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概率论知识点总结第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事 件不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为 中必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Qo样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作3.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用◎表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集基本事件一单点集，复合事件 一多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A发生必然导致事件 B发生，则称B包含A,记为B A或A Bo 相等关系:若B A且A B ,则称事件A与事件B相等，记为A = Bo事件的和：事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和 事件记为 AUB事件的积：称事件 事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为 AA B或AB事件的差：称事件事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记为A-Bo用交并补可以表示为 A B ABo互斥事件：如果A, B两事件不能同时发生，即 AB =①，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。

互斥时 A B可记为A+Bo对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为入对立事件的性质：A B , A B 事件运算律：设 A, B, C为事件，则有(1)交换律：AUB=BUA, AB=BA(2)结合律：AU(BU C)=(A U B)U C=A U BU C A(BC)=(AB)C=ABC(3)分配律：AU(BAC)= (AUB)A(AUC) A(B U C) = (A n B) U (A n C尸 ABU AC(4)对偶律(摩根律)：A―B A BA―B A B第二节事件的概率概率的公理化体系：(1)非负性：P(A) >0;(2)规范性:P(Q) =1（3）可数可加性：A1 A2An两两不相容时P(Ai A2An) P(Ai) P(A2)P(An)概率的性质：(1) P(①)=0(2)有限可加性：A1A2An两两不相容时P(Ai A2An) P(Ai) P(A2)P(An)当 AB==D 时 P(A U B)= P(A) + P(B)(3) P(A) 1 P(A)(4) P(A — B) = P(A) — P(AB)(5) P (AUB) = P(A) + P(B) — P(AB)第三节古典概率模型1、设试验E是古典概型，其样本空间Q由n个样本点组成，事件A由k个样本点组成.则定 k义事件A的概率为P(A)—n2、几何概率：设事件 A是◎的某个区域，它的面积为科(A)则向区域 Q上随机投掷一点，该点落在区域 A的概率为P(A)(A)()假如样本空间Q可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A的概率仍可用上式确定,只不过把科理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率:在事件 B发生的条件下，事件 A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B).P(A| B)P(AB)P(B)乘法公式:P(AB)=P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)全概率公式:,An是一个完备事件组，则 P(B)=汇PAi )P(B| Ai)贝叶斯公式：设a,A2,,An是一个完备事件组则P(A | B)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)P(Aj)P(B|Aj)第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B满足P(AB尸P(A) P(B),则称A、B独立，或称 A、B相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C,若P(AB)= P(A) P(B) , P(AC)= P(A)P(C),P(BC)= P(B) P(C) , P(ABC)= P(A) P(B)P(C),则称 A、B、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C,若P(AB尸P(A) P(B) , P(AC尸P(A)P(C)P(BC尸P(B) P(C),则称A、B、C两两独立独立的性质：若 A与B相互独立，则 A与B, A与B, A与B均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场 合，它将扮演主要的角色。

2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用, 应牢固掌握3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算第二章一维随机变量及其分布第二节分布函数分布函数：设 X是一个随机变量，x为一个任意实数，称函数 F(x) P{X x}为X的分 布函数如果将 X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示 X落在区间(,x］内的概率分布函数的性质：(1)单调不减；(2)右连续；(3) F( ) 0,F( ) 1第三节离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称P{X xk} Pk为离散型随机变量 X的分布律，也称概率分布.当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律分布律的性质：(1)0 pk 1;(2) pk 1离散型随机变量的概率计算：(1)已知随机变量 X的分布律，求 X的分布函数；F(x) P{X x}P(xk)xk x(2)已知随机变量 X的分布律，求任意随机事件的概率；(3)已知随机变量 X的分布函数，求 X的分布律P{X xk} F(xJ F(xk 0)三种常用离散型随机变量的分布：1 . (0—1)分布：参数为 p的分布律为P{X 1} p,P{X 0} 1 p2 .二项分布：参数为n, p的分布律为P{X k} Ckpk(1 p) , k 0,1,2, ,n。

例如n重独立重复实验中，事件A发生的概率为p,记X为这n次实验中事件 A发生的次数，则 X 〜B (n, p)k3 .泊松分布：参数为入的分布率为P{X k} —e , k 0,1,2,例如记X为某段事 k!件内交换机接到的呼叫次数，则X〜P (入)第四节连续型随机变量连续型随机变量概率密度f(x)的性质(1)f(x) >0(2)f(x)dx 1P{Xa}af(x)dx 0a(3)P{ a X b}P{aX b} P{a X b}P{ab}ba f(x)dx(4)f(x) F (x),F(x)xf (x)dx连续型随机变量的概率计算:(1)已知随机变量的密度函数，求 X的分布函数;F(x)f(x)dx(2)已知随机变量的分布函数，求 X的密度函数;f(x)F (x)(3)已知随机变量的密度函数，求随机事件的概率;P{ab}ba f(x)dx已知随机变量的分布函数，求随机事件的概率;P{ab}F(b) F(a)三种重要的连续型分布:11 .均匀分布：密度函数 f (x)2 .指数分布：密度函数 f (x)b--a a x b ,记为 X 〜U[a, b].0 elsex 0 、,,记为X〜E (入)x 0131223.正态分布：密度函数 f(x) -^^e 2 ，记为X ~ N( , 2)2N (0, 1)称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以 通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率^baP{a X b} F(b) F(a)(——)(——)第五节随机变量函数的分布离散型：在分布律的表格中直接求出；连续型：寻找分布函数间的关系， 再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。

FY(y) P{Y y} P{g(X) y} P{X G(y)}F(G(y))第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量的联合分布函数联合分布函数F(x,y) P{X x,Y y},表示随机点落在以(x , y)为顶点的左下无穷矩形区域内的概率联合分布函数的性质：( 1 )分别关于x 和 y 单调不减；( 2 )分别关于x 和 y 右连续；(3) F (-8 , y ) = 0,F ( x ,-8)=0,F(-oo-oo) = 0F ( + oo ,+ oo)= 1第二节 二维离散型随机变量联合分布律： P{ X xi ,Y yj} pij联合分布律的性质： pij 0 ； pij 1第三节 二维连续性随机变量yx联合密度： F (x, y) dv f (u, v)du联合密度的性质： f (x, y) 0 ； f (x, y)dxdy 1； P{( x, y) D} f (x, y)dxdyR2D第四节 边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘，对应概率相加求出；二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数，在求导求出边缘密度 第六节 随机变量的独立性独立性判断：( 1 )若 X,Y 取值互不影响，可认为相互独立；2)根据独立性定义判断F (x, y) FX(x)FY (y)pijpi?p?j连续型可用 f(x,y)fX(x)fY(y)独立性的应用：1 )判断独立性； ( 2 )已知独立性，由边缘分布确定联合分布第四章 随机变量的数字特征离散型随机变量数学期望的计算EXxk pk ， E(g(X)) g(xk)pk kk连续型随机变量数学期望的计算EXxf (x)dx ， E(g(X))g(x) f (x)dx方差的计算： DX E(X EX)2 ， DX E(X2) E2(X)数学期望的性质(1) E (C ) = C(2) E (CX ) = CE (X )(3) 3) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )(4)当X ,Y 独立时， E (X Y ) = E (X )E (Y )方差的性质(1) D (C) = 02(2) D (CX ) = C2D(X)(3) 若X ,Y 相互独立，则 D ( X ±Y ) = D ( X ) + D (Y )常见分布的数学期望和方差两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布。