二阶变系数线性微分方程的一些解法.doc
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第九节 二阶变系数线性微分方程的某些解法常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中简介，而对于变系数线性方程，规定其解一般是很困难的本节简介解决此类方程的二种措施§９.1 降阶法在第五节中我们运用变量替代法使方程降阶，从而求得方程的解，这种措施也可用于二阶变系数线性方程的求解考虑二阶线性齐次方程 +ｐ(x) +q(x)ｙ=０ (9.1）设已知其一种非零特解ｙ１，作变量替代,令 ﻩ y＝uy1 (9.２）其中u=ｕ(x)为未知函数,求导数有 ＝y1＋u求二阶导数有=y1+2＋u代入(9.1）式得 y１+（2＋p(x)y1）+（＋p(ｘ) +q(x)ｙ1）u=0 （９.3)这是一种有关ｕ的二阶线性齐次方程，各项系数是ｘ的已知函数,由于y１是(9.1)的解，因此其中 +p(x） ＋q（x)y1≡０故（9.3)式化为 ｙ1+(２+ｐ(ｘ)y1) ＝０再作变量替代，令＝z得 y1＋(2+p(x)y1)z＝0分离变量 dz=－[＋ｐ(ｘ)]dｘ两边积分,得其通解 ｚ＝ｅ-∫p(x)dx 其中C２为任意常数积分得u＝C２∫e－∫p(x)ｄxdx＋Ｃ1代回原变量得（9.1)的通解 y＝y1[Ｃ1＋C2∫e-∫p(x)dxdx］此式称为二阶线性方程的刘维尔(Liouvillｅ)公式。
综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一种非零特解,作二次变换，即作变换y＝y1∫zdx可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解对于二阶线性非齐次方程，若已知其相应的齐次方程的一种特解，用同样的变换,由于这种变换并不影响方程的右端,因此也能使非齐次方程减少一阶例1. 已知y１＝是方程＋+y＝0的一种解，试求方程的通解解 作变换 y＝y1∫ｚdx则有 ＝y1ｚ+∫ｚdx＝ｙ1+2z＋∫zｄｘ代入原方程，并注意到y1是原方程的解，有 y１＋（2+)ｚ=0即 ＝－２ctaｎx·z积分得 ｚ=于是 y ＝y1∫zdｘ=[∫dx＋C2］= (－Ｃ1cｔanx＋C２)= (C2sｉｎx－Ｃ1cosｘ)这就是原方程的通解§9.2 常数变易法在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其相应的齐次方程的通解，运用常数变易法求得非齐次方程的通解对于二阶线性非齐次方程 +ｐ（x) ＋p(x)y=ｆ(x) (９.4）其中ｐ（x),q（x)，f（x)在某区间上持续，如果其相应的齐次方程 ＋p(x) ＋q(x)y=０的通解 y=C1y1＋C2y2已经求得。
那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解设非齐次方程（９.４）具有形式 =u1y1＋ｕ2y２ （９.5)的特解,其中u1=u１(x),ｕ2＝u(x）是两个待定函数，对求导数得 =u1y′１＋u2ｙ′２+y1u′１+y２u′２由于用（9.５)代入(9．