导数的一般定义为变化率课件.ppt

导数的概念导数的概念第1页，共32页事物都处于运动变化之中，研究事物变化的快慢程度，即函数的变化率问题是有广泛意义的在经济问题中也常常考虑变化率问题第2页，共32页北京市北京市1990-20041990-2004年通货膨胀率与经济增长率走势图年通货膨胀率与经济增长率走势图前期经济运行波动幅度较大，后期比较平稳前期经济运行波动幅度较大，后期比较平稳经济运行越是平稳，越有助于经济高速发展；在经济高速增经济运行越是平稳，越有助于经济高速发展；在经济高速增长的同时，可以将通货膨胀控制在较低水平长的同时，可以将通货膨胀控制在较低水平案例案例1第3页，共32页设设为为成本函数，成本函数，生产生产100件产品的总成本为件产品的总成本为 这时每件产品的成本即平均这时每件产品的成本即平均 成本为成本为 产量从产量从l00件增加到件增加到110件，成本随之发生变化件，成本随之发生变化 成本的平均变化率为成本的平均变化率为现在的问题是，如何求产量在现在的问题是，如何求产量在100件时成本的瞬时变化率件时成本的瞬时变化率?案例案例2 2 成本的变化率成本的变化率第4页，共32页案例案例3 3 如何理解瞬时变化率如何理解瞬时变化率一辆汽车一辆汽车2小时行驶小时行驶l08英里，它的平均速英里，它的平均速度度(或平均速率或平均速率)是是108英里英里2小时，或小时，或54英里小时这是距离关于时间的平均英里小时这是距离关于时间的平均变化率但是在行驶中的各个时刻，速变化率但是在行驶中的各个时刻，速度表的读数不都是度表的读数不都是54因此，我们说因此，我们说54是一个平均速度是一个平均速度速度表在任一瞬间的即时读数应该表速度表在任一瞬间的即时读数应该表示其瞬时速度或瞬时变化率示其瞬时速度或瞬时变化率(instantaneous rate of change)第5页，共32页。

案例案例4 4 如何表示瞬时速度如何表示瞬时速度首先，我们可以表达接近首先，我们可以表达接近t=2时刻时刻的一很小区间段的平均速度的一很小区间段的平均速度一小球做自由落体运动，考察一小球做自由落体运动，考察 时小球的瞬时速度时小球的瞬时速度 越小越小，平均速度平均速度就越接近于就越接近于t=2时刻时刻的瞬时速度的瞬时速度第6页，共32页1.5,2 1.99,2 1.9999,2 0.5 0.01 0.0001 17.150 19.551 19.600 2019.62,2.001 0.001 19.605 2,2.01 0.01 19.649 22.050 0.5 2,2.5 其变化情况见下表其变化情况见下表：从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段很小时，很小时，平均速度平均速度很接近某一确定的值很接近某一确定的值19.6(m/s).第7页，共32页平均变化率是用差商给出的如果距离平均变化率是用差商给出的如果距离s是时间是时间t的函数：而的函数：而h是是行驶一段距离所有的时间，则距离关于时间的平均变化率称为平均行驶一段距离所有的时间，则距离关于时间的平均变化率称为平均速度速度(average elocity)，并且可以表示为，并且可以表示为瞬瞬时变时变化率可以令化率可以令h趋趋近于近于0来求得因此来求得因此，第8页，共32页。

