《信号与系统》全.ppt

信号与系统,,第二章 连续系统的时域分析,,3,本章目录,LTI连续系统的响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 卷积积分的性质,4,2.1 LTI 连续系统的响应,单输入-单输出 LTI 系统的激励与响应的关系可用 n 阶常系数线性微分方程描述或缩写为 ai 和 bj 均为常数， an = 1f(t): 激励 y(t):响应,5,由齐次解和特解组成； 由自由响应和强迫响应组成； 由稳态响应和瞬态响应组成； 由零状态响应和零输入响应组成微分方程的全解的组成,6,2.1.1 微分方程的经典解,微分方程的全解由两部分构成： 齐次解：yh(t) 特解：yp(t) 全解 = 齐次解+特解 y(t) = yh(t) + yp(t) 齐次解由系统结构决定 特解由系统的激励决定,7,微分方程的齐次解,齐次微分方程 由此求得的解为微分方程的齐次解特征方程,特征根（特征方程的解） n 个根,8,实根：单根与重根,n 个单根 r 重根 一个 r 重根，n r 个单根,Ci为 待定系数,9,共轭复根,共轭复根与实根解的形式本质上是一样的 共轭复根 若微分方程的系数均为实数，则特征方程的复数根必共扼成对出现： 一对共轭复根解的形式： r 重共轭复根解的形式：,教材表2-1！,10,微分方程的特解,激励为多项式 tm 时，且所有的特征根均不等于0时特解为 若有 r 重等于 0 的特征根，则特解为 激励为指数函数 et 时，特解为 不等于特征根 等于特征单根 若有 r 重等于 的特征根，则特解为,教材表2-2！,P为 待定系数,11,微分方程经典解小结,关于齐次解： 解的一般形式为指数函数； 若有多重特征根，则解为多项式与指数函数相乘； 复根与实根的本质是相同的。

关于特解： 激励的形式主要有两种：指数函数与多项式； 相应的响应也有两种形式：指数函数与多项式； 当与特征根相重时，乘一多项式 关于全解： 解的最根本形式为多项式与指数函数相乘； 所有待定系数由系统的初始条件确定12,例1：微分方程经典解,某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的齐次解、特解和全解 解： 特征方程： 特征根： 齐次解： 特解：,13,例1：微分方程经典解（续）,确定 P：将 yp(t) = Pe 3t 代入微分方程 特解： 全解： 确定C1和C2： 全解：,14,例2：微分方程经典解,某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的齐次解、特解和全解 解： 特征方程： 特征根： 齐次解： 特解：,15,例2：微分方程经典解（续）,确定 P：将 yp(t) = Pe t 代入微分方程 特解： 全解： 确定C1和C2： 全解：,16,某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的齐次解、特解和全解 解： 特征方程：,例3：微分方程经典解,17,特征根： 齐次解： 特解： 全解： 确定C1和C2：,例3：微分方程经典解,18,例3：微分方程经典解（续）,齐次解： 全解：,19,例3的另一种求解方法,确定 P：将 yp(t) = P 代入微分方程 特解： 全解： 确定 A 和 ：,特征根： 齐次解： 特解：,20,例3的另一种求解方法（续）,求解 A 和 ： 全解： 结论：共轭复根与实根的解本质上是相同的。

自由响应,,强迫响应,21,例3的再一种求解方法,特征根： 齐次解： 特解： 全解： 确定C1和C2： 全解：,22,例4：微分方程经典解,某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的齐次解、特解和全解 解： 特征方程： 特征根： 齐次解： 特解：,23,例4：微分方程经典解（续）,确定P1和P0：将 yp(t) = (P1t + P0)e t 代入微分方程 特解：,24,例4：微分方程经典解（再续）,全解： 确定C1和C2： 全解： 注：无法区分自由响应和强迫响应25,例5：微分方程经典解,某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的齐次解、特解和全解 解： 特征方程： 特征根： 齐次解： 特解：,26,例5：微分方程经典解（续）,确定 P 和 ：将 代入微分方程,特解：,27,例5：微分方程经典解（再续）,全解： 确定C1和C2： 全解：,,瞬态响应,,稳态响应,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理 若激励信号发生变化，则须全部重新求解 若初始条件发生变化，则须全部重新求解 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。

28,29,2.1.2 关于0-与0+时刻的初始值,前面提到的y(0)指的是y(0+) 大多数情况下y(0-)等于y(0+)，即在0时刻连续但是当系统中存在 或 时，可能导致 即在0时刻有跃变例如：,30,初始状态与初始条件,初始状态：系统的激励尚未接入时的系统输出，即 初始状态反映了系统以往的全部历史信息通常初始状态比较容易求得 初始条件：用经典方法求解微分方程时所需的边界条件，即 初始条件反映了系统接入激励瞬间的系统输出 若方程的右端没有冲激或其导数时，t = 0 处不会发生跃变，即连续；否则会发生跃变31,例6： 0-与0+时刻的初始值,,某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为,审题：等式右边有阶跃函数和冲激函数，则等式左边也应该有阶跃函数和冲激函数 即 含有冲激函数； 含有阶跃函数； 在0时刻连续32,例6： 0-与0+时刻的初始值（续）,解：对微分方程两边取积分,33,当微分方程右端出现 (t) 时,某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 在求该方程的特解时，无法确定解的形式34,例6：当微分方程右端出现 (t) 时,某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的初始条件及齐次解、特解和全解。

