第2章非线性方程与方程组的数值解法.ppt

第2章非线性方程与方程组的数值解法     本章重点介绍求解非线性方程                 的几种常见和有效的数值方法,同时也对非线性方程组                                                求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.2.1二分法求非线性方程 确定方程的有根区间 计算根的近似值的根的方法分为两步：  首先确定有限区间：依据零点定理         设                   ，且                   ，则方程         在区间     上至少有一个根如果      在      上恒正或恒负，则此根唯一等步长扫描法求有根区间 ¡用计算机求有根区间：等步长扫描法   设h>0是给定的步长，取                   ，若                   则扫描成功；否则令                      ，继续上述方法，直到成功。

如果         则扫描失败再将h 缩小，继续以上步骤等步长扫描算法  算法：（求方程                的有根区间）(1) 输入         ；(2)                  ； (3)                           ，若       输出失败信息，停机4)若        输出   ，已算出方程的一个根，停机等步长扫描算法(5) 若           输出           为有根区间，停机(6)            ，转 3）¡注：如果对足够小的步长h扫描失败说明：Ø在        内无根Ø在        内有偶重根二分法 ¡用二分法(将区间对平分)求解  令                                 若                    ，则          为有根区间，否则         为有根区间  记新的有根区间为          ， 则  且 二分法¡对        重复上述做法得¡且    二分法   设 所求的根为    ，   则   即   取                                为      的近似解                           求方程f(x)=0的根的二分法算法求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法例题例1 设方程  解：取h=0.1,扫描得：  又  即            在         有唯一根。

 2.2一般迭代法¡2.2.1  迭代法及收敛性 对于           有时可以写成            形式 如： 迭代法及收敛性       考察方程           这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值   ， 代入               中的右端得到             ，再以   为一个猜测值，代入            的右端得               反复迭代得迭代法及收敛性  若     收敛，即            则得    是             的一个根迭代法的几何意义¡                             交点的横坐标 y=x简单迭代法     将           变为另一种等价式              选取   的某一近似值             ，则按递推关系                                 产生的迭代序列       这种方法算为简单迭代法例题      例2    试用迭代法求方程                      在区间(1，2)内的实根。

     解：由                    建立迭代关系                           k=10,1,2,3…….计算结果如下:例题¡精确到小数点后五位例题¡但如果由            建立迭代公式   仍取         ，则有             ，             显然结果越来越大，    是发散序列迭代法的收敛性¡定理（压缩映像原理）设迭代函数      在闭区间       上满足（1）（2）      满足Lipschitz条件即                       有且               压缩映像原理则             在        上存在 唯一解     ，且对                  ，由                    产生的序列          收敛于     压缩映像原理¡证明：不失一般性,不妨设  否则          为方程的根¡首先证明根的存在性   令   压缩映像原理    则                     ，        即  由条件2）     是       上的连续函数            是       上的连续函数。

故由零点定理            在       上至少有一根压缩映像原理¡再证根的唯一性    设有                       均为方程的根    则          因为 0

¡迭代格式                对任意初值               ，均收敛于        的不动点      ，并有下面误差估计式：n构造收敛迭代格式有两个要素：n1.等价形式 应满足 ；n2.初值必须取自 的充分小邻域，其大小决定于函数f(x)，及做出的等价形式 例题¡例例  证明函数                    在区间[1，2]上满足迭代收敛条件¡证明：例题                 例题¡若取迭代函数                    ，  不满足压缩映像原理，故不能肯定                                       收敛到方程的根 简单迭代收敛情况的几何解释¡例 求代数方程x3-2x-5=0，在x0=2附近的零点¡解： （1）x3=2x+5  所以构造迭代序列收敛取x0=2，则：准确的解是x=2.094551481502.2.2  Steffensen加速收敛法¡迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶 定义定义   设序列         收敛到     ，若有实数和非零常数C，使得   其中，              ，则称该序列是p 阶收敛的，C 称为渐进误差常数。

   迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶当p=1时，称为线性收敛；当p>1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶¡定理定理   设   是方程           的不动点，  若为足够小的正数                   如果           且            ，则从任意         出发，由              产生的序列         收敛到    ，当          时敛速是线性的        迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶¡证明：¡满足压缩映像原理迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶              ¡敛速是线性的                   线性收敛到      Steffensen迭代格式¡由线性收敛知   当n充分大时有                     即Steffensen迭代格式¡展开有：Steffensen迭代格式¡已知    ，则                 ，¡改成 n=0，1，2，…Steffensen迭代格式¡也可以改写成¡其中迭代函数Steffensen迭代法收敛的充要条件¡定理 Steffensen迭代法收敛的充要条件¡证明：必要性Steffensen迭代法收敛的充要条件¡充分性Steffensen算法的收敛速度   Steffensen算法的收敛速度¡定理  在定理2.2.3假设下，若                             产生的序列       至少平方收敛到       。

Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度 Steffensen算法的收敛速度 Steffensen算法的收敛速度        由定理知       至少以平方速度收敛到                也就是说：简单迭代法是线性收敛；Steffensen迭代至少平方以上收敛（加速收敛）例题¡例试用Steffensen算法求解方程¡解法一、取                ，由 n = 0，1，2，…例题¡取初值             ，计算结果如下：N XnYnZn0 1.51.3572088081.3308609591 1.3248991811.3247523791.3247244962 1.3247179571.3247179571.324717957例题¡解法二、取                        ，由¡对于该迭代函数在一般迭代法中是发散的，而Steffensen格式却是收敛的 n=0，1，2，…例题¡取初值             ，计算结果如下：N XnYnZn0 1.52.3751.2396484371 1.4162929751.8409219155.2388727692 1.3556504421.4913982792.3172706993 1.3289487771.3470628831.4443512244 1.3248044891.3251735441.3271172815 1.3247179441.3247181521.3247189806 1.324717957Steffensen迭代格式几何解释 Steffensen迭代算法 Steffensen迭代算法         为松弛因子n          时，为直接迭代；n          时，迭代步长加大，加速迭代；n                 时，迭代步长减小，适合迭代发散；n          时，迭代反方向进行。

松弛迭代法松弛迭代法¡通过选择合适的松弛因子,就可以使迭代过程收敛松弛法的迭代公式如下：  (2-7)  松弛迭代法松弛迭代法 实例实例¡例 用（松弛）迭代法求解下面非线性方程组，并分析松弛因子对迭代次数及收敛过程的影响已知迭代初值x和y均为0，收敛精度ε=0.001 n解：取以下迭代表达式：¡若取松弛因子为1.1，则其迭代过程如表2-2n若改变松弛因子,迭代过程及迭代所需的次数亦将发生变化，详见表2-3表2-2 迭代过程表2-3 松弛因子及迭代次数的变化，则为直接迭代法2.3 Newton迭代法¡设x * 是方程f (x ) = 0的根，又x0 为x * 附近的一个值 ，将f (x ) 在x0附近做泰勒展式   令          ，则 Newton迭代法去掉          的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：Newton迭代法以此产生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解，称为Newton法，又叫切线法Newton迭代法几何解释¡几何意义例题例2.3.1 用Newton法求                          的近似解解：由零点定理。

例题例题¡例2.3.2 用Newton法计算   解：Newton迭代法算法框图Newton迭代法算法Newton迭代法收敛性定理2.3.1 设函数                    ，且满足  若初值           满足                      时，由Newton法产生的序列收敛到               在[a,b]上的唯一根Newton迭代法收敛性证明： 根的存在性¡根的唯一性Newton迭代法收敛性¡收敛性Newton迭代法收敛性 Newton迭代法收敛性Newton迭代法收敛性¡推论  在定理2.3.1条件下， Newton迭代法具有平方收敛速度代数方程的Newton迭代法¡代数方程的Newton迭代法推导设n次代数方程用Newton迭代法求有限区间的实根，则要计算                ，一般采用秦九韶算法代数方程的Newton迭代法¡由Taylor展式代数方程的Newton迭代法            代数方程的Newton迭代法同理  代数方程的Newton迭代法比较x的同次幂系数得：故代数方程的Newton迭代公式代数方程的Newton迭代法算法 2.4弦截法¡Newton迭代法有一个较强的要求是              且存在。

因此，用弦的斜率   近似的替代              弦截法¡令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2弦截法弦截法的几何解释例题例2.4.1 用快速弦截法求方程在区间（1，2）内的实根解：取x0=1,x1=2,代入公式2.4.2计算结果,如表2.4.1所示kxkf(xk)01-112521.166666667-0.5787036931.253112023-0.2853630241.3372064440.05388057951.323850096-0.003698116861.324707936-4.273521*10E-571.3247179653.79*10E-8弦截法收敛定理弦截法收敛定理求解方程f(x)=0的快速弦截法2.5 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法¡设二阶方程组n其中x,y为自变量为了方便起见，将方程组写成向量形式：n将 在（x0,y0）附近进行二元泰勒展开，并取其线性部分，得到下面方程组：2.5 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法¡令 则有如果再将原方程组在u1处进行二元泰勒展开，并取其线性部分2.5 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法¡得到下面方程组： 解出得出继续做下去，每一次迭代都是一个方程组为止。

  (2-12) 2.5 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法 实例实例¡例 求解下面非线性方程组取初始值n解：解方程得2.5 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法 实例实例继续做下去，直到时停止2.6 应用实例应用实例¡例 在合成氨生产中，烃类蒸气发生以下转化反应： 已知进料甲烷为1mol，水蒸汽为5mol，反应后总压P=1atm，反应平衡常数为: 试求反应平衡时各组分的浓度¡解：设反应平衡时有x摩尔甲烷转化成CO，同时生成的CO中又有y摩尔转化成CO2，则反应平衡时各组分的摩尔数及分压如下： ¡将平衡时各组分的分压表达式代入反应平衡常数KP1及KP2的表达式得:¡设x的初值为0.1， y的初值为0.05，若采用直接迭代法进行计算，可得： x1=0.999988 y1=1.8707143¡若采用直接迭代的方法求解该方程组，结果是发散的，无法得到真实解。

但是，若采用松弛迭代法求解，并取松弛因子ω小于0.49，则可得到收敛解其最后的求解结果为: x*=0.9437 y*=0.6812 。