平均是平均是反映整体的平均变化情况反映整体的平均变化情况，瞬时是，瞬时是反映事物变化当前反映事物变化当前怎样怎样很多时候了解事物当前状况更有实际意义很多时候了解事物当前状况更有实际意义 类似于瞬时速度的有类似于瞬时速度的有温度变化率、气压变化率、电流变化率、温度变化率、气压变化率、电流变化率、股价变化率、人口增长变化率等等股价变化率、人口增长变化率等等求变化率我们都可用求瞬时速求变化率我们都可用求瞬时速度的方法，考虑越来越小区间上的平均变化率的极限度的方法，考虑越来越小区间上的平均变化率的极限 平均变化率的极限即为瞬时变化率，在数学上，我们也把平均变化率的极限即为瞬时变化率，在数学上，我们也把它称为导数它称为导数第9页，共32页导数的定义导数的定义 第10页，共32页导数是一种高等数学运算，导数的一般定义为变化率，即函数导数是一种高等数学运算，导数的一般定义为变化率，即函数在某一点的导数就是它在该点的变化率在某一点的导数就是它在该点的变化率第11页，共32页为为成本函数，成本函数，求产量在求产量在100件时成本的瞬时变化率件时成本的瞬时变化率?上述案例上述案例2中中按照导数的思想，结果可表示为按照导数的思想，结果可表示为即：即：第12页，共32页。

由定义求导数由定义求导数步骤步骤:解解例例1 1第13页，共32页由定义求导数由定义求导数解解例例2第14页，共32页导数的几何意义导数的几何意义 左面的曲线图展示左面的曲线图展示了了Raggs有限公司在某有限公司在某个早班上的服装总产量个早班上的服装总产量工业心理学家发现曲工业心理学家发现曲线与工人们的生产过程线与工人们的生产过程有类似的特点有类似的特点案例案例4从图表中看出，在上午从图表中看出，在上午9点至点至l0点这个时段，所生产的服装套数是点这个时段，所生产的服装套数是35套这段时间的平均生产率为套这段时间的平均生产率为35套套/小时注意：注意：35是从是从P点到点到Q点的直线的斜率点的直线的斜率第15页，共32页由上述案例得出一区间由上述案例得出一区间段的平均变化率的几何段的平均变化率的几何解释为割线的斜率解释为割线的斜率问题：当问题：当又有怎样的变化呢？又有怎样的变化呢？导数的几何意义导数的几何意义第16页，共32页割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放第17页，共32页导数的几何意义：导数的几何意义：第28页，共32页导数的经济意义导数的经济意义 导数的概念虽然是从物理意义（研究瞬时速导数的概念虽然是从物理意义（研究瞬时速度）引入的，但其应用是十分广泛的。

历史进入度）引入的，但其应用是十分广泛的历史进入2020世纪，人们又发现了导数的经济意义世纪，人们又发现了导数的经济意义由导数的思想，平均变化率在由导数的思想，平均变化率在即为瞬时变化率即为瞬时变化率的极限的极限案例案例2中中的经济解释为产量在的经济解释为产量在100件时，件时，产量增加产量增加1件的成本增加值件的成本增加值第29页，共32页定义：定义：若函数若函数 在在x处可导，则称导数处可导，则称导数 为为 的边际函数；称的边际函数；称 为边际函数值为边际函数值 经济生活中有边际成本、边际收益、边际利润等各种边经济生活中有边际成本、边际收益、边际利润等各种边际量际量如边际成本、边际利润分别表示在现有生产条如边际成本、边际利润分别表示在现有生产条件下，再多生产一件的实际成本、实际利润件下，再多生产一件的实际成本、实际利润第30页，共32页案例案例 铜矿开采费铜矿开采费 从一个铜矿中开采从一个铜矿中开采Tt t铜矿的花费为铜矿的花费为C=f(T)元，元，意味着什么？意味着什么？解解 因为因为1t1t铜矿需要花费铜矿需要花费100100元又因为又因为C C 的单位为元，的单位为元，T T 的单位为的单位为t,t,所以所以表明当有表明当有2000t2000t铜矿从矿中被开采出来时，再开采铜矿从矿中被开采出来时，再开采第31页，共32页。

总总 结结1、导数的概念、导数的概念2、导数的几何意义、导数的几何意义函数函数在点在点处的导数处的导数就是函数所表示的就是函数所表示的曲线在点曲线在点处切线斜率处切线斜率3、导数的经济意义、导数的经济意义 边际成本边际成本 边际利润等边际利润等第32页，共32页。