小学六年级奥数详细讲解_工程问题.doc

第一讲 工程问题工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中,一般要出现三个量：工作总量、工作时间〔完成工作总量所需的时间和工作效率〔单位时间内完成的工作量．这三个量之间有下述一些关系式：　　工作效率×工作时间＝工作总量,　　工作总量÷工作时间＝工作效率,工作总量÷工作效率＝工作时间．为叙述方便,把这三个量简称工量、工时和工效．例1 一项工程,甲乙两队合作需12天完成,乙丙两队合作需15天完成,甲丙两队合作需20天完成,如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析 设这项工程为1个单位,则甲、乙合作的工效为,乙、丙合作的工效为,甲、丙合作的工效为因此甲、乙、丙三队合作的工效的2倍为＋＋,所以甲、乙、丙三队合作的工效为〔＋＋÷2=因此三队合作完成这项工程的时间为1÷=10〔天解：1÷[〔＋＋÷2]=10〔天答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．说明：我们通常把工量"一项工程"看成一个单位,这样,工效就用工时的倒数来表示如例1中甲、乙两队合作的工时为12天,那么工效就为,它表示甲、乙两队一天完成全部工程的例2 师徒二人合作生产一批零件,6天可以完成任务．师傅先做5天后,因事外出,由徒弟接着做3天,共完成任务的批零件各需几天？分析　设一批零件为单位"１",其中６天完成任务,用表示师徒的工效和．要求每人单独做各需几天,首先要求出各自的工效,关键在于把师傅先做5天,接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天,师傅再做2天．解：师傅工效：〔－×３÷２＝；　　徒弟工效：－＝；　　师傅单独做需几天：１÷＝10〔天 徒弟单独做需几天：1÷＝15〔天。

答：如果单独做,师傅需10天,徒弟需15天．例3 一项工程,甲单独完成需12天,乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做,共用10天完成,问甲做了几天？分析 解答工程问题时,除了用一般的算术方法解答外,还可以根据题目的条件,找到等量关系,列方程解题解：设甲做了x天．那么,甲完成工作量的,乙做的天数10－,乙完成工作量〔10－×,因此＋〔10－×=1,两边同乘36,得到：3x＋40－4x＝36x＝4．　　答：甲做了4天．　　例4 一件工作甲先做6小时,乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时,乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做,还需要多少小时完成？　　分析 设一件工作为单位"1"．甲做6小时,乙再做12小时完成或者甲先做8小时,乙再做6小时都可完成,用图表示它们的关系如下：由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量,∴甲1小时工作量＝乙3小时工作量．可用代换方法求解问题．解：若由乙单独做共需几小时：6×3＋12＝30〔小时．若由甲单独做需几小时：8＋6÷3＝10〔小时．甲先做3小时后乙接着做还需几小时：〔10－3× 3＝21〔小时．答：乙还需21小时完成．例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程的。

如果想提前6天完工,还需增加多少人？分析 由18人修12天完成了全部工程的,可通过18×12求出用一天完成工作量共需要的总人数,也可通过18×12求出用一人完成工作量共需要的总天数所以由÷〔18×12求出1人1天完成全部工程的几分之几〔即一人的工效解：①1人1天完成全部工程的几分之几〔即一人的工效：÷〔18×2=②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：〔1－÷[×〔30－12－6]=÷=36〔人③需增加几人：36－18＝18〔人．答：还要增加18人．例6 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水,单开进水管需5小时．排光一池水,单开排水管需3小时．现在池内有半池水,如果按进水,排水,进水,排水…的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？〔精确到分钟分析与解答①在解答"水管注水"问题时,会出现一个进水管,一个出水管的情况．若进水管、出水管同时开放,则积满水的时间＝1÷〔进水管工效－出水管工效排空水的时间＝1÷〔出水管工效－进水管工效．②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水池中的水每小时减少－=水池中有半池水即,经过6小时后还剩－×〔6÷2=如果按进水、排水的顺序进行,则又应进水1小时,这时水池内共有水＋=。

