短期利率模型.ppt

Chapter 30 Interest Rate Derivatives: Model of the Short Rate,,1,背景,瞬时短期利率( instantaneous short rate) r ：是关于在t开始的一个无穷小的时间区间上的利率 债券价格、期权价格和其他衍生品只依赖于r在风险中性世界（传统风险中性世界）里的过程，以下给出r的过程均是定义在传统风险中性世界里 P(t, T ) 是在时间T支付1美元的零息债券在时间t时的价格,2,,3,若R（t，T）是在时间t，期限为T-t，按连续复利的利率，则这个式子使得任何时间的利率期限结构能从这个时间的r值与r的风险中性过程得出,Equilibrium Models (Risk Neutral World),单因子平衡模型：r的过程只涉及一个不确定性，这通常意味着所有利率变动的方向一致，但数量不一定相等 两因子平衡模型： r的过程涉及两个不确定性，第一个不确定性来源通常引起利率的大致平行移动；第二个不确定性来源引起利率“扭曲”，即长期利率和短期利率变动的方向相反,4,单因子平衡模型－Rendleman 和 Bartter模型,漂移项和方差项都是常数，r服从几何布朗运动 利率价格和股票价格的一个重要区别：利率价格具有均值回归性,5,单因子平衡模型－Vasicek模型,a、b及方差项均为常数， a是均值回归速度 Vasicek由以上的式子推出了在时间T支付1美元的零息债券在时间t时的价格,6,Mean Reversion (Figure 30.1, page 684),7,单因子平衡模型－CIS模型,该模型也具有均值回归性，但是它的短期利率在一个很小的时间内变化的标准差同 成正比 CIS由以上的式子推零息债券价格形式同Vasicek模型一样这里的A和B的表达式同Vasicek模型的是不一样的,8,Alternative Term Structures in Vasicek & CIR (Figure 30.2, page 686),,9,Equilibrium vs No-Arbitrage Models,平衡性模型：今天的利率期限结构是其输出结果；短期利率的漂移项 一般不是时间的函数 无套利模型：将今天的利率期限结构建作为输入值；漂称项与时间有关,10,Ho-Lee 模型,dr = q(t)dt + sdz q(t)是时间的函数，选取标准是确保模型与初始期限结构相吻合；短期利率的瞬时标准差s是常数 习题30.13证明了q(t)可以用解析式来表示,11,Diagrammatic Representation of Ho-Lee (Figure 30.3, page 691),12,Hull-White 模型,dr = [q(t ) – ar ]dt + sdz a、s是常数，短期利率以a的速度回归q(t ) /a 习题30.14证明了q(t)可以用解析式来表示,13,Diagrammatic Representation of Hull and White (Figure 30.4, page 692),,14,Black-Karasinski 模型,r是服从对数正态分布，并且q(t)不具有解析性质,15,债券期权,在 Vasicek、 Ho-Lee和Hull-White 模型，关于在时间s 到期的零息债券，期限为T的看涨期权在时间0时价值为：LP(0,s)N(h)−KP(0,T)N(h−sP) 看跌期权的价值为：KP(0,T)N(−h+sP)−LP(0,s)N(h) 其中，L是债券本金，K是执行价格， ， ， 或,16,Options on Coupon-Bearing Bonds,In a one-factor model a European option on a coupon-bearing bond can be expressed as a portfolio of options on zero-coupon bonds. We first calculate the critical interest rate at the option maturity for which the coupon-bearing bond price equals the strike price at maturity The strike price for each zero-coupon bond is set equal to its value when the interest rate equals this critical value 具体可见习题30.9,17,Interest Rate Trees vs Stock Price Trees,区别在于如何处理贴现：股票树一般假设贴现率在每个节点上是一样的；而利率树的贴现率在从一个节点到另一个节点是不一样的，用三叉树更方便，因为它可以表示均值回归的过程,18,两步树例解,pu=0.25; pm=0.5; pd=0.25; 步长为1 计算一个在第二年末提供收益MAX[100(r – 0.11), 0]的衍生主品的价格,19,10% 0.35**,12% 1.11*,10% 0.23,8% 0.00,14% 3,12% 1,10% 0,8% 0,6% 0,*: (0.25×3 + 0.50×1 + 0.25×0)e–0.12×1**: (0.25×1.11 + 0.50×0.23 +0.25×0)e–0.10×1,非标准树枝,20,b树枝主要用在存在均值回归并且利率较低的情况 c树枝主要用在存在均值回归并且利率较高的情况,建树过程,Hull-White 模型：dr = [q(t ) – ar ]dt + sdz 假定：时间步长为常数；一个步长内的利率R服从与r同样的过程dR = [q(t ) – aR ]dt + sdz 第一步：定义一个新的变量R*，这是令R中的q(t ) = 0 和 R (0) = 0，服从dR* = – aR *dt + sdz 。

这个过程关于R*＝0对称， 服从正态分布，均值为 ，方差为 21,定义树形上利率之间的距离树枝形状的选择原则：在一个节点 上的树枝形状必须使得所有三根枝上的概率均为正值Hull-White 证明当jmax 大于或等于0.184/(aDt) 的最小整数，而jmax ＝－jmin时可使所有概率为正 概率的选择应保证下一时间段Dt 中，R*变化的期望值和方差与其树形吻合，且概率之和为122,R*树,,23,,,24,第二步：R*树 R树,定义： ，R树实际上是将R*树上的节点垂直移动a个单位 定义 Qij 是如下证券的贴现值：在节点（i,j）被到达时支付1美元，在其它节点到达时支付0美元 a0 Q1，j a1 R1，j Q2，j a2 `````` 计算零息债券价格 计算利率衍生品价格 a0 的选取要使在时间Dt到期的零息债券价格与树形吻合，因此被设为初始Dt时段的利率,25,Example (page 700 to 705),s = 0.01a = 0.1Dt = 1 year,Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012,26,R树,27,,建树程序可推广到其他模型,dƒ(r ) = [q(t ) – a ƒ(r )]dt + sdz设x=f(r)，第一步也是先建x*的树，第二步将x*树调整为x的树，细节同前,28,建树程序可推广到其他模型,dƒ(r ) = [q(t ) – a ƒ(r )]dt + sdz 设x=f(r)，第一步也是先建x*的树，第二步将x*树调整为x的树，细节同前 有一点不同的是：定义f的反函数g，在时间m Dt ，第j个节点上的Dt时间段的利率为,29,解析结果和树形并用,树形给出的Dt时间段的利率R不是瞬时利率r证明见习题30.21 例30－1：建一个3步树可参见John Hull和Alan White的Using Hull-White Interest-Rate Trees,30,,,,校正,确定模型参数 a和s的过程称为对模型的校正 波动率参数由市场交易活跃的期权市场数据来确定，这些产品称为校正产品 校正第一步：选取一个衡量拟合质量的测度Ui是第i个校正产品的价格， Vi 模型给出的产品的价格，校正的目标是所选的参数应使以上测度最小，P是对a和s本身或曲率的较大改变所施加的一个惩罚函数,31,。