飞行管理问题（建模与求解）.doc
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飞行管理问题摘要建立了一个非线性规划模型，但由于模型求解过于复杂，设计了一个 算法，利用计算机求解,用模拟的方法建立了新的模型,并用它对给定的数据进行 计算，得出了合理的结果关键词飞行管理；防捷;数学模型；非线性规划一、问题的提出在约10, 000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机 作水平飞行区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞 行管理当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘，记录其数据后，要立即计算 并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞如果会碰撩，则应计算如何调整各架 （包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞现假定条件如下：1） 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；2） 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；3） 所有飞机飞行速度均为每小时800公里；4） 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公 里以上；5） 最多需考虑6架飞机；6） 不必考虑飞机离开此区域后的状况请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列岀计算步骤，对以下数据 进行计算（方向角误差不超过0. 01度），要求飞机行方向角调整的幅度尽量小 设该区域4个顶点的座标为（0,0），（160,0）, （160,160）, （0, 160）。
记录数据为:飞机编号横座标X纵座标y方向角（度）1150140243285852363150155220. 54145501595130150230新进J< 0052注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角试根据实际应用背景对你的模型进行 评价与推广二、 问题的分析这是一个飞行管理问题需要我们就整个过程按要求进行管理，使飞机能全 部安全地飞出区域经过对新进入飞机的飞行情况的判断，若有飞机不能安全飞 出此区域，则应调整各飞机的方向角，使它们不相互发生碰撞当然可能一架飞 机方向角的改变会引起其它飞机方向角的改变因此我们希望通过少量的调整就 能使所有的飞机安全地飞出区域，从而简单、方便地完成对飞机的管理三、 模型的假设1、 不考虑空气密度、风向、温度等因素的影响；2、 模型飞机是一个以飞机坐标点为圆心，以4公里为半径的圆（因为相撞距 离为8公里）；3、 在不调整方向角时飞机作直线飞行，方向角调整瞬时完成；4、 每架飞机在空区域中的状态（位置，速度）均可视为矢量，速度为从坐标 点出发、方向角为辐角、800公里为模的矢量，各圆心按速度方向运行符号及其说明^.：第i架飞机与第j架飞机的碰撞角，是两圆公切线交角中指向圆的那个角，显第i架飞机相对于第j架飞机的相对速度。
/,7：第i架飞机与第j架飞机的圆心距b（j:第i架飞机相对于第j架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的交角，规定：以第i架飞机为原点i到j连线从指内j为正方向，逆时针旋转为正，顺时针旋转为 负第i架飞机相对与直角坐标系旋转的角（即方向改变量），上代数量Aft..：第i架飞机相对于第j架飞机〜的改变量四、模型的建立(1) 由于两架飞机相距大于8公里就不会发生相碰，而且是在平面区域上 考虑问题，把每个飞机看作一个4公里的圆，故不相撺就耍求任意两圆不相交2) 为了研宄两圆相交，采用相对速度作为研宂对象，因为飞机是否相撞 的关键是相对速度3) 由模型建立起的函数及方程i)重要结论：对第i, j架飞机，其飞行方向角改变量(A0, AR)之和的一半即为其相对速度方向％的改变量即+A氏AZ?, = Ly 2证明：由题知| ,. |=800千米财=A设改变前的速度为W Ae% =改变方向后的速度为％ = Ae例、，uj2= A，，，改变后〜=吒-〜2 = A[W，)-Wp]^7" Ale^-e1^]cos(0 +^z)4-/sin(^ + ) - cos(^z + ) - isin(ff/ + A沒,)cos d{ + i sin dj - cos0f -i sin 3 • 2sin (sin 0+A0+^+A& -/cos^ + △《十沒/ 十△沒2sin H (sin H - /cos巧+% 2 2 2+ A^. — d j — △沒.sin — .2 /(—9} esin〜与心•复角相差证毕ii)因为忽略计算时间和转向时间故可得以下方程 由决策目标构造目标函数，minX =(A^.
调整结果为：= Qrad , A^2 = Qrad , = O.Q36rad ,△A = -0.0086/^ , A35 = Qrad，A3, = 0.0273md各飞机调整角度较小，均未超过/%弧度，结果比较满意五评价与推广1. 此模型采用圆形模型分析碰撞问题是合理的，同时采用相对速度作为判断 标准既体现了碰撞的本质(相对运动)，又简化了模型的计算2. 建模中作了适当的简化，将一个十分复杂的非线性规划问题简化为线性规 划求解，既找到合理的解，又提高了运算速度及效率这对于解决高速运行的飞 机碰撞问题是大有裨益的，而且由题目所提供的例子计算出的结果是令人满意 的3. 若有若干架飞机同时进入，依次计算，逐个调整，将它们视为有先后的进 入空域，忽略调整时间，即可附录：MATLAB程序xyl =[150,140,243];xy2 = [85,85,236];xy3 = [150,155,220.5];xy4= [145,50,159];xy5 = [130,150,230]; xy6 = [0,0,52];w=zeros(15,l);A=l-1 -1 0000，-1 0-1 000，-100-1 00，-1 000-10，-1 0000-1，0-1 -1 000，0-10-100，0-100-10,()-1 0 00-1，0 0-1 -1 00,0 0:1 0-1 0，00-1 00-1，000-1-10,000-1 ()-1，0000-1 -1];for o=l:5 for j=o+l:l:61=[XG)-X(o) Y(j)-Y⑹]; =[cos(T(o))-cos(T(j)) sin(T(o))-sin(T(j))]; a(k)=asin(8/norm(l));ll=angle(l(l)+l(2)*i);180/pi;q=angle(( 1 )+(2)*i); mmmmmm=q* 180/pi; b(k)=q-ll;if b(k)〉=0 w(k，l)=2*b(k)-2*a(k);endif b(k)<0 A([k]，:)=-A([k]，:); w(k,l)=-2*b(k)-2*a(k);endk 二 k+1;endendf=[()，()，()，()，()，()]; R=eye(6,6); rr=[A w] LB=[-pi/6,-pi/6,-pi/6,-pi/6,-pi/6,-pi/6]; UB=| pi/6，pi/6，pi/6，pi/6，pi/6，pi/61; XF=quadprog(R，f，A，w，[],[]，LB，UB);。