如果按每小时的流速排出需要÷=〔小时,共用的时间为6＋1＋=7.9〔小时=7小时54分刚好排完例7 一件工作,甲5小时先完成了,乙6小时又完成了剩下任务的一半,最后余下的部分由甲、乙合作,还需要多少时间才能完成？分析 这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率,再把余下的工作量转化为占单位"1"〔总工作量的几分之几？解：甲工作效率：÷5=；乙工作效率：〔1－×÷6=；余下部分甲、乙合作需要几小时：〔1－×〔1－÷〔＋=〔小时答：还需要小时才能完成任务 例8 甲、乙二人植树,单独植完这批树甲比乙所需要的时间多,如果二人一起干,完成任务时乙比甲多植树36棵,这批树一共多少棵？分析 求这批树一共多少棵,必须找出与36棵所对应的甲、乙工效差乙知甲比乙所用的时间多,可以求出甲与乙所用的时间比为4：3当工作总量一定的情况下,工效与工时成反比例,甲与乙的工时比为：1=4：3,所以甲与乙的工效比是3：4这个间接条件一旦揭示出来,问题就得到解决了解：设乙所用时间为"1",甲的时间是乙的1＋=〔倍,则甲与乙的时间比是4：3工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例,所以甲与乙的工效比是时间比的反比,为3∶4。

共植树多少棵：36÷〔－=252〔棵答：这批树一共252棵．例9 加工一批零件,甲、乙合作24天可以完成现在由甲先做16天,然后乙再做12天,还剩下这批零件的没有完成乙知甲每天比乙多加工3个零件,求这批零件共多少个？分析 欲求这批零件共多少个,由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即可,然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多少天,有了这个结论后,只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可．由条件知甲做16天,乙做12天共完成工程的,也即相当于甲、乙二人合做12天,另外加上甲又做4天共完成这批零件的；又知道甲、乙二人合做24天可以完成,因此甲单独做所用天数可求出,那么乙单独做所用天数也就迎刃而解解：甲、乙合作12天,完成了总工程的几分之几？×12=　甲1天能完成全工程的几分之几？ 〔－÷〔16－12=乙1天可完成全工程的几分之几？－=这批零件共多少个？3÷〔－=360〔个答：这批零件共360个．例10 一项工程,甲单独做要12小时完成,乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时,然后乙接替甲做1小时,再由甲接替乙做1小时,…,两人如此交替工作,问完成任务时,共用了多少小时？分析 要求共用多少小时？可以设想把这些小时重新分配：甲做1小时,乙做1小时,它们相当于合作1小时,也即是每2小时,相当于合做1小时．这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2小时,余下部分问题就好解决了．解：①若甲、乙两人合作共需多少小时？ 1÷〔＋=〔小时②甲、乙两人各单独做7小时后,还剩多少？ 1－7×〔＋=③余下的由甲单独做需要多少小时？÷=〔小时④共用了多少小时？ 7×2＋=〔小时 答：共用了小时。

习题一1,一项工程,甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天,余下工作由乙去做,乙再用6天可以做完．问若甲单独做6天,余下工作乙要做几天？2,一条水渠,甲乙两队合挖30天完工．现在合挖12天后,剩下的由乙队挖,又用24天挖完．这条水渠由乙单独挖,需要多少天3,客车与货车同时从甲、乙两站相对开出,经2小时24分钟相遇,相遇时客车比货车多行9.6千米．已知客车从甲站到乙站行4小时30分钟,求客车与货车的速度各是多少？4,水箱上装有甲、乙两个注水管．单开甲管20分钟可以注满全箱现在两管同时注水2.5分钟,注满水箱的如果单开乙管需要多少分钟注满水箱？5,一项工程,甲、乙单独做分别需要18天和27天．如果甲做若干天后,乙接着做,共用20天完成．求甲乙完成工作量之比．6,一项工程,甲、乙两队合作6天能完成已知单独做,甲完成与乙完成所需时间相等问单独做甲、乙各需多少天？7,做一批儿童玩具．甲组单独做10天完成,乙组单独做12天完成,丙组每天可生产64件．如果让甲、乙两组合作4天,则还有256件没完成．现在决定三个组合做这批玩具,需要多少天完成？10 / 10。