维向量及其运算向量组的线性相关性.ppt

一一. n维向量空间维向量空间分量为复数的向量称为分量为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量，实向量，1. n 维向量维向量定义：定义：n 个有次序的数个有次序的数所组成的有序数组所组成的有序数组称为一个称为一个n 维向量这这 n 个数称为该向量的个数称为该向量的 n 个分量，第个分量，第 个数个数 称为第称为第 个分量以后我们用小写希腊字母以后我们用小写希腊字母 来代表向量来代表向量例如：例如：n n维实向量维实向量n n维复向量维复向量第第1 1个分量个分量第第n n个分量个分量第第2 2个分量个分量向量通常写成一行：向量通常写成一行：有时也写成一列：有时也写成一列：称为称为行向量称为称为列向量分量全为零的向量分量全为零的向量 称为称为零向量2. 向量的运算和性质向量的运算和性质向量相等：向量相等：如果如果 n 维向量维向量的对应分量都相等，即的对应分量都相等，即就称这两个向量相等，记为就称这两个向量相等，记为向量加法：向量加法：向量向量称为向量称为向量的和，记为的和，记为负向量：负向量：向量向量称为向量称为向量 的负向量的负向量向量减法：向量减法：数乘向量：数乘向量：设设k为实数，向量为实数，向量称为向量称为向量与数与数k的数量乘积。

记为的数量乘积记为满足运算律：满足运算律： 注：注：（（1）对任意的向量）对任意的向量存在唯一的零向量存在唯一的零向量使得使得（（2）对任意的向量）对任意的向量存在唯一的负向量存在唯一的负向量使得使得（（4）如果）如果则则（（3））　　　　确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量 维向量的实际意义维向量的实际意义　　若一个本科学生大学阶段共修　　若一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程, ,成绩成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？向量来表示，这个向量是几维的？思考题思考题 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．所组成的集合叫做向量组．例如例如一、线性表示一、线性表示向量组向量组 , , …，， 　称为矩阵　称为矩阵A的行向量组．的行向量组． 反之，由有限个同维的向量所组成的向量组反之，由有限个同维的向量所组成的向量组可以构成一个矩阵可以构成一个矩阵.线性方程组线性方程组向量间的线性运算关系：向量间的线性运算关系：方程方程1加方程加方程2可以消去方程可以消去方程3，， 说明方程说明方程3多余．多余．定义１定义１任意一个任意一个n维向量维向量a都能由都能由n维单位坐标向量组维单位坐标向量组e1,e2,…,en线性表示线性表示.定义定义2 设两个设两个n维向量组维向量组(I)(I) a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, ,……, ,a as(II)(II) b b1 1, , b b2 2, , b b3 3, , ……, ,b bt(III)如果如果(I)组中每一个向量组中每一个向量a ai (i=1,2,…,s)都能由向量组都能由向量组(II)线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组(I)可以由向量组可以由向量组(II)线性表示线性表示.(IV)如果两个向量组可以相互线性表示，则称如果两个向量组可以相互线性表示，则称这两个这两个向量组等价向量组等价.(V) 例如，对于向量组例如，对于向量组(I)(I) a a1 1=(1,0) , , a a2 2=(0,1) (II)(II) b b1 1=(1,1) , b b2 2=(2,3) 易证易证 a a1 1=3b b1- -b b2 , , a a2 2= - -2b b1+b b2 1. b b1 1=a a1+a a2 , b b2 2=2a a1+3a a2 由于这两个向量组能相互表示，因此它们等价由于这两个向量组能相互表示，因此它们等价向量组的等价具有性质：向量组的等价具有性质：1.自反性自反性 任一向量组与其自身等价任一向量组与其自身等价.2.对称性对称性 若向量组若向量组(I)与与(II)等价，则向等价，则向量组量组(II)也与也与(I)等价等价.3.3. 传递性传递性 若向量组若向量组(I)与与(II)等价，等价，向量组向量组(II)与与(III)等价，则向量组等价，则向量组(I)与与(III)等价等价. 满足注意注意定义定义3 3则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．是线性相关的，否则称它线性无关．二、线性相关性二、线性相关性方法　从定义出发方法　从定义出发整理得线性方程组整理得线性方程组三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定例１例１　研究下列向量组的线性相关性　研究下列向量组的线性相关性解解:整整理理得得到到线性相关性性方程组中的应用线性相关性性方程组中的应用解解例例2解解例例3证证定理定理2 2　向量组　向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示．个向量线性表示．证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ））能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数　　　　　　使的数　　　　　　使 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，，不妨设　　　则有不妨设　　　则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.证毕证毕.定理定理3 3说明说明说明说明定理定理4 4 设向量组设向量组a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, ,…, ,a as线性无关，线性无关，如果向量组如果向量组 a a1 1, , a a2 2, , …, , a as, , b b线性相关，线性相关，那么那么b b必能由必能由a a1 1, ,a a2 2, , …, a as线性表示，而且线性表示，而且表达式是唯一的表达式是唯一的. 证：证：因因 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数　　　　　　使的数　　　　　　使 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，，故故 则则 　　　　　　即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.若　　　则有若　　　则有且且 中至少有一个不为中至少有一个不为0，，从而从而 线性无关，矛盾线性无关，矛盾下面证下面证 的表达式是唯一的的表达式是唯一的.因为因为 线性无关，所以线性无关，所以如果如果　　１　　１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；　　　　２２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性性方程组中的应用；性方程组中的应用；（（重点重点））　　　　３３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．两个定理．（（难点难点））四、小结四、小结思考题思考题证明　证明　（１）、（２）略．（１）、（２）略．（３）（３）充分性充分性必要性必要性思考题解答思考题解答。