角平分线性质定理及逆定理课件.ppt
12页
２２．分别以Ｍ，Ｎ为．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于圆心．大于 ＭＮ的长为ＭＮ的长为半径作弧．两弧在半径作弧．两弧在∠∠AOB的内部交于Ｃ．的内部交于Ｃ．如何用尺如何用尺如何用尺如何用尺规规作角的平分作角的平分作角的平分作角的平分线线？？？？A AＢＢＢＢＯＯＯＯＭＭＭＭＮＮＮＮＣＣＣＣ作法：作法： １１．以Ｏ为圆心，适当．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．交ＯＢＮ于．３３．作射线．作射线OC．．则则射线ＯＣ即为所求．射线ＯＣ即为所求． 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５０铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺０米，应建在何处？（比例尺 1：：20 000））ＳＳＯＯ公路公路铁路 角平分线的性质定理及其逆定理 命题：角平分线上的点到角的两边的命题：角平分线上的点到角的两边的距离距离相等相等条件：一个点在一个角的平分线上条件：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等 已知：已知：OC是是∠∠AOB的平分线，点的平分线，点P在在 OC上，上，PD ⊥⊥OA ，，PE ⊥⊥OB，，求证：求证：PD=PE.AOBPEDC 几何的几何的三种语言三种语言w角平分线角平分线性质性质定理定理: : 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边角的两边距离距离相等相等. .老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.开启 智慧w如图如图, ,w∵OC∵OC是是∠∠AOBAOB的平分线的平分线( (或或∠∠1=∠∠2) , ,PD⊥OA,PE⊥OB,PD⊥OA,PE⊥OB, w∴∴ OCB1A2PDEPD=PE (角平分线上角平分线上的点到这个角的两边距离的点到这个角的两边距离相等相等). 定理的逆命题该怎么说？到一个角的两边的到一个角的两边的距离距离相等的点，相等的点，在这个角的平分线上。
在这个角的平分线上已知：如图，已知：如图，PD⊥⊥OA，，PE⊥⊥OB，，垂足分别垂足分别 是是D，，E，，PD=PE.求证：点求证：点P在在∠∠AOB的平分线上的平分线上OEBADP分析：分析： 只要画射线只要画射线OP，， 证明证明OP平分平分 ∠∠ AOB即可 判断下列推理是否正确判断下列推理是否正确（（1）如图，）如图，∵∵AD平分平分∠∠BAC，，PE⊥⊥AB，，PF⊥⊥AC ∴∴PE = PF（（角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的 两边距离相等）两边距离相等）（（2）如图，）如图，∵∵ PE = PF ∴∴ AD平分平分∠∠BAC （（到角两边距离相等的点到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上）在这个角的平分线上）（（3）如图，）如图，∵∵ 点点P在在∠∠BAC 的的平分线上平分线上 ∴∴ PE = PF（（角平分线上的点到角平分线上的点到 这个角的两边距离相等）这个角的两边距离相等）ABCDEFP（对）（对）（错）（错）（错）（错）ABCDEFP 判断下列推理是否正确判断下列推理是否正确ABCDEFPABCDEFP（（4）如图，）如图，∵∵ PE⊥⊥AB，，PF⊥⊥AC ∴∴ AD平分平分∠∠BAC（（到角两边距离相等到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上）的点在这个角的平分线上）（错）（错）（（5）如图）如图∵∵ PE⊥⊥AB，，PF⊥⊥AC，，PE = PF ∴∴点点P在在∠∠BAC 的平分线上（到角两边的平分线上（到角两边 距离相等的点在这个角的平分线上）距离相等的点在这个角的平分线上）（对）（对） 已知：已知：∠∠B = ∠B = ∠ＣＣ = 90°= 90°，，DB = DCDB = DC 求证 求证: :∠∠ADB = ∠ADCADB = ∠ADC A AB BC CD D证明证明: :∵∠∵∠B = ∠B = ∠ＣＣ = 90°= 90°（已知）（已知） ∴∴DB⊥AB,DC⊥ACDB⊥AB,DC⊥AC（（垂直的定义垂直的定义））又又∵∵DB = DC DB = DC （（已知）已知） ∴∴点点D D在在∠∠BACBAC的角平分线上的角平分线上 （（到一个角的两边距离相等的点，到一个角的两边距离相等的点， 在这个角的角平分线上）在这个角的角平分线上） ∴∴ ∠∠BAD = ∠∠CAD ∴ ∴ ∠ ∠ADB = ADB = ∠ADC(∠ADC(等角的余角相等等角的余角相等) ) 角平分线的判定定理的应用角平分线的判定定理的应用 独立作业独立作业1.1.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的 两边的距离相等. 老师期望:养成用数学解释生活的习惯. C●D●ABO 2 .在在△△ABC中，中，∠∠B=∠∠C，点，点D为为BC边的中点，边的中点，DE⊥⊥AB，， DF⊥⊥AC，，垂足分别是垂足分别是E，，F。
求证：求证：点点D在在∠∠A的平分线上的平分线上提示：提示：先证先证△△BDE≌△≌△CDF(AAS) 再由再由角平角平分线性质定理的逆定理分线性质定理的逆定理即可得到结论即可得到结论 这节课你学到了什么这节课你学到了什么小结：小结： 。
