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本章学习目标v1了解复变函数积分的概念;v2了解复变函数积分的性质;v3掌握积分与路经无关的相关知识;v4熟练掌握柯西—古萨基本定理;v5会用复合闭路定理解决一些问题;v6会用柯西积分公式;v7会求解析函数的高阶导数.复变函数的积分v3.1 复变函数积分的概念v3.1.1积分的定义v本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论 3.1.2积分存在的条件及其计算方法 v1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑)v曲线时，积分是一定存在的v2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算3.1.3 积分的性质 v从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.v我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向. 3.1.3 积分的性质积分的性质v1v2v3v4例1计算 其中 为从原点到点 的直线段。

v解 直线的方程可写成v又因为v容易验证，右边两个线积分都与路线 无关，所以 的值无论 是怎样的曲线都等于例2计算 其中 为以 中心， 为半径的正向圆周, 为整数.解: 的方程可写成所以因而例3计算 的值，其中 为沿从〔0，0〕到〔1，1〕的线段：v解 :例4计算 的值，其中 为沿从〔0，0〕到〔1，1〕的线段与从〔1，0〕到〔1，1〕的线段所连结成的折线 v解 :3.2 柯西—古萨〔Cauchy—Goursat〕基本定理v3.2.1 积分与路经无关问题v积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.v柯西—古萨〔Cauchy—Goursat〕基本定理 如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零即v 3.2.3 几个等价定理v定理一 如果函数 在单连域内处处解析，那末积分 与连结从起点到终点的路线 无关.v定理二 如果函数 在单连域 内处处解析，那末函数 必为内的解析函数,并且原函数的概念v下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。

首先引入原函数的概念：v结论： 的任何两个原函数相差一个常数v利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式v定理三 如果函数 在单连域内处处解析， 为 的一个原函数，v那末v这里 为区域 內的两点例 5 计算 v解： 例 6 计算 v解： 例7 计算 v解： 例8 计算 v解： 3.3 基本定理的推广—复合闭路定理v我们可以把柯西—古萨基本定理推广到多连域的情况 .v在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理.v 例9计算 的值， 为包含圆周 在内的任何一条正向简单闭曲线v解 :3.4 柯西积分公式v定理(柯西积分公式) 如果函数 在区域 内处处解析， 为内 的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 , 为 内的任一点,那末v (3.4.1)v公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在 内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.例10计算 (沿圆周正向)v解 由公式(3.4.1)得例11计算 (沿圆周正向)v解 由公式(3.4.1)得v柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具v(见3.5解析函数的高阶导数).v一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 .3.5 解析函数的高阶导数v一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理v定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为:v其中 为 在函数的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 .例12 计算 其中 为正向圆周: v解:由公式(3.5.1)得。