4),可拟定u1，u2的一种方程,为了同步拟定这两个函数，还须添加一种条件，为计算以便,我们补充一种条件:y1u′１＋ｙ2u′２＝0这样 ＝ｕ1y′1+u2y′2＝u′1y″1＋ｕ′2y″２＋u1y′１＋ｕ2ｙ′２代入方程(9.3),并注意到y1，y2是齐次方程的解，整顿得 u′１ｙ′1＋u′2y′２=f(x）与补充条件联列得方程组由于y1,ｙ2线性无关，即≠常数，因此（)′＝≠0设w(ｘ)=ｙ1y′2－ｙ2y′1，则有w(ｘ)≠0因此上述方程组有唯一解解得 积分并取其一种原函数得 u1=-∫dx ｕ２＝∫dx则所求特解为 =y1∫ｄx+ｙ2∫dｘ所求方程的通解 ｙ＝Y＋＝Ｃ1y１+C2y2+y1∫dｘ+ｙ2∫dｘ上述求特解的措施也合用于常系数非齐次方程情形。
例1. 求方程－=x的通解解 先求相应的齐次方程 -=０的通解，由 ＝ ·d(）=ｄx得 ln｜|＝lｎ｜x｜+ln|C｜即 ＝Cｘ得通解y＝Ｃ１x２+C2因此相应齐次方程的两个线性无关的特解是x2和1为求非齐次方程的一种解将C1，C2换成待定函数u１,u2,且u1，u2满足下列方程 解上述方程得 u′1= u′２＝－x2积分并取其一原函数得 ｕ1＝x，u2=－于是原方程的一种特解为 =u1·x２＋u2·1=-＝从而原方程的通解为 y=C１x2+C2+第十节 数学建模(二)——微分方程在几何、物理中的应用举例一、镭的衰变例1. 镭、铀等放射性元素因不断地放出多种射线而逐渐减少其质量，称为放射性物的衰变由实验得知,衰变速度与现存物质的质量成正比,求放射性元素在时刻t的质量解 用x表达该放射性物质在时刻t的现存物质，则表达x在时刻t的衰变速度，于是“衰变速度与现存质量成正比”可表达为＝-kx这是一种以x为未知函数的一阶方程,它就是放射性元素衰变的数学模型。
其中k＞0是比例常数，称为衰变常数,因元素的不同而异方程右端的负号表达当时间t增长时，质量x减少，即t＞0时,＜０解这个方程得通解 x＝Ce－kt若已知当ｔ=t0时,ｘ＝x０，即x｜＝x０代入方程可得 C=x0e得特解 ｘ=x0e它反映了某种放射性元素衰变的规律二、正交轨线 已知曲线族方程Ｆ(x，y,C）=0，其中涉及了一种参数C,当C固定期就得到一条曲线,当C变化就得整族曲线,称为单参数曲线族例如ｙ＝Ｃｘ2为一抛物线族图6-3 如果存在另一族曲线Ｇ(x,y,C)=0,其每一条曲线都与曲线族F(x，ｙ,C）＝0的每条曲线垂直相交,即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直则称G(x,ｙ,C)＝０为F（ｘ,y,C)＝０的正交轨线将曲线族方程Ｆ(x，y,C)＝0对ｘ求导与F(x,y,Ｃ）=0联列并消去常数Ｃ，得曲线族上任一点的坐标(x,y)和曲线在该点的斜率y′所满足的微分方程 ｆ(x,y,y′)＝0这就是曲线族Ｆ（ｘ,y,Ｃ）＝０所满足的微分方程由于正交轨线过点(ｘ，y）,且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直,故正交轨线在点（x,y)处的斜率 k＝-于是可知曲线族Ｆ(x,y,C)=0的正交轨线满足方程 f（x，y,－）＝0这是正交轨线的数学模型,其积分曲线族（通解),就是所规定的正交轨线。
