工程数学第4讲.ppt
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1,工程数学 第4讲,本文件可从网址 上下载 (单击ppt讲义后选择'工程数学'子目录),2,一、问题的提出,观察上节例1,,此时积分与路线无关.,观察上节例4,,3,观察上节例5,,由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析.,由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.,4,柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则它在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:,,,,C,B,5,定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B. 如果曲线C是B的边界, 函数f(z)在B内与C上解析, 即在闭区域B+C上解析, 甚至f(z)在B内解析, 在闭区域B+C上连续, 则f(z)在边界上的积分仍然有,6,§3 基本定理的推广,复合闭路定理,7,可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况. 设函数f(z)在多连通域D内解析, C为D内的任意一条简单闭曲线, 当C的内部不完全含于D时, 沿C的积分就不一定为零. 假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方向)简单闭曲线, C1在C内部, 而且以C及C1为边界的区域D1全含于D. 作两条不相交的弧线AA'及BB',其中A,B在C上, A'B'在C1上这样构成两条全在D内的简单闭曲线AEBB‘E’A‘AE及AA’F‘B’BFA.,8,,D1,9,将上面两等式相加, 得,10,(3.3.1)说明, 如果将C及C1-看成一条复合闭路G, 其正向为:沿C逆时针, 沿C1-顺时针, 则,(3.3.2)说明, 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点. 这一重要事实, 称为 闭路变形原理,11,,,,,,,,,变形过程中不能够经过f(z)不解析的点,12,定理(复合闭路定理) 设C为多连通域D内的一条简单闭曲线, C1,C2,.,Cn是在C内部的简单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ., Cn为边界的区域全含于D. 如果f(z)在D内解析, 则,G为由C及Ck(k=1,2,.,n)所组成的复合闭路(C按顺时针, Ck按逆时针,13,,,,D,,,,,,,,C,C1,C2,C3,14,例如 从本章§1的例2知: 当C为以z0为中心的正向圆周时,,15,[解] 函数 在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的. 由于G 是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线, 因此, 它也包含这两个奇点. 在G 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2, C1只包含奇点z=0, C2只包含奇点z=1.,例 计算 的值, G为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线.,16,则根据复合闭路定理的i), 可得,,,,x,y,O,,,,1,,,,G,C1,C2,17,18,§4 原函数与不定积分,19,定理一 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则积分 与连接起点及终点的路线C无关.,,,,,,,,,z1,z2,B,C1,C2,,,,,,,z1,z2,C1,C2,B,20,由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与起点z0和终点z1有关, 如图所示, 我们有,,,,,,,,,z1,z2,B,C1,C2,,,,,,,z1,z2,C1,C2,B,21,固定z0, 让z1在B内变动, 令z1=z, 则积分,在B内确定了一个单值函数,对这个函数我们有 定理二 如果f(z)在单连通域B内处处解析, 则函数F(z)必为B内的一个解析函数, 并且F '(z)=f(z).,22,[证] 从导数的定义出发来证. 设z为B内任意一点, 以z为中心作一含于B内的小圆K, 取|Dz|充分小使z+Dz在K内. 于是由(3.4.1)得,,,,,,,,,,z+Dz,z,K,z,z0,23,24,则任给e>0, 存在d>0, 当|z-z|
