浙江大学数学分析1999-2008.doc

浙江大学1999年研究生数学分析试题一． 求极限二． 在平面上求一点，使它到三条直线及的距离平方和最小三． 计算二重积分，其中由曲线 所围城的区域四． 设在时连续，，并且，，试求函数五． 设函数连续，若有数列使，则对A，B之间的任意数，可找到数列，使得六． 设，证明不等式七． 设函数在，试证明：并利用上述等式证明下式 八． 从调和级数中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限 解：原式=(2)设解：，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照这个数列来进行即可二．（共10分）1．设证： 2．在上连续，在内存在，试证明存在，使得分析：考虑函数即可三．（共15分）1．求数项级数的和 分析：S=2S-S2．试证明在上的连续函数四．（共15分）设方程组，确定了可微函数，试求分析：用隐函数组的方法求解；1． 设，求分析：五．（共30分）1． 计算定积分分析：令t=cosx，I=02． 求以曲面为顶，以平面为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积分析：，其中，D={(x,y)| }.3． 设表示半球面的上侧，求第二类曲面积分分析：使用高斯公式，则J=.六．（共20分）1．将函数 展开成级数分析：直接使用的定义公式；2． 级数的和 分析：使用幂函数中的公式求解；3． 计算广义积分分析：原式=+=[+]浙江大学2001年研究生数学分析试题一、（共30%）（A）.（10%）用“-N语言”证明（B）.(10%)设f(x)在附近有定义且在处不连续，试给出不连续点的分类（名称及定义）；若f在的一个领域内处处可导，问的不连续点又可分为哪几类。

为什么？（C）.(10%)设f(x,y)为二元函数，在附近有定义，试讨论二重极限与累次函数之间的关系，必要时，请给出反例二、（共30%）（A）.(5%)求（B）.(5%)求（C）.(5%)求设y=y(x)为x的可微函数，求，其中（D）.(8%)求（E）.(7%)求在处的Taylor,并求其收敛半径三、（共20%）（A）.(10%)设z=z(x,y)为x,y的二次可微函数作自变量和因变量的变换，取u,v为新的自变量，w=w(u,v)为新的因变量，使得w=xz-y,u=,v=x,请将方程变换为关于新变量w,u,v的方程B）.(10%) 求，其中D是以y=x,y=x+a,y=a,及y=3a(a>0)为边的区域四、（共20%） 讨论的收敛性（对于收敛情形；要区分条件收敛与绝对收敛），其中p∈(0,∞)，[a]表示a的证书部分并证明参量p∈(,∞)时为内闭一致收敛2002年数学分析考试试题一、（共30％）（A）（10％）用“语言”证明；（B）（10％）给出一个一元函数，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之；（C）（10％）设为二元函数，在附近有定义，试讨论“在处可微”与“在附近关于、的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。

二、（共30％）（A）（5％）设，数列由如下递推公式定义：，，，，，，求证：B）（5％）求C）（5％）求，，，，，，（当时）D）（5％）求不定积分E）（5％）证明：在上连续可微三、（共20％）（A）（10％）求第一型曲面积分，其中B）（10％）设、、为三个实数，证明：方程的根不超过三个四、（共20％）设，求证：（A）（10％）对任意自然数，方程在内有且仅有一个正根；（B）（10％）设是的根，则浙江大学2003年研究生数学分析试题1．（15分）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之2．（15分）设在上一致连续，在上连续，且证明：在上一致连续3．（15分）设在上有二阶连续导数，且，当时证明：在内，方程有且只有一个实根4．（20分）设连续，，且（常数），求，并讨论在处的连续性5．（10分）定义为，证明：6．（10分）给出Riemann积分的定义，并确定实数的范围使下列极限收敛7．（20分）证明：（1）函数项级数在上一致收敛，但是对任意非绝对收敛；（2）函数项级数对任意都绝对收敛，但在上非一致收敛 8．（45分）计算 1）（15分）； 2）（15分），其中为平面曲线所围成的有界闭区域。

3）（15分），其中2003年浙江大学数学分析试题答案一、当时，证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列，，所以，二 、当时，，当时，对上述当时，且当时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以时，当时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 时，，取即可三、由得所以递减，又，所以，且，所以必有零点，又递减，所以有且仅有一个零点四、，，，在连续五、当时，不妨设，=当时，====六、J是实数，当时，当时，，当时，该积分收敛七、有界，在上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，在上一致收敛，与同敛散，所以发散；当时，绝对收敛，当时，绝对收敛；，所以不一致收敛八、1. ，当时，2. ,3. J=二〇〇四年数学分析试题 一．（15分）设函数在区间上有定义试证明：在上一致连续的充要条件是对区间上任意的两数列与，当时，有二．（15分）设函数在区间内具有直到三阶的连续导数，且，试证明：绝对收敛三．（15分）设函数在区间上可微，且在点的左导数，在点的右导数，证明：在内至少有两个零点四.（15分）设函数在区间上Riemann可积，且试证明：存在闭区间使得当时，五.（15分） 证明：若一族开区间覆盖了闭区间，则必存在一正数，使得中任何两点满足时，必属于某个开区间。

