D12数列的极限65482实用教案.ppt

第1页/共36页第一页，共37页定义定义(dìngyì):, 设有数列设有数列(shùliè)及常数及常数(chángshù) a，如果，如果当当 n > N 时时,总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛 , 否则称数列否则称数列发散发散 .几何解释几何解释 :即即或或则称该数列则称该数列的极限为的极限为 a ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页/共36页第二页，共37页例如例如(lìrú),趋势(qūshì)不定收   敛发   散机动(jīdòng) 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共36页第三页，共37页例例1.￿已知已知证明(zhèngmíng)数列的极限(jíxiàn)为1.         证: 欲使即只要(zhǐyào)因此 ,  取则 就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共36页第四页，共37页例例2. 已知已知证明证明(zhèngmíng)证证:欲使欲使只要只要(zhǐyào)即即取取则则 就有就有故故故也可取故也可取(kěqǔ)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第5页/共36页第五页，共37页。

例例3.￿设设证明证明(zhèngmíng)等比数列等比数列证证:欲使欲使只要只要(zhǐyào)即即亦即亦即因此因此(yīncǐ) , 取取, 则当则当 n > N 时时, 就有就有故故的极限为的极限为 0 . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第6页/共36页第六页，共37页例例4. 已知已知证明证明(zhèngmíng)证证:欲使欲使只要只要(zhǐyào)即即取取则则 就有就有故故故也可取故也可取(kěqǔ)也可由也可由N 与与   有关有关, 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .说明说明: 取取机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第7页/共36页第七页，共37页二、收敛二、收敛(shōuliǎn)数列的数列的性质性质证证: 用反证法用反证法.及及且且取取因因故存在故存在(cúnzài) N1 , 从而从而(cóng ér)同理同理, 因因故存在故存在 N2 , 使当使当 n > N2 时时, 有有1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当使当 n > N1 时时, 假设假设从而从而矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n > N 时时, 故假设不真故假设不真 !满足的不等式满足的不等式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第8页/共36页第八页，共37页。

例例4.￿证明证明(zhèngmíng)数数列列是发散是发散(fāsàn)的的. 证证: 用反证法用反证法.假设假设(jiǎshè)数数列列收敛收敛 , 则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在 .取取则存在则存在 N ,但因但因交替取值交替取值 1 与－与－1 , 内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在长度为长度为 1 的开区间的开区间 使当使当 n > N 时时 , 有有因此该数列发散因此该数列发散 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第9页/共36页第九页，共37页2.￿收敛数列收敛数列(shùliè)一一定有界定有界.证证: 设设取取则则当当时时, 从而从而(cóng ér)有有取取 则有则有由此证明收敛由此证明收敛(shōuliǎn)数列必有数列必有界界.说明说明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立 .例如例如,虽有界但不收敛虽有界但不收敛 .有有数列数列机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第10页/共36页第十页，共37页。

定理定理(dìnglǐ)1.3(dìnglǐ)1.3（保号性）（保号性）（或（或a>b)a>b)则存在则存在(cúnzài)(cúnzài)正整数正整数N,N,当当n>Nn>N时，有时，有证证: .设设取取因因故存在故存在(cúnzài) N1 , 从而从而同理同理, 因因故存在故存在 N2 , 使当使当 n > N2 时时, 有有使当使当 n > N1 时时, 从而从而则当则当 n > N 时时,有有 第11页/共36页第十一页，共37页推论推论(tuīlùn)1.2(tuīlùn)1.2当当n>N>N时，有时，有设设且ab),),推论推论(tuīlùn)1.3(tuīlùn)1.3当当n>N>N时，有时，有设设且a<0则存在正整数则存在正整数N,N,（或（或a>0),),第12页/共36页第十二页，共37页第13页/共36页第十三页，共37页 1·4 1·4 数数列列极极限限(jíxiàn)(jíxiàn)的四则运算的四则运算第14页/共36页第十四页，共37页证明证明(zhèngmíng) 1））有有有有取取第15页/共36页第十五页，共37页。

