浅谈数形结合的解题应用龙泉教育首页.doc

浅谈数形结合的解题应用王军成都航天中学18980680520内容摘要：数形结合是一•种重要的数学思想，它用数的精确性来阐明图形所具有的某种属性, 同时，用图形的直观性来表现数与数之间的内在联系，数与形在一定条件下是可以相互 转化的，它们是一个不可分割的整体纵观近年来的高考题发现，融数与形的试题屡见 不鲜，也体现了数形结合在数学学习中的重要地位而大量事实反映，恰当地应用数形 结合思想解决数学问题，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，进而优化解题途径, 达到事半功倍的效果在中学数学中，数形结合在集合、函数最值、方程与不等式、线 性规划、解析儿何、立体儿何等问题中，都有非常重要的作用而运用数形结合的方法, 帮助学生类比、发掘、剖析数学问题中所具有的儿何模型，对于帮助学生深化思维，扩 展知识，提高解题效率都有很大的帮助关键词：数；形；数形结合曾经的高中数学教材分为代数、立体几何、解析几何三个部分，而现行的高 中教材仅有一本——数学，这更有利于数与形的结合我国著名数学家华罗庚曾 说过：“数缺形时•少直觉，形少数时难人微数形结合百般好，隔裂分家万事非疽 数形结合的目的就在于以形助数，那到底“形”是怎样助“数”的呢，数形结合 的魅力乂到底在哪里呢？下面根据自己这儿年来的教学经验，结合实例谈谈自己 对巧用数形结合思想解题的一些认识。

数形结合思想在集合问题中的应用例 1：设集合M = ((x,y)lx2+y2 = 1 ,x e R,y e R), N= ｛(x,y)lx2 -y=O,x e R,y G R), 则集合M CN中元素的个数为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4fx2 + y2 = 1分析：若此题直接联立方程组，• 将得到x4+x2-l=0,虽然可解出x[x2-y = 0的值，进而再解出y值，但这将花掉较多时间实际上，若 我们仔细观察将不难发现，此两个集合的元素个数就是方程 x2 + y2=l所表示的圆与x2—y=O所表示的抛物线的交点个 数，很明显，由图可知，应该有2个交点，故两集合就有2个元素例2：己知全集[/=｛不大于20的质数｝, M、N是是U的两个子集，且满足Mn（qN） = {3,5},（qM）flN = {7,19}, （C〃M）n（C“N） = {2,17},求M、No分析：此题是集合问题中一道典型的数形结合问题, 它无法通过运算求解，只能借助于形的帮助，方能 轻松解决根据题目条件可将各元素作在韦恩图的 相应集合内(如右图)，由图可知道M ={3,511,13}, N = {7,11,13,19} %1. 数形结合思想在函数最值及值域问题中的应用。

例1 ：函数+i + Vx2-4x + 8的最小值为分析：此题考察学生对知识的灵活应用，若问题得不到恰汽转化，那么求解此题 就没有可能，此问题怎样转化才行呢：J/ + 1 + Vx2-4x + 8 = 7(x-0)2+(0-1)2 + 7(%-2)24-[0-(-2)]2如此，原函数的最小值就转化成了点(x, 0)到点 (0,1)与点(2,-2)的距离和的最小值求解问题，由图 可知道，由于点(x,0)始终在x轴上滑动，所以，最 小值就是点(1)与点(2,-2)的距离例2：己知x + 5y-13 = 0,H-2

问题(2)利用换元法，令［=工+ 1可得V = 1 ~5z + 5 = r + - - 5（/ t t，又由，的图像（如图）可知/+?的取值范围是 t t［2^5,+oo）,进而可知道值域为［2右-5,+1. 数形结合思想在方程与不等式问题中的应用例1：方程sinx = Igx的实数根的个数是 个1分析：此方程为一个超越方程，显然是无法求解的，那么解此问题的关键就是把方程的根的 o 个数问题转化为两个函数图像的交点个数问/ 7r\ /17T 3 么y = sin x5题可令），= sinn y = lgn在同一个直角坐标系中画出两个函数的图像（如图）,由图可以找到两个函数图像的交点一共有3个，进而方程的实根个数是3个例2：若-3<-<2,则x的取值范围是（ xA、（ 一？， ） B、G , ）C、（, 0） u （； , +8）D、（ -oo, +00）-<2分析1：本题可把元不等式等价转化为; ，通过求两个分式不等式构成的不等式组达到求解本题的目的，但此做法较慢 分析2：用函数疙上的图象求解，则比较简单如右图 不难得出-3<-<2的解是x<-|或,故选DX D 匕例3：设qe/?,关于X的一•元二次方程7x2-（a + l3）x + a2-a-2 = 0有两实根%）、易，且0 < M v 1 v邑< 2,求q的取值范围分析：此题告诉我们方程有两个根，所以可考虑解出两根％、易，再把两根带入0