解： 将输入信号代入微分方程，得 含有冲激函数，含有阶跃函数，而则在 t = 0 处连续35,例6：当微分方程右端出现 (t) 时（续）,对上式两端从 0 到 0+ 进行积分，得,36,例6：当微分方程右端出现 (t) 时（再续）,齐次解： 特解： 全解： 确定C1和C2： 全解： 结论： (t) 的作用是使输出响应及其各阶导数中的某些值在 t = 0 处发生跃变37,2.1.3 零输入响应与零状态响应,系统的完全响应也可分为零输入响应和零状态响应，即： 零输入响应：输入为零时的系统响应，zero input 零状态响应：初始状态为零时的系统响应，zero state 初始状态与初始条件：,38,零输入响应与零状态响应的初始状态和初始值,一、零输入响应 yx(t) 的初始状态和初始值,二、零状态响应 yf(t) 的初始状态和初始值,39,例7：零输入响应与零状态响应,某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应40,例7：零输入响应与零状态响应（续）,零输入响应： 确定待定系数： 零输入响应：,解：(1) 零输入响应yx(t),41,方程两边积分：,(2) 零状态响应yf(t),42,例7：零输入响应与零状态响应（再续）,特解： 零状态响应： 确定待定系数： 零状态响应： (3) 完全响应,,,零输入响应,零状态响应,43,LTI 系统的微分特性和积分特性,44,LTI 系统的微分特性和积分特性(续）,45,用微分性质求解系统的零状态响应,求下列微分方程的零状态响应： 设系统对 f (t) 的响应为，则系统对的响应为，即。

对于下列微分方程 设系统对 f (t) 的响应为，则系统对的响应为，对的响应为46,例8：用微分性质求零状态响应,某 LTI 系统的微分方程及输入信号分别为 求系统的零状态响应解：,零状态响应：,47,例8：用微分性质求零状态响应（续）,确定待定系数： 零状态响应： 零状态响应：,48,例9：用微分性质求零状态响应,某LTI系统的微分方程及输入与初始状态为 求该系统的零输入响应和零状态响应 解： (1) 零输入响应,49,例9：用微分性质求零状态响应（续）,零输入响应： 确定待定系数： 零输入响应： (2) 零状态响应 设 零状态响应：,50,例9：用微分性质求零状态响应（再续）,确定待定系数： 零状态响应： 零状态响应：,51,零输入响应与零状态响应的初始状态和初始条件,一、零输入响应 yx(t) 的初始状态和初始条件,二、零状态响应 yf(t) 的初始状态和初始条件,52,2.2 冲激响应和阶跃响应,冲激响应 输入为单位冲激函数 (t) 时系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记作 h(t) 阶跃响应 输入为单位阶跃函数 (t) 时系统的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记作 g(t) 。

注： 求解冲激响应或阶跃响应时，系统的初始状态全为零，即,53,例10：冲激响应,某LTI系统的微分方程为 求该系统的冲激响应 解： 冲激响应： 初始条件：,54,例10：冲激响应（续）,确定待定系数： 冲激响应：,55,求冲激响应时的初始状态与初始条件,若一个 n 阶微分方程的右端只含 f (t)，即 则当 f (t) = (t) 时，系统的零状态响应满足方程 方程的初始条件为,56,一般情况下的冲激响应,一般情况下系统的微分方程为 求解冲激响应分两步进行： (1) 求如下方程的冲激响应 h1(t)： (2) 用微分性质和线性性质求h(t) ：,57,例11：一般情况下的冲激响应,某LTI系统的微分方程为 求该系统的冲激响应 解：,58,阶跃响应,方程右端只含f (t) 若方程右端只含 f (t)，则阶跃响应满足方程 因方程右端无冲激函数，故 一般情况 若方程右端含 f (t) 及其各阶导数，则可用系统微分性质和线性性质求阶跃响应59,冲激响应与阶跃响应的关系,由于 所以，由系统微分和积分性质可得,60,2.3 卷积积分,用冲激函数表示连续信号,61,用冲激函数表示连续信号,单位矩形脉冲信号 的表达式 f (t) 的表达式,62,系统对冲击函数的响应,63,LTI 系统的卷积积分表示,系统对的响应（根据线性叠加原理） 系统对 f (t) 的响应（极限）,64,数学理解,用冲激函数表示信号 系统响应的卷积表示,线性系统,非时变系统,65,卷积积分的定义,两个函数 f1(t) 和 f2(t) 的卷积积分 f (t) 定义为 容易证明，卷积积分符合交换律，即,66,卷积积分说明了什么,输入、输出及系统三者之间的关系 即系统响应为激励与冲激响应的卷积积分。

输入信号与冲激响应对换，响应不变,67,卷积积分图解（反转和平移）,68,卷积积分图解（相乘）,f1() 和 f2(t) 相乘可分为五段：,69,卷积积分图解（积分）,1. 积分区间： 计算积分：,70,卷积积分图解（积分）,2. 积分区间： 计算积分：,71,卷积积分图解（积分）,3. 积分区间： 计算积分：,72,卷积积分图解（积分）,4. 积分区间： 计算积分：,73,卷积积分图解（积分）,5. 积分区间： 计算积分：,,74,卷积的运算结果,75,小结：卷积步骤,反转 函数 f1(t) 和 f2(t) 的自变量 t 变为 ，即 f1() 和 f2() ； f2() 作反转，得到 f2() 平移 f2() 进行平移得到 f2(t) 相乘 f1() 和 f2(t) 相乘，即 f1() f2(t) 积分 对乘积 f1() f2(t) 进行积分，即,76,例1：卷积积分,已知系统激励与冲激响应 求系统响应y(t)77,例1：卷积积分（续）,78,解： 当 t 0： 于是：,例1：卷积积分（续）,79,例2：卷积积分,已知系统激励与冲激响应 求系统响应80,例2：卷积积分（续）,81,解：,例2：卷积积分（续）,82,2.4 卷积积分的性质,交换律 证明 设 = t 。