高中数学必修4平面向量常考题型：平面向量共线的坐标表示正式版.docx

平面向量共线的坐标表示【知识梳理】平面向量共线的坐标表示前提条件a=(x〔，y[)，b=(x2, y2),其中 bw0结论当且仅当X1y2-x2y1=0时，向量a、b(bw0)共线【常考题型】题型一、向量共线的判定【例1】 ⑴已知向量a=(1,2), b=(A 1),若(a+ 2b) // (2a-2b),则入的值等于( )B.31 A.]C. 1D. 2(2)已知A(2,1), B(0,4), C(1,3), D(5, —3).判断AB与CD是否共线?如果共线，它们的 方向相同还是相反？⑴[解析]法一：a+2b=(1,2)+ 2(入 1)=(1 + 2% 4), 2a —2b=2(1,2) — 2(入,1)=(2 —2 ), 一,r „… 12),由(a+2b)/(2a —2b)可得 2(1+2 4 — 4(2 —24=0,解得 入=".1= 2法二:假设a, b不共线，则由(a+2b)/(2a—2b)可得a+2b= M2a— 2b),从而112= -2^方程组显然无解，即 a+2b与2a-2b不共线，这与(a+2b)/(2a—2b)矛盾，从而假设不成立,1 2 1故应有a, b共线，所以：=2,即入=2.［答案］A一 T(2)［解］AB =(0,4)-(2,1) = (-2,3), CD =(5, - 3)-(1,3)= (4, —6),-T•.(-2)X(-6)-3X4=0, AAB , CD 共线.T T — T又CD= —2 AB , AB , CD方向相反.-T综上，AB与CD共线且方向相反.【类题通法】向量共线的判定方法⑴利用向量共线定理，由 a=X(bw 0)推出a Zb.(2)利用向量共线的坐标表达式 xi y2 — X2yi = 0直接求解.【对点训练】已知a=(1,2), b = (—3,2),当实数k为何值时，(ka+b)//(a—3b)?这两个向量的方向是相 同还是相反？解：a =(1,2), b=(-3,2),. ka+b=(k-3,2k+2), a—3b=(10, —4).由题意得(k-3)x(-4)-10(2k+ 2) = 0,解得 k= -1. 31 1此时 ka+b= —3a+b = —3(a—3b),, 1 一，，当k= — 1时，(ka + b)/(a—3b),并且它们的万向相反. 3题型二、三点共线问题【例 2】(1)若点 A(1, —3), B[8, 2 C(x,1)共线，则 x=.T T T(2)设向量 OA = (k,12), OB = (4,5), OC =(10, k),求当 k 为何值时，A、B、C 三点共线.⑴[解析]AB = [7, 2 !, AC =(x- 1,4).T T.A, B, C共线，，AB与AC共线-7X4- |(x-1)=0,解得 x= 9.［答案］9(2)［解］法一：若A, B, C三点共线，则则存在实数 N使得AB =入AC ,AB = OB - OA =(4-k, —7),AC = OC - OA =(10—k, k- 12).. (4-k, — 7)= X10-k, k- 12),4-k= *10 —k \即S 解得k=—2或卜=11.I.-7=冰―12 )，当卜=—2或11时，A、B、C三点共线.法二：由题意知AB , AC共线，T T TAB = OB - OA =(4-k, —7),T T TAC = OC - OA =(10—k, k- 12),. (4—k)(k—12) + 7(10 —k) = 0,. k2-9k-22=0,解得 k= — 2或 k=11.，当卜=—2或11时，A、B、C三点共线.【类题通法】三点共线的实质与证明步骤⑴实质：三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反, 两个向量共线与两个向量平行是一致的.(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成:①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.【对点训练】已知点 A(x,0), B(2x,1), C(2, x), D(6,2x).(1)求实数x的值，使向量AB与CD共线;(2)当向量AB与CD共线时，点A, B, C, D是否在一条直线上?解：(1) ABT TAB /CD= (x,1), CD =(4, x).2 一- x = 4, x= 2.(2)由已知得BC =(2 —2x, x- 1),当x=2时,BC =(-2,1), AB =(2,1),・•・AB和BC不平行，此时A, B, C, D不在一条直线上;当 x=—2 时，BC=(6,— 3), AB =(-2,1),AB //BC ,此时 A, B,C三点共线.又 AB //CD , A, B, CD四点在一条直线上.综上，当x= —2时，A,B, C, D四点在一条直线上.