显然这样的思路想来简单，但求解却是非常 困难的事情，所以我们不得不考虑其他办法若我们令：/(x) = 7x2 一(q + 13)x + q2 - a-2那么问题就可以转化为二次函数f(x)与X轴应有 两个交点，而交点的位置一个在(0,1)内、一个在 (1,2)内，由图可列出图像应满足的条件并求解：7(o)>o< /(I) <0 n -2 v q v -1 或3 vq v4 /(2)>0%1. 数形结合思想性规划问题中的应用例1：某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片 软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选 购方式共有( )A 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种分析1：该题可用例举法一一例举出结果分析2：利用线性规划知识求解：60工+ 70)，< 500设需买软片x片、买磁盘盒，由题意知：x>3心2上述约束条件所表示的平面区域为如右图所示的阴影三角形 上整点(x, y )共有 7 个，即为(3, 2)、(4, 2)、(5, 2)、(6, 2)、(3, 3)、(4, 3)、(3, 4),共有7种不同的选购方式故选C前一种方法虽然可以求解该题，但花费时间较长，且容易漏解，第二种方法解该 题却显得既准确又快捷。

例2：若有，满足x+v>0 ,贝此=12尤-"11的最小值是 2x+y<\分析：我们可以根据约束条件先做出约束条件所表示的平面区域如图(1),但z =1 2x- y +11得最小值依然无法求解，这是因为我们还未找到解题的途径，只有将z =1 2x-y + II正确转化后，方能知道此题的解题关键所在，因为z=l2x-y + ll」2尸｛ + 11.右V5表示的是区域中的点3,力到直线2x-.y + l =()的距离的右倍，即 求z =12尤-），+11的最小值只需求出区域中的点3），）到直线2% -），+1 = 0距离的最小值后乘以V5，便得到了此题所要求的最小值」而由图（2） 可知道，区域中的点A （0, 0）到直线2x-y+l= 0的距离最小为上,所以此题的最. V5图（2）小值是1例1：求函数y =5/3 sin2 + V3 cos 0的取值范围%1. 数形结合思想在解析几何中的应用分析：该题可利用三角函数的有界性进行求解，但计算量稍大，对于计算能力较 差的同学，很容易出错导致失分，若能找到计算更简单的方法是最好不过，而 这样的方法确实存在我们还是首先要将该函数进行恰半变形，使得式子显示出它的特点’尸点T*各’因此’该函数表达点（V3 cosV5 sin。

与点（-2,0）连线的斜率 值，而点（右cos右sin未定，故而 该点是一个动点，但该点的运动是有规律的, 它形成的轨迹恰好是以原点为圆心、右为半 径的圆，因此，原函数也就表示该圆上的点与点（-2,0）连线的斜率值（如图），由此，问题进一•步转化成过点（-2,0）的直线I 2k I），= k（x + 2）与该圆有公共点时斜率的取值范围，所以由 土^3可以解得 如+ 1的取值范围为f-V3,V3] 0显然，此方法的计Z:e[-V3,V3],所以）=矣"2 + J3 cos 0算量比用有界性法求解小很多o 2例2：已知点A2）在椭圆济若=1内，右焦点",P为椭圆上的动 点，求冏+ 2|耶|的最小值分析：此题无法通过设点P并用函数知识求最 小值，只能靠数形结合求解方能见效但也应 先对问题进行恰当转化，由方程不难得到 a=4,c = 2 ,由椭圆第二定义可以知道 匹1=f = !(其中，d是点P到右准线/的距 d a 2离)，那么 d = 2\PFJ ， 进而 ■PA| + 2|Pg|=|PA| + d，所以求网+ 2|P%|的最小值即是求冏+ d最小值，如右图所示，|以| +』最小值就是点A到右准线/的距离，所以2（网+ 2啷Z = 22 ,2例3：已知椭圆—+ ^ = 1的左右焦点分别为月，凡，B (2, 2)是椭圆内一点16 12P为椭圆上的动点，求\PF^\PB\的最值分析：因为IP0 + IP%I=2g=8,所以IPF|I=8—IP%I进而|P| + |PB| = 8 + |P8|-|P%|,那么,求网| + |PB|的最值就转化成了求s+\pb\-\pf2\的最值，从右图可以知道，P在E处时，8 + |P8|-|PFj有最小值8 + (-2) = 6, P在F处时，8 + \PB\-\PF2\有最大值8 + 2 = 10,所以|PFj + |P可得最大、最小值分别为6、I0o此问题与上个问题不同，却有相似，不同点在于转化的方式方法不同，相似点在 于它们都需要借助图形以辅助求解。

1. 数形结合思想在立体几何中的应用在前面的问题中，都是需要将一些关于数的计算问题转化成图形问题以辅助求 解，而立体几何问题却恰恰相反大多立体几何问题用纯图形知识求解，就比较 麻烦、困难，若恰半的转化成数的问题，却又显得较为简单，下面有这样一个例 子例：在正方体— 中，E、F、G分别是、BQ、鸟8的中点,求证明(几何法):连结A]B,AB"GBC]・.• AD 1 AB, AD AA,.・.AD ABB/. AB.是B}D在面ABB^上的射影 又 v ABB,AX 是正方形 AB.A.A.B 又・.・E、G分别是4月、明的中点 /. EG//A.B fflW EG 1 A,B。