例2 求抛物线族y=Cx2的正交轨线解 对ｙ＝Cx２有关x求导，得y′＝2Cx与原方程联列 消去Ｃ图6－4 得微分方程 ｙ′=将-代入y′得所求抛物线的正交轨线微分方程 -＝即 ydｙ＝－dx积分得 +=C2即抛物线族 y=Cx2的正交轨线是一种椭圆族,如图6-４三、追迹问题例3. 开始时，甲、乙水平距离为1单位，乙从Ａ点沿垂直于ＯＡ的直线以等速v0向正比行走;甲从乙的左侧Ｏ点出发，始终对准乙以nv0（ｎ>１)的速度追赶，求追迹曲线方程,并问乙行多远时，被甲追到 图６-５解 如图6-5建立坐标系,设所求追迹曲线方程为 y＝y(x)通过时刻t,甲在追迹曲线上的点为ｐ(x，y)，乙在点B(1,v０t)于是有 tａnθ＝y′= (10.1）由题设,曲线的弧长ＯＰ为 ∫x0ｄx=nｖ0t解出v0ｔ代入（10.1)得 （１-x)y′＋y＝∫x0dｘ两边对ｘ求导,整顿得 (１－x)y″＝这就是追迹问题的数学模型这是一种不显含ｙ的可降阶的方程,设y′＝ｐ,ｙ″=ｐ′代入方程得 (1-x)p′=或 =两边积分得 ｌｎ(ｐ+)=-ln|1-ｘ|+lｎ｜C１｜即 ｐ＋=将初始条件 y′｜x=0=p｜x=0＝0代入上式，得C1=1，于是 y′＋＝ （1０．2)两边同乘 y′－,并化简得 y′－＝- (10.３)(１0．２)与(１0.3)两式相加，得 ｙ′= (－)积分,得 y＝［－ (１-x）+ （１-x）］＋C2代入初始条件 y｜x=0＝0得Ｃ2＝,所求追迹曲线方程为 y＝[-]＋ （n＞1) 甲追到乙时,即曲线上点P的横坐标x=1,此时 y=即乙行走至离A点个单位距离时即被甲追到。
四、弹簧振动下面我们讨论机械振动的简朴模型——弹簧振动问题，研究图6-6 悬挂重物的弹簧的振动，并假定弹簧的质量与重物的质量相比较可以忽视不计如图6-6，一弹簧上端固定,下端与一质量为m的物体连接，弹簧对物体的作用力(恢复力)与弹簧的伸长度成正比（比例常数为k)；物体在运过程中所受的阻力与速度成正比（比例常数为λ)此外，物体还与一种连杆连接,连杆对物体的作用力(逼迫力)为F(t)下面建立物体运动方程(数学模型)如图6-6,物体的平衡位置为原点，向下方向为Ox轴的正向,以x=x(t)表达物体在时刻t的位置，由于物体共受到三个力的作用(1)恢复力：一kx (负号表达恢复力与位移x方向相反）；(２)阻力:－λ (负号表达阻力与速度的方向相反）；(3)逼迫力:F（t)由牛顿第二定律 F＝ma得 m＝F(ｔ)-kx-λ或 ＋+ｘ=这就是物体运动的数学模型——振动方程为以便起见，记=２β （β＞０),=ω2 (ω>0),=f(t)，则上述方程可写成 +２β+ω2ｘ＝ｆ(t) (１0.4)1．自由振动,当ｆ(t)≡0时称为自由振动。
分两种状况讨论(1)当β=0时称为无阻尼自由振动,其运动方程为 +ω2x=0图6－7 其通解 x＝C1cｏsβt+C２sｉｎβt=Asin（ωt+φ）(其中A=，tanφ=）这是简谐振动,如图６－7，这里振幅A及初相角φ,可由物体的初始位置和初始速度决定(2)当β≠0时称为有阻尼自由振动,其运动方程为 ＋2β＋ω2x=０其特性方程为 r2+2βr+ω2=0下面就其根的三种情形分别讨论：(ⅰ)β＞ω(大阻尼情形),其根为 r＝－β±特性方程有两个不相等的实根，由于它们都是负数，可令r1=－η１，r2=-η2，（η1>0，η2＞0)因此方程的通解为ｘ＝Ｃ1e＋C2e图６-8 图6-９ 这里的位移x不是周期函数，因而物体不作任何振动,当ｔ→＋∞时x→0,即随时间的无限增长而趋于平衡位置,如图6－8(当C1+Ｃ2＞０,η１C１+η2Ｃ2<0的情形)（ⅱ)β=ω(临界阻尼情形),特性方程。
