Phi4场的路径积分.pptx
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Φ4理论中的路径积分Part One1，自由标量场 ——拉氏量 我们这里只考虑实标量场，因而自由标量场的拉氏量可以写为： 如果加上场源，那么自由场拉氏量可以写为：1，自由标量场 ——拉氏量 现在考虑作用量： 考虑其中的这项积分： 我们有： 考虑 Gauss定理： 其中 Ω是 V的边界因而上述积分为： 考虑无穷远边界上场量为 0这个边界条件，那么上述积分实际上给出：1，自由标量场 ——拉氏量 从而可以写出有效拉氏量为： 显然，作用量 S对有效拉氏量和原始拉氏量是相同的，现写为： 这个表达是与 “ 无穷远边界上场量为零 ” 的边界条件相契合的有效拉氏量表达不同的边界条件可以给出不同的有效拉氏量1，自由标量场 ——拉氏量 在经典情况下，场所满足运动方程是由原始拉氏量而非有效拉氏量给出的： 这就是经典标量场所满足的 Klein-Gordon方程1，自由标量场 ——生成泛函 生成泛函 W[J]与作用量 S[φ,J]的关系为： 其中最外面的积分是对场 φ的泛函积分， Dφ为泛函积分的积分测度 对 N维时空，上述积分测度可以写为： 其中 n为时间切片数， η为时间切片间隔，满足：1，自由标量场 ——生成泛函 这里要说明一下，上面以及以后的表示中都省略了 e指数的分母： 完整的生成泛函应该是： 当我们取极限 时，生成泛函实际上只有经典场才有贡献，因而可以认为经典情况就是Planck常数为零的量子情况。
1，自由标量场 ——生成泛函 对现在的自由实标量场，生成泛函可以写为： 需要注意的是，这里的标量场 φ是泛函积分的积分参量，因而并不需要满足 Klein-Gordon方程满足 KG方程的是经典场 φ0这点和分析力学中的虚运动差不多 归一化的生成泛函：1，自由标量场 ——生成泛函 由归一化的生成泛函 Z[J]我们可以看出，为了计算它我们需要做两次泛函积分，这在实际计算中是很麻烦的事情因而，如果能将 W[J]写成如下形式，无疑将会使计算大大简化： 在这种情况下，作用量中的场源 J与场量 φ分离，因而显然有：1，自由标量场 ——生成泛函 这种情况下，归一化生成泛函就可以写为： 显然，现在归一化生成泛函已经不含泛函积分，因而便于处理1，自由标量场 ——生成泛函 现在考虑这么一种场量分解： 其中， φ0是满足 KG方程的经典场，而 φ’是在经典场 “ 附近 ” 的扰动场 这种分解下，泛函积分的积分测度不变（类似普通积分中加入常数项的情况），因而生成泛函可以写为：1，自由标量场 ——生成泛函 由于经典场满足 KG方程，从而可以进一步写为：1，自由标量场 ——生成泛函 注意到这里的有效拉氏量最终是在作用量的积分中体现的，因而对于上式最后两个表达式我们有如下积分关系：1，自由标量场 ——生成泛函 从而，从最后作用量中积分的角度来说，我们可以认为： 从而对有效作用量的分解可以写为：1，自由作用量 ——生成泛函 从而，现在的生成泛函可以写为： 因而，我们所期望的目标实现了：1，自由标量场 ——生成泛函 最后，我们来看一下这里的经典场 φ0，它满足KG方程： 先来看这么一个方程： 对 delta函数做 Fourier展开，得：1，自由标量场 ——生成泛函 从而对 G的方程可以得到解： 我们引入 Feynman传播子： 因而有： 从而经典场可以解出，为：1，自由标量场 ——生成泛函 最终，生成泛函可以写为： 可见，自由标量场的（归一化的）生成泛函最终可以写为一种很简洁的形式。
2， FEYNMAN传播子 在上一小节，我们得出了 Feynman传播子为： 但是，显然这种写法是有问题的，因为现在被积函数在实轴上有奇点，位于 p2-m2=0处 为了解决这个问题，我们在分母中引入一个无穷小正虚量： 从而，现在奇点从实轴上被移开了而并不破坏原始的积分2， FEYNMAN传播子 由于我们所考虑的时空是 3+1维的平坦时空，度规可以写为： ，从而上述被积函数的分母可以写为： 其中 因而现在奇点位置为：2， FEYNMAN传播子 在复平面上奇点位置图示：2， FEYNMAN传播子 现在来计算传播子中的积分： 因而，这里需要对 x0-y0的结果进行分类讨论2， FEYNMAN传播子 将 p0从实轴上延拓到整个复平面中，从而可以将其写为 a+ib的形式，因而对 p0的积分可以写为： 当 时，在无穷远处 b必须小于零积分才能收敛，因而对应到复平面的下半平面； 当 时，在无穷远处 b必须大于零积分才能收敛，因而对应到复平面的上半平面； 结合之前的奇点在复平面上的分布图，我们可得积分结果。
