有理数的除法基本知识及易错题例析.doc

有理数除法基本知识及易错例析松江区立达中学 庄士忠 卢栋才 201600 有理数除法的意义与小学学过的正数的除法的意义是相同的，即：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫除法，所不同的是，负有理数可以参加除法运算.1．关于倒数乘积为1的两个数互为倒数，即：如果ab=1，则a,b互为倒数.反过来，如果a,b互为倒数，则ab=1.因为任何与0相乘的积都是零，而不能是1，所以0没有倒数.一般地，求一个整数的倒数，直接写成这个数的分之一即可.求一个分数的倒数，只要把分子、分母颠倒一下即可.即a(a≠0)的倒数是；（a≠0,b≠0）的倒数是.例如的倒数是2，-3的倒数是-，-的倒数是-.2．除法的运算法则法则一：除以一个数等于乘上这个数的倒数，即：ab=a(b≠0)法则一表明了有理数的除法和乘法可以互相转化，由于0没有倒数，所以除数不能为0.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，得0.3．利用除法化简分数除法可以写成几种不同的形式，例如：63可以写成，还可写成6∶3.说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化，所以可以利用除法化简分数.4．关于运算律因为除法可以转化成乘法，所以乘法的运算律有的在除法中适用，例如乘法的分配律在除法中的应用，如（-25）（-5）=（25+）5=255+5=5+=5，但是乘法的交换律和结合律在除法中是不适用的，如65≠56，（62）3≠6（23）【重点难点解析】1.本节的重点是有理数除法法则；难点是确定商的符号和灵活运用除法的两个法则.2.根据倒数的意义可知，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.在表示一个数（0除外）的倒数时，只要把这个数的分子、分母颠倒位置就可以了.3.对于除法的两个法则.在计算时可根据具体的情况运用.一般在不能整除的情况下应用第一个法则.如1（-1）=（-）=-；在能整除的情况下，应用第二个法则比较方便，如：（-16）（+2）=-162=-8，写成（-16）2=-16（+）=-8就繁琐了.例1 计算（1）（-40）（-8）； （2）（-5.2）3.分析: 题(2) ∵ 5.2=,3,∴原式=(-).解: (1) (-40)(-8)=5; (2)(-5.2) 3=-=-=-1.注: 题(1)能整除,在确定商的符号之后,直接除比较简便;题(2)的除数是分数,把它转化为乘法比较简便.例2 计算 -2.251(-8)分析: 把小数化为分数,除法转化为乘法,带分数化为假分数,即-(-8)再乘.解: -2.251(-8) =-(-8)=16注: 有理数的乘除法运算是同一级运算,因此应按照从左到右的顺序进行运算.错误的解是-2.251(-8)=-2.25(-8)=-2.25(-9)= ,原因是先乘后除了.为了防止这类错误,应化除为乘.例3 计算(-)()错解: 原式=(-)++(-)-(-) =-+- = =正确: 原式=- =- =-注: 乘法对加法满足分配律,但除法对加法并不满足分配律.只有当把除法转化为乘法以后,才能运用分配律.例4： 化简下列分数(1) (2)-; (3) (4)-解: (1)(2)-[3(-9)]=-(-)= ;(3)=0(-3)=0;(4)-[(-a) (-b)]=-ab=-.注: 利用除法化简分数,主要是简化分数的符号,一般地有,分数的分子、分母、分数本身的三个符号中，任意改变其中两个的符号，分数的值不变，这一结论使上述问题化简过程更为简便，如第（4）小题-【难题巧解点拨】例1 计算：65（-）+（-17）（-）解： 65（-）+（-17）（-） =65(-)+(-17)(-) =48(-) =(48+)(-) =48(-)+(-) =-52-注：本题灵活运用运算律，使繁杂的计算变得简便.【课本难题解答】1．计算（1）（-）（-1）（-2）；（2）-6（-0.25）解：（1）（-）（-1）（-2） =（-）（-）（-） =- =-（2）-6（-0.25）=-6(-)=64=注：先将小数化成分数，将除法变成乘法，最后确定结果的符号.2．判断下列各式是否成立：（1）；(b≠0) （2）(b≠0)解：（1）、（2）均正确.注：根据分数与除法互化来做：如：，如：=(-a)b=-ab=-,(-b)=-ab=- ∴【典型题】例1 填空题：（1）-1.5的倒数是 ; 的倒数是-0.6. （2）a-b(a≠b)的倒数是 ;（3）-12(-3)= ;-2(-6)= ;（4）13(-52)= ;-2(-1)= ;（5） ;-= .解：(1)-;- (2) (3)4;;(4)-;2; (5);1注意：（1）一般倒数用分数表示比较方便；（2）只有在a-b≠0的条件下，a-b才有倒数；（3）利用除法可以简化分数的符号，一般地有分数的分子、分母、分式本身的三个符号中，任意改变其中两个的符号，分数的值不变.例2 计算题：（1）-542（-2）；（2）（-128）（-32）；（3）[15-(11+13)](-1).解： （1）原式=54=54=12（2）原式=12832+32=4+=4（3）原式=-[15-（+）] =-[15-（+）] =-=-10注意：（1）如果算式中只含有乘除法运算，应按从左到右的顺序进行运算，不能乱.（2）含有加减乘除的混合运算中，要先算乘除，再算加减，遇到括号要先算括号里面的.例3 计算：-8+8（-2） 解：原式：=-8+（-） =-8+（-） =-8-33 =-41【练习】（时间45′，满分100分）1．选择题：（1）两个有理数的商是正数，这两个数一定是（ ）A．都是负数； B．都是正数C．至少一个是正数； D．两数同号.（2）计算：（-1）（-5）（-）的结果是（ ）A．-1； B．1； C．- D．-25.（3）下列说法错误的是（ ）.A．任何有理数都有倒数； B．互为倒数的两数的积等于1；C．互为倒数的两数符号相同； D．1和-1互为负倒数.（4）一个数的倒数的相反数是3，则此数是（ ）A．； B．； C．-； D．-.（5）若a<,则a满足（ ）A．a>1; B．0-1; D．-11（6）两数的商为正，那么这两数（ ）A．和为正； B．差为正；C．积为正； D．以上都不对.（7）下列说法错误的是（ ）A．小于-1的数的倒数大于其本身； B．小于1的正数的倒数大于其本身；C．一个数的倒数不能等于它本身； D．m-n(m≠n)的倒数是.（8）如果a1,则a的取值范围是 ;若<1,则a的取值范围是 .（8）若ab<0,且a>b,则a 0,b 0. （9）若 0.（10）如果-1; (3)>0,<0; (4)-,; (5) ; (6)-6,; (7)01; (8)>,<; (9)<; (10)>.2.(1)1; (2)-0.3; (3) (4)-1[提示:利用分配律] (5)12.66。