2））有有取取第16页/共36页第十六页，共37页 注意：加法运算及乘法运算可以注意：加法运算及乘法运算可以(kěyǐ)推广到有限个情况推广到有限个情况都发散都发散(fāsàn) 注意注意(zhù yì)两个发散数列的和（或差）不一两个发散数列的和（或差）不一定收敛也不一定发散定收敛也不一定发散第17页/共36页第十七页，共37页解解=1解解第18页/共36页第十八页，共37页解解第19页/共36页第十九页，共37页1.5 数列收敛数列收敛(shōuliǎn)判别判别法法单调单调(dāndiào)有界原理有界原理 夹挤定理夹挤定理(dìnglǐ)柯西审敛准则柯西审敛准则 第20页/共36页第二十页，共37页1.￿单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(jíxiàn)￿(￿准则准则1￿)￿￿￿( 证明(zhèngmíng)略 )机动 目录 上页 下页 返回(fǎnhuí) 结束 第21页/共36页第二十一页，共37页例例.￿设设证明证明(zhèngmíng)数列数列极限极限(jíxiàn)存在存在 . 证证: 利用利用(lìyòng)二项式公式二项式公式 , 有有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第22页/共36页第二十二页，共37页。

大大 大大 正正又比较(bǐjiào)可知机动 目录 上页 下页 返回(fǎnhuí) 结束 第23页/共36页第二十三页，共37页根据根据(gēnjù)准则准则￿1￿可知数列可知数列记此极限(jíxiàn)为 e , e 为无理数 , 其值为即有极限(jíxiàn) .原题 目录 上页 下页 返回 结束 又第24页/共36页第二十四页，共37页2. 夹挤定理夹挤定理(dìnglǐ) (准则准则2) 证证: 由条件由条件(tiáojiàn) (2) ,令令则则 有有即即故故 机动 目录 上页 下页 返回(fǎnhuí) 结束 即即即即第25页/共36页第二十五页，共37页例例. 证明证明(zhèngmíng)证证: 利用利用(lìyòng)夹逼准则夹逼准则 .且且由由机动 目录(mùlù) 上页 下页 返回 结束 第26页/共36页第二十六页，共37页3. 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(zhǔnzé)(柯西审敛原理柯西审敛原理) 数列数列(shùliè)极限极限(jíxiàn)存在的充要存在的充要条件是条件是:存在正整数存在正整数 N ,使当使当时时,证证: “必要性必要性”.设设则则时时, 有有 使当使当因此因此“充分性充分性” 证明从略证明从略 .有有柯西柯西 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第27页/共36页第二十七页，共37页。

*********************4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一收敛数列的任一子数列收敛于同一(tóngyī)极限极限 .证证: 设数列设数列(shùliè)是数列是数列(shùliè)的任一子数列的任一子数列 .若若则则当当 时时, 有有现取正整数现取正整数 K , 使使于是当于是当时时, 有有从而有从而有由此证明由此证明 *********************机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第28页/共36页第二十八页，共37页由此性质由此性质(xìngzhì)可知可知 ,若数列有两个若数列有两个(liǎnɡ ɡè)子数列收敛于子数列收敛于不同的极不同的极限限 ,例如例如(lìrú)，， 发散发散 !则原数列一定发散则原数列一定发散 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: 第29页/共36页第二十九页，共37页内容内容(nèiróng)小结小结1. 数列极限数列极限(jíxiàn)的的 “   – N ” 定义及定义及应用应用2. 收敛收敛(shōuliǎn)数列数列的性质的性质:唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则极限存在准则:夹逼准则夹逼准则 ; 单调有界准则单调有界准则 ; 柯西准则柯西准则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第30页/共36页第三十页，共37页。

思考思考(sīkǎo)与与练习练习1. 如何判断如何判断(pànduàn)极限极限不存在不存在?方法方法1. 找一个找一个(yī ɡè)趋于趋于∞的子数的子数列列;方法方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知已知, 求求时时,下述作法是否正确下述作法是否正确? 说明理由说明理由.设设由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得不对不对!此处此处机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第31页/共36页第三十一页，共37页故极限(jíxiàn)存在，备用备用(bèiyòng(bèiyòng) )题题 1 1. .设 , 且求解：解：设则由递推公式(gōngshì)有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共36页第三十二页，共37页机动 目录(mùlù) 上页 下页 返回 结束 ￿2.￿￿设设证证:显然(xiǎnrán)证明(zhèngmíng)下述数列有极限 .即单调增,又存在“拆项相消拆项相消” 法法第33页/共36页第三十三页，共37页。

感谢您的欣赏(xīnshǎng)！第36页/共36页第三十六页，共37页内容(nèiróng)总结第1页/共36页第1页/共36页第2页/共36页不一定取最小的 N .1. 收敛数列的极限唯一.2. 收敛数列一定有界.或a>b)则存在(cúnzài)正整数N,当n>N时，有注意两个发散数列的和（或差）不一定收敛也不一定发散证: 利用夹逼准则 .3. 柯西极限存在(cúnzài)准则(柯西审敛原理)证: “必要性”.若数列有两个子数列收敛于不同的极刘徽(约225 – 295年)第三十七页，共37页。