法二:设 P(x, v),则 OP=(x, y),因为 OB =(4,4),且OP与OB共练所以『 4即x题型三、向量共线在几何中的应用【例3】 如图，已知点 A(4,0), B(4,4), C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标.［解］法一：由O, P, B三点共线，可设 Op = XOB = (4 X,A?=OP-OA = (4X- 4,4,,连接 OC,则1AC=OC —OA=( —2,6).3共线得(4b4)X6 —4入X ( — 2)=0,解得 壮4,OB = (3,3),所以点P的坐标为(3,3).=y.又 AP =(x—4, y), AC =( — 2,6),且 AP 与 AC 共线，所以(x— 4)X6 —yx (—2)=0,解得x= y=3,所以点P的坐标为(3,3).【类题通法】向量共线在几何中的应用及注意事项向量共线在几何中的应用，可分为两个方面:(1)已知两向量共线，求点或向量的坐标； (2)证明或判断三点共线、直线平行.解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向 量无公共点确定直线平行.【对点训练】已知直角坐标平面上四点 A(1,0), B(4,3), C(2,4), D(0,2),求证：四边形 ABCD是等腰梯形.证明：由已知得,AB =(4,3)-(1,0) = (3,3),CD =(0,2)-(2,4) = (-2, -2).••3X(—2) —3X(—2)=0,，AB 与 CD 共线.AD =(-1,2), BC =(2,4) —(4,3) =(—2,1),・.(-1)X1-2X(-2)”，AD 与 BC 不共线.••・四边形ABCD是梯形.T T. BC =( —2,1), AD =(-1,2),•,| BC|=45=| AD |,即 BC=AD.故四边形ABCD是等腰梯形.【练习反馈】1.已知 a=(—1,3)b= (x, — 1),且 a // b,则 x=( )A. 3B. — 31C.3D.解析：选 C ..a/b, ••.(—1)X(—1)=3x, .1 = 1.3一2.已知A(2, —1), B(3,1),则与AB平行且方向相反的向量 a是( )A. (2,1) B. (-6, -3)C. (-1,2) D. (-4, —8)解析：选 D AB =(1,2),向量(2,1)、(一6, —3)、(—1,2)与(1,2)不平彳t； ( — 4, —8)与(1,2)平行且方向相反.3.已知向量a=(1,2), b=(-2,3),若 入升科时a+b共线，则 入与科的关系是 解析：.a=(1,2) , b=( —2,3), •.a+b=(1,2)+(―2,3)=( —1,5),入升山 乂1,2) 十 一一 2,3)又.(入升) /{a + b),. .—1X(2 计 3 0—5(入一2 p)=0,4.已知 A(-1,4), B(x, — 2),若 C(3,3)在直线 AB 上，则 x = 解析：AB = (x+1, —6), AC =(4, —1),AB //AC ， ，一(x+ 1) + 24= 0, .x= 23.答案：235.已知 A(—1,0), B(3, —1), C(1,2),并且 AE1 bC ,求证：tF3A AB .证明：设E(x1, y1),F(X2, y2),依题意有Ac =(2,2)BC =( — 2,3),Ab =(41).=(2,3)所以(xi + 1, yi) =23因为BF = 1 Be3所以BF=13所以(x2—3, y2+1)=-3, 1 !,故 F 3, 0 .所以==(3, -I)又因为 4X [-3)— 3X(-1)=0,T T所以 EF //AB .学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。

有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说： “今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩说着，苏格拉底示范做了一遍， 从从今天开始，每天做 300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有 90%的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了 80%一年过后，苏格拉底再一次问大家： “请告诉我，最简单的甩手运动还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山正是因为他具有锲而不舍的精神戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心旬子讲：锲锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。

”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯所以我说：学习贵在坚持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维。