9.1多元函数的基本概念.ppt

9.19.1多元函数的基本概念多元函数的基本概念•第九章 多元函数微分学▫ 9.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念▫ 9.2 偏导数▫ 9.3 全微分▫ 9.4 多元复合函数的求导法则▫ 9.5 隐函数的求导公式▫ 9.6 多元函数微分学的几何应用▫ 9.7 方向导数与梯度▫ 9.8 多元函数的极值▫ 9.9 综合例题 第九章第九章 第一节第一节一、平面点集一、平面点集二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 § 9.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、平面区域一、平面区域 1．邻域．邻域 设 是 的一个点,δ是某一正数.与点 距离小于δ 的点 的全体称为点 的δ邻域邻域,简称邻域邻域,记为 ,即的几何意义为xOy平面上以点为中心,半径为δ 的圆的内部所有点的全体.中除去点后剩余的部分称为点 的去心去心δ 邻域邻域.记为      如果点如果点P 的任一邻域内既有属于的任一邻域内既有属于E 的点，也有的点，也有不属于不属于E的点，则称的点，则称P点为点为E 的边界点的边界点 E的边界点的全体，称为的边界点的全体，称为E的边界，记作的边界，记作    E.2.区域区域设设E是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P是平面上的任是平面上的任意一点意一点. 如果存在点如果存在点P的某一邻域的某一邻域U(P)，使，使得得 则称则称P为为E的内点。

的内点说明：说明：说明：说明： 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是边界点也是聚点．既是边界点也是聚点．  点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E．．例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合．是聚点但不属于集合．例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．边界上的点都是聚点也都属于集合．        设设D是是开开集集．．如如果果对对于于D 内内任何两点，都可用属于任何两点，都可用属于D的折线的折线连连结结起起来来，，则则称称开开集集D 是是连连通通的的．． 连通性：连通性：区域：区域：        连通的开集称为区域或开区连通的开集称为区域或开区域．域．闭区域：闭区域：        开区域连同它的边界称为闭开区域连同它的边界称为闭区域．区域．E1E1和和E2都是连通的．都是连通的．D = E1 E2是不连通的．是不连通的．P1P2E2P1P2E1和和E2都是区域．都是区域．D = E1 E2是不区域．是不区域．E3E3是闭区域．是闭区域．如果点集如果点集E中的每一点都是内点，且中的每一点都是内点，且E中任何两点中任何两点可用全在可用全在E内的折线连结起来，则称内的折线连结起来，则称E为开区域为开区域(简简称区域称区域). 例如，例如，例如，例如，若区域若区域E包含在某个圆内，则称包含在某个圆内，则称E为有界为有界区域；否则，称为无界区域区域；否则，称为无界区域.有界点集和无界点集：有界点集和无界点集：        对于点集对于点集E如果存在正数如果存在正数K，使一切点，使一切点P E与某一定点与某一定点A间的间的距离距离|AP|不超过不超过K，即，即                                              |AP| K对一切对一切P E与成立，则称与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集．为有界点集，否则称为无界点集．        例如例如 E={(x，，y)|1≤x2 y2≤4}是有界的，是有界的， {(x，，y)|x2 y2 1}是是无界的．无界的．E 有界闭区域；有界闭区域；为无界开区域．为无界开区域．例如，例如，        数数xi 称为点称为点(x1，，x2，，··· ，，xn)的第的第i 个坐标．个坐标．n维空间：维空间：        设设n为取定的一个自然数，则称有序为取定的一个自然数，则称有序n元数组元数组(x1，，x2，，··· ，，xn)的全体为的全体为n维空间，记为维空间，记为R n ．．n维空间中点：维空间中点：        每个有序每个有序n元数组元数组(x1，，x2，，··· ，，xn)称为称为n维空间中的一个点．维空间中的一个点．点的坐标：点的坐标：  n维空间中两点维空间中两点P(x1，，x2，，··· ，，xn)及及Q(y1，，y2，，··· ，，yn)间的间的距距离规定为离规定为两点间的距离：两点间的距离：例 1 设圆柱体的底面半径为, 高为,则圆柱体体积 .这是一个以 为自变量, 为因变量 的二元函数.根据问题的实际意义,函数的定义域为值域为 例2 求二元函数的定义域.解解由可得定义域为例3 已知函数,求.解解所以.注注:该方法主要是把右边的式子都凑凑成 里面的两个量.例例3. 求.解解根据二重极限的定义，需要特别注意以下两点：(1) 二重极限存在，是指 以任何方式趋于 时， 函数都无限接近于A.(2) 如果当 以两种不同方式趋于 时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在.例例4 4  证明证明                       不存在．不存在．  证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 故极限不存在．故极限不存在．确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：四四. 二元函数的二元函数的连续性性定定义3　设二元函数 在点 的某一邻域内有定义，如果 则称 在点 处连续连续,并称点 为连续点.如果函数 在点 处不连续，则称函数 在 处间断间断,称点 为间断点间断点.例例6讨论点 是否为函数的连续点.解解 由于且,故在处连续.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数二元初等函数.例如， 都是二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 例例7. 求解解 因初等函数 在(0,1)处连续, 故有  例例8 求 解解 二元函数的性质二元函数的性质:性性质1（最大值和最小值定理最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.性性质2（有界性定理有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.性性质3（介值定理介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 思考题：思考题：练练 习习  题题作业习题9.1（P47）2 (1)、(3)， 3、4(1)、 4(3)。