六.（15分）用球面坐标变换方程 七.（10分）计算：八.（15分）求在条件下的最大最小值，其中九．（15分）利用公式计算积分的值说明计算过程中每一步的合理性） 十．（20分）（1）设为中光滑区域，为其边界，在上有连续二阶导数证明： 其中为沿边界外法线方向的导数，为边界上的面积元， （2）的坐标为，函数 证明：在上成立 （3）设是以为中心为半径的球，为其边界若在上满足，则2004年浙江大学数学分析试题答案1.在X上一致收敛：当时，，由，对上述当时，，有，所以，充分性：反证：假设在X上不一致收敛；尽管，但，不妨取尽管，但上述满足，但是，与矛盾2. 由，得，，，级数绝对收敛，所以原级数绝对收敛3.由，存在，由，存在，由连续函数的介值定理：存在，，在由罗尔定理，知在至少存在两个零点4.反证：假设对任意的区间，有，把这些区间叠加覆盖区间[a,b]则，与题设矛盾5.由有限覆盖定理：存在，有覆盖[0，1]，记这N个区间的长度的最小者为，当时，6.参考数学物理方程的有关教材的推导7. 8.，，解得：，，，所以最大值为，最小值为9. ，==，证完10.（1）=（2），，，，，（3）主要用到第一型曲面积分的换元公式，高斯公式=====,,即，所以，所以 则浙江大学2005数学分析1． 计算定积分：解：2． 假设f(x)在[0,1]Rieman可积，，求解：利用可积的定义和Taylor展开作3． 设a,b,c是实数，b>-1,c≠0,试确定a,b,c，使得解：不断利用L’Hospital法则4． f(x)在[a,b]上连续，对于，求证：证明：利用实数系的几个定理就可以了5．(1)设f(x)在[a,+∞]上连续，且收敛，证明：存在数列，使得满足，(2) 设f(x)在[a,+∞]上连续，f(x)≥0,且收敛，问：是否必有，为什么？证明：（1）此题也可以用反证法来解决，也非常简单。

2）不是，构造一个锯齿形的函数5． 设f(x)在[0,+∞]具有二阶连续导数，且已知和都是有限数，求证：证明：根据Taylor展开：（1） 由题1的结论： 7．设f(x)在任何有限区间上Rieman可积，且收敛，证明：证明：分成两段，然后把它化成级数来考虑，做的有点麻烦8．（1）将arctan x展开为幂级数，并求他的收敛半径（2）利用（1）证明：（2） 利用（2）的公式，近似计算的值，需要用多少项求和，误差不会超过？解：（1）（2）将x=1代入（3）利用Taylor展开的余项9．设U(x,y)是R2/{0,0}上C2径向函数，即存在一元函数f，u(x,y)=f(r),r=，若满足如下的方程：，求f满足的方程及函数u(x,y)解： 10．（1）设f是R1的C1，周期为L的函数（L>0）且,l利用f的Fourior级数展开证明：，当且仅当存在常数，使得（2）设是R2上具有C1光滑的连通区域设是的面积，则其中（3）同上，是的边界长度，利用（1）（2）证明：，当且仅当时圆盘等号成立证明：(1)（2）（3）本题的证明是从陈纪修老师的《数学分析（下册）》P.432的定理16.3.7找到的 浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题二〇〇七年攻读硕士学位研究生入学考试试题一．（30分）证明：1..2.3.设是[-1,1]上的可积函数,则有二.(30分)1.叙述数集的上确界及下确界的定义.2.设是一个有上界的数集,用表示的一个平移,即其中a是一个实数,试证明3.确定数集的上确界和下确界(必须用定义加以验证)三.(20分)狄利克雷函数试分别用(1)极限定义;(2)柯西收敛准则,证明当时 的极限不存在.四(20分)1.设函数列与在区间 上分别一致收敛于与,且假定与都在上有界.试证明:在区间 上一致收敛于.2.如果只给出条件: 与分别一致收敛于与,能否保证必有一致收敛于? 请说明理由.五(15分)设在[a,b]上可积,并且在处连续.证明:.六(15分) 设证明:数列有极限,并求其值.七(20分)设证明：1. 在[-1,1]上连续.2. 在x=-1处可导.3. 4. 在x=1处不可导- 21 -。