高考数学备考训练-一元二次不等式一、选择题1．0＜m＜1，则不等式(x－m)(x－)＜0的解集为( )A．{x|＜x＜m} B．{x|x＞或x＜m}C．{x|x＞m或x＜} D．{x|m＜x＜}答案 D解析 当00}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]，则( )A．a＝2009，b＝－2010 B．a＝－2009，b＝2010C．a＝2009，b＝2010 D．a＝－2009，b＝－2010答案 D解析 化简得M＝{x|x<－1或x>2009}，由M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010是方程x2＋ax＋b＝0的两个根．所以b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即a＝－2009.5．(2011·济南统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)>0，f(2)＝，则m的取值范围是( )A．m< B．m<且m≠1C．－1或m<－1答案 C解析 由题意得f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)<0，即<0，∴－11的解集为( )A．(2,3)∪(－3，－2)B．(－，)C．(2,3)D．(－∞，－)∪(，＋∞)答案 A解析 由导数图象知当x<0时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数；当x>0时，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f(x2－6)>1等价于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即或0≤x2－6<3，解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．7．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围为( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D．(－∞，－3)∪[1，＋∞)答案 B解析 ∵f(x0)>1，∴或，解得x0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．8．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是( )A．(－，) B．(－，)C．(－1,1) D．(0,2)答案 A解析 由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，∴－x2＋x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立．解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，∴4y2－4y－3<0，解得－0的解集是________．答案 (－4,2)解析 考查分式不等式的解法>0等价于(x－2)(x＋4)<0，所以－40的解集是________．答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)解析 方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可．三、解答题13．关于x的不等式x2－(a＋＋1)x＋a＋<0(a>0)．答案 (1，a＋)解析 不等式可化为[x－(a＋)](x－1)<0，∵a>0，∴a＋≥2>1.∴该不等式的解集为(1，a＋)．14．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解析 解x2－x－2>0得x>2或x<－1解2x2＋(2k＋5)x＋5k<0(有解集)得(2x＋5)(x＋k)<0由原不等式组，整数解为{－2}．得－0在x∈[0,1]上恒成立．方法一 令g(x)＝x2＋ax－a＋1，只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可．g(x)＝x2＋ax－a＋1＝2－－a＋1.①当－<0，即a>0时，g(x)min＝g(0)＝1－a>0⇒a<1，故00⇒－2－21，即a<－2时，g(x)min＝g(1)＝2>0，满足，故a<－2.故存在实数a，使得不等式f(1－ax－x2)0且|x|≥0，故a>0，分别作出f1(x)＝a(x2＋2)和f2(x)＝|x|的图象如图：根据图象的对称性，只需研究x≥0时满足即可，当x≥0，二者相切时，应有f1′(x)＝2ax＝1，此时x＝，所以，欲使原命题成立，只需满足f1()≥f2()，即a×＋2a≥⇒8a2≥1，解之得a≥(a≤－舍去)．解法2：令t＝|x|≥0，原不等式可化为at2－t＋2a<0在t≥0不存在，即at2－t＋2a≥0在t≥0恒成立，∴或解之得a≥2．设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2.(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值；(2)求证：x1<－1且x2<－1；(3) 如果∈[，10]，试求a的最大值．解析 (1)(1＋x1)(1＋x2)＝1＋(x1＋x2)＋x1x2＝1－＋＝1.(2)令f(x)＝ax2＋x＋1，由Δ＝1－4a≥0，得0<2a≤，∴抛物线f(x)的对称轴x＝－≤－2<－1.又f(－1)＝a>0，∴f(x)图象与x轴的交点都在点(－1,0)的左侧，故x1<－1，且x2<－1.(3)由(1)，x1＝－1＝－.＝－∈[，10]，所以－∈[，]．所以a＝＝－＝－[(－)－]2＋.故当－＝时，a取得最大值为.3．(2010·湖南卷，理)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.证明 易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R,2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1.于是c≥1，且c≥2＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.。
