(0M),(yxf ),(yxf),0记 ，则：ACBACyxfByxfAy 200 ,""),("① 时， 是极值点，当 时， 为极小值；当 时，),(0xf 为极大值；),(0yxf② 时， 不是极值点；),(0③ 时，此法失效，另谋它法.注：本方法不可推广到三元及以上，三元及以上的充分条件中，要求黑塞矩阵正定或负定.（本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题）2.条件极值与拉格朗日乘数法（1）一般情况下的拉格朗日乘数法：求函数 在条件),(21nxfu下的条件极值 ，可以从函数),(2nix ),2,1(mi ),(,),, 212111 niinnn xxfF  的驻点中得到可能的条件极值的极值点.步骤：①构造辅助函数；（注意：变量均为独立变量）②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组；③解方程组得到所有驻点.（解无定法，尽量利用观察法）（2）对“条件极值”的解读：事实上，只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃.由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵.而出题人为了回避这一知识点，通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法.由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求” ，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值.所以，出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察.五、习题1.已知方程 有 形式的解，求出此解.02yuxxy2.已知二元函数 可微，两个偏增量：),(fz,32( 3222xyxyxzx 且 求.3y 1)0,(f).(f3.设 确定 ，其中 有二阶连续偏导数，求,(22zyxzF,yxzF.2yxz4.已知函数 可微，且有 满足方程 现在将 作为),(yxfz，0xz .0)(yzxzx的函数，求y,.5.设 是由方程 确定的 , 的函数，其中 和 均有一阶连续),(txf0),(tyxFxyFf的偏导数，求 .dy6.设 是 , 的二元函数，求 及),(),(),(vufzvuxzxyxz.y7.求函数 在点 处沿曲面 的法线向量ln22xewy,12euvvuvuee,,的方向导数.8.求 grad[c·r+ ln(c·r)],其中 c 为常向量，r 为向径，且 c·r >0.19.设二元函数 在 点某邻域内偏导数 和 都有界，证明: 在此邻域内连续.f),(0yxP'xf'yf10.设 存在， 在 处连续，证明： 在 处可微.),(0'yxf'fy),(0yx),(xf),0y11.证明：函数 在原点处偏导数存在但不可微.)0,(,0),(23yxyxf，，12.设 是由方程 确定的二元函数，其中 有连续的二阶导函数，证明：),(zz.22yxx13.证明：曲面 是柱面，其中 可微.)(zfezf第二部分 多变量积分学一、各类积分的计算公式及意义（一）二重积分1.计算公式①直角坐标系下的二重积分：  )()( 2121 ,,, yxdcbaxyD dxffdxyf②极坐标系下的二重积分： )()( 2121 .sin,osin,co, rbarD rfrfdxyf  ③二重积分的变量替换： duvyxvuyxfdyxfuvy ),(,),(, 2.几何意义： 时，表示以 为底，以 为顶的曲顶柱体的体积.0,xf 0zfz,3.物理意义：各点处面密度为 的平面片 D 的质量 .yxf,（二）三重积分1.计算公式①直角坐标系下的三重积分：（1）柱型域：投影穿线法（先一后二法）： yxzV dzfdzyxfxy,21,,（2）片型域：定限截面法（先二后一法）： zDV xyfzf ,,21②柱面坐标系下的三重积分： 2121, ,sin,co,sin,co, rrzVV dzrfddzrrfdzyxf③球面坐标系下的三重积分：  , 22121 cos,i。