2， FEYNMAN传播子 当 时，积分围道为：2， FEYNMAN传播子 可见，此时积分围道内的奇点出现在 的位置 由于下半平面无穷远处的积分为 0，因而整个围道积分就等于对实轴的积分： 由留数定理，并注意到现在的围道是顺时针的，因而最终 4-动量 0分量的积分部分为：2， FEYNMAN传播子 当 时，积分围道为：2， FEYNMAN传播子 可见，此时积分围道内的奇点出现在 的位置 由于上半平面无穷远处的积分为 0，因而整个围道积分就等于对实轴的积分： 由留数定理，并注意到现在的围道是逆时针的，因而最终 4-动量 0分量的积分部分为：2， FEYNMAN传播子 结合上述两种情况，我们可以把积分最终写为： 从而传播子的积分可以写为： 其中最后一步做了不改变积分结果的变量变换：2， FEYNMAN传播子 考虑三维 KG方程 其解可以写为： 其有正交关系：2， FEYNMAN传播子 从而，可以利用这个函数将传播子改写：2， FEYNMAN传播子 从上式我们可以看出： 负频解函数对应到沿着时间逆流的传播子； 正频解函数对应到沿着时间正流的传播子。
在现在所写传播子形式 下，拉氏量应该写为：2， FEYNMAN传播子 ——因果律 对 Feynman传播子，之前给出了一个积分表示为： 下面，我们就类时与类空时空间隔 x-y来进行分类讨论2， FEYNMAN传播子 ——因果律 如果 x与 y是类时间隔，那么总能通过 Lorentz转动，使得 x与 y的空间部分相同，也即使得现在的时空坐标的时间轴平行于 xy连线此时传播子为： 其中积分部分可以写为：2， FEYNMAN传播子 ——因果律 这里的近似是由于 e指数在 A很大的时候其积分为零，从而可以对不小的 ε区域积分贡献近似为零，因而可以如此近似 从而可以由此得到传播子2， FEYNMAN传播子 ——因果律 如果 x与 y是类空间隔，那么总能通过 Lorentz转动，使得 x与 y的时间部分相同，也即使得现在的时空坐标的时间轴垂直于 xy连线此时传播子为：2， FEYNMAN传播子 ——因果律 上面积分的最后一部分 可以下面所取的积分围道来求值：2， FEYNMAN传播子 ——因果律 注意到被积函数中存在 项，其在围道积分中是多值的，因而可以在 im处沿向上虚轴设割线链接两片 Riemann叶， im就是支点。
这样，围道中沿虚轴两侧的积分并不相等由于这里是平方根，因而两侧差相因子 由于整个围道积分等实轴上的积分加无穷远边界上的积分，再加沿虚轴两侧的积分，而无穷远积分为零，故实轴积分加虚轴两侧积分等于围道内奇点留数总合等于零再考虑虚轴两侧积分方向以及两侧的相位差，从而最后实轴积分就等于沿 im以上虚轴积分的两倍2， FEYNMAN传播子 ——因果律 从而最后有结果： 可见，它和类时情况的最大区别，就在 e指数上类时是一个正弦波，而类空则是 e指数衰减2， FEYNMAN传播子 ——欧氏表示 与非相对论性量子力学中的情况一样，我们可以可以用欧氏空间表示来处理传播子的问题： 取 ，故时空度规为： 4动量可以写为 ，其中 这样就有 其中最后一项显示欧氏表示下的动量与位矢的标量积是改变的但是 Fourier展开这种含动量全空间积分的函数中，我们可以通过变换 而不改变积分结果，从而在且仅在这种函数中欧氏表示的标量积结果不变2， FEYNMAN传播子 ——欧氏表示 现在， Feynman传播子可以在欧氏表示中进行重写。
为此，我们先做 Wick转动，将能量积分从实轴上转到虚轴上，这样在欧氏表示下就等于欧氏能量在实轴上的积分，从而现在 Feynman传播子可以写为： 显然，这种表示下的 Feynman传播子的被积函数是没有发散奇点的3，高斯型积分 在第一部分的最后，我们在生成泛函中得到一个高斯形积分： 可以在积分中插入一个 Delta函数而不改变积分结果：3，高斯型积分 将其欧氏化，就得到这种形式： 这是一个典型的高斯型积分3，高斯型积分 对矩阵的高斯积分为： 其中 X和 B都是 n维列向量，而 A是 n×n矩阵 在前面的生成泛函中有： 从而可以将生成泛函写为：3，高斯型积分 由于这里 ，因而可以将其写为： 这里 D是传播子构成的矩阵 因而欧氏表示中的生成泛函可以写为：3，高斯型积分 将上述结果再对应会原本的闵科夫斯基时空，得： 而这就是我们在之前所得到的结果 可见，通过欧氏表示和高斯型积分，也能得到相同的生成泛函，这是得到生成泛函的另一种方法4，相互作用场 在泛函积分中，由于作用量是位于 e指数上的，因而我们只有有限类型的作用量可以解析地解出，比如高斯型积分。
对于含相互作用势的作用量，一般会使得作用量不是高斯型积分这是，就需要使用 “ 静态相位法 ” 或者也称为 “ 鞍点法 ” 来将其化为高斯型积分4，相互作用场 ——静态相位法 在含有外势 V的情况下，标量场拉氏量可以写为： 和自由场一样，可以在零边界条件下给出积分相等的有效作用量： 从而，经典场满足的运动方程为：4，相互作用场 ——静态相位法 现在，系统的作用量可以写为： 它在经典场处的泛函微分为： 这里用到了如下关系： 因而，可以对作用量做 Taylor展开：4，相互作用场 ——静态相位法 作用量到二阶的 Taylor展开： 而作用量的二阶泛函微分为：4，相互作用场 ——静态相位法 因而，作用量到二阶的 Taylor展开为： 从而，对生成泛函就有： 显然，现在这个生成泛函是高斯型积分4，相互作用场 ——静态相位法 通过 Wick转动，就可以在欧氏表示中利用之前的积分技巧给出生成泛函：4，相互作用场 ——静态相位法 我们现在用加下标 0的 W来表示不含相互作用势时的生成泛函： 从而可以构造不。
