此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除资料共分享，我们负责传递知识2.2.2 椭圆的简单几何性质 优化训练1．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是( )A．点(－2,3)在椭圆外B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上答案：D2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )A．m>1 B．m>1且m≠3C．m>3 D．m>0且m≠3答案：B3．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．答案：(－，)4．如图，已知斜率为1的直线l过椭圆＋＝1的下焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB之长．解：令A、B坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．由椭圆方程知a2＝8，b2＝4，∴c＝＝2，∴椭圆的下焦点F的坐标为F(0，－2)，∴直线l的方程为y＝x－2.将其代入＋＝1，化简整理得3x2－4x－4＝0，∴x1＋x2＝，x1·x2＝－，∴|AB|＝＝＝ ＝ ＝.一、选择题1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )A．－C．－20，可得－13b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )A. B.C. D.解析：选D.如图，由于BF⊥x轴，故xB＝－c，yB＝.设P(0，t)，∵＝2，∴(－a，t)＝2.∴a＝2c，∴＝.6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于( )A．－3 B．－C．－或－3 D．±解析：选B.不妨设l过椭圆的右焦点(1,0)，则直线l的方程为y＝x－1.由消去y，得3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－.二、填空题7．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．解析：由题意可设椭圆方程＋＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a＝.答案：28．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.解析：两焦点的坐标分别为F1(－5,0)、F2(5,0)，由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100.而|PF1|＋|PF2|＝14，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝196.∴100＋2|PF1|·|PF2|＝196.∴|PF1|·|PF2|＝48.答案：489．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，∴lAB：y＝2x－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x2－5x＝0，∴x＝0或x＝，∴A(0，－2)，B(，)，∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝×1×(2＋)＝.答案：三、解答题10．焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．解：设此椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且a2－b2＝(5)2＝50 ①由，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.∵＝，∴＝，∴a2＝3b2 ②，此时Δ>0，由①②得a2＝75，b2＝25，∴＋＝1.11．如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9.点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的方程．解：∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，即△BAP是等腰直角三角形，|AB|＝|AP|.∵·＝9，∴|AB||AP|cos 45°＝|AP|2cos 45°＝9，∴|AP|＝3.∵P(0,1)，∴|OP|＝1，|OA|＝2，即b＝2，且B(3,1)．∵B在椭圆上，∴＋＝1，得a2＝12，∴椭圆C的方程为＋＝1.12．(2020年高考福建卷)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．从而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，解得t＝±2.由于±2∉[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在． 。
