离散数学第十七章平面图.ppt

第十七章 平面图本章的主要内容 l 平面图的基本概念 l 欧拉公式 l 平面图的判断 l 平面图的对偶图1引言许多实际问题可以抽象为这样的模式：在一些表示客体的结 点之间“布线”、“建通道”，以建立它们之间的某些联系 ，要求这些“线”、“通道”在一个平面上而又不相互交叠 这正是本章要讨论的图论问题 例如，要在三个工作点A,B,C和三个原料库L,M,N之间建立 各工作点到原料库的传输线，问是否可能使这些线路互 不相交？如果用结点表示工作站，用边表示传输线，那 么上述问题便可描述为：K3,3是否可以在一个平面上图示 出来，使图中各边除端点外均不相交？另外，印刷电路 板上的布线与交通道路的设计等都是此类问题为了深 入讨论这个问题，需要引入平面图的概念2在图中，(2)是(1) 的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入.17.1 平面图的基本概念 定义17.1 (1) G可嵌入曲面S——若能将G除顶点外无边相交地画在S上 (2) G是可平面图或平面图——G可嵌入平面 (3) 平面嵌入——画出的无边相交的平面图 (4) 非平面图——无平面嵌入的无向图(1) (2) (3) (4)3几点说明及一些简单结论一般所谈平面图不一定是指平面嵌入，上图中4个图都是平 面图，但讨论某些性质时，一定是指平面嵌入. 结论： (1) K5, K3,3都不是平面图（待证） (2) 设GG，若G为平面图，则G也是平面图（定理17.1） (3) 设GG，若G为非平面图，则G也是非平面图（定理 17.2），由此可知，Kn(n6)，K3,n(n4) 都是非平面图. (4) 平行边与环不影响平面性. 4平面图(平面嵌入)的面与次数定义17.2 (1) G的面——由G的平面嵌入的边将平面化分成的区域 (2) 无限面或外部面——（可用R0表示）——面积无限的面 (3) 有限面或内部面（可用R1, R2, …, Rk等表示）——面积有限的面 (4) 面 Ri 的边界——包围Ri的回路组 (5) 面 Ri 的次数——Ri边界的长度，用deg(Ri)表示 5定理17.4 平面图各面次数之和等于边数的两倍. 几点说明l 若平面图G有k个面，可笼统地用R1, R2, …, Rk表示，不需 要指出外部面. l 定义17.2(4) 中回路组是指：边界可能是初级回路(圈)， 可能是简单回路，也可能是复杂回路. 特别地，还可能是 非连通的回路之并. 平面图有4个面， deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8. 请写各面的边界. 6极大平面图 定义17.3 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之 间 加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图.注意：若简单平面图G中已无不相邻顶点，G显然是极大平 面图，如K1(平凡图), K2, K3, K4都是极大平面图. 极大平面图的主要性质 定理17.5 极大平面图是连通的. 证明线索：否则，加新边不破坏平面性定理17.6 n（n3）阶极大平面图中不可能有割点和桥. 证明线索：由定理17.5及n3可知，G中若有桥，则一定有 割点，因而只需证无割点即可. 方法还是反证法.7证明线索： (1) 由于n3, 又G必为简单 平面图可知，G每个面的 次数均3. (2) 因为G为平面图，又为极 大平面图. 可证G不可能 存在次数>3的面. 就给出的图讨论即可. 极大平面图的性质定理17.7 设G为n（n3）阶极大平面图，则G的每个面的 次数均为3. 8定理17.7中的条件也是极大平面图的充分条件. 定理17.7 设G为n (n3) 阶平面图，且每个面的次数均为3， 则G为极大平面图.定理的应用上图中，只有(3)为极大平面图(1) (2) (3) 9极小非平面图定义17.4 若在非平面图G中任意删除一条边，所得图G为平 面图，则称G为极小非平面图.由定义不难看出： (1) K5, K3,3都是极小非平面图 (2) 极小非平面图必为简单图图中所示各图都是极小非平面图.10定理17.9 （欧拉公式的推广）设G是具有k（k2）个连通 分支的平面图，则nm+r=k+1 证明中对各连通分支用欧拉公式，并注意 即可. 17.2 欧拉公式定理17.8 设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则nm+r=2（此公式称为欧拉公式）证 对边数m做归纳法 m=0，G为平凡图，结论为真. 设m=k（k1）结论为真，m=k+1时分情况讨论. (1) G中无圈，则G为树，删除一片树叶，用归纳假设. (2) 否则，在某一个圈上删除一条边，进行讨论.11解得 定理17.11 在具有k（k2）个连连通分支的平面图图中，与欧拉公式有关的定理 定理17.10 设G为连通的平面图，且deg(Ri)l, l3，则 证 由定理17.4及欧拉公式得推论 K5, K3,3不是平面图.12定理17.12 设设G为为n（n3）阶阶m条边边的简单简单 平面图图，则则 m3n6. 证证 设设G有k（k1）个连连通分支，若G为树为树 或森林，当n3时时， m3n6为为真. 否则则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围边围 成 ，又定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则 m=3n6.证 由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证. 定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证 阶数 n6，结论为真. 当n7 时，用反证法. 否则会推出 2m6n  m3n，这与定理17.12矛盾. 与欧拉公式有关的定理在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6.1317.3 平面图的判断1. 插入2度顶点和消去2度顶点 定义17.5 (1) 消去2度顶点v，见下图中，由(1) 到(2) (2) 插入2度顶点v，见下图中，从(2) 到(1) .(1) (2) 142. 收缩边e，见下图所示.3. 图之间的同胚 定义17.6 若G1G2，或经过反复插入或消去2度顶点后所 得G1G2，则称G1与G2同胚. 图的同胚右边两个图同胚15平面图判定定理定理17.15 G是平面图  G中不含与K5或K3,3同胚的子图. 定理17.16 G是平面图  G中无可收缩为K5或K3,3的子图例1 证明所示图(1) 与(2)均为非平面图. (1) (2)右图(1),(2)分别为 原图(1), (2)的子图 与K3,3, K5同胚. 子图 (1) (2) 1617.4 平面图的对偶图定义17.7 设G是某平面图的某个平面嵌入，构造G的对偶图 G*如下： (1) 在G的面Ri中放置G*的顶点v*i. (2) 设e为G的任意一条边.若e在G的面 Ri与 Rj 的公共边界上，做G*的边e*与e相 交，且e*关联G*的位于Ri与Rj中的顶点v*i与v*j，即 e*=(v*i,v*j)，e*不与其它任何边相交. 若e为G中的桥且在面Ri的边界上，则e*是以Ri中G*的顶点v*i为端点的环，即e*=(v*i,v*i). 17下面两图中，实线边图为平面图，虚线边图为其对偶图. 实例18G 的对偶图G*有以下性质： (1) G*是平面图，而且是平面嵌入. (2) G*是连通图 (3) 若边e为G中的环，则G*与e对应的边e*为桥，若e为桥， 则G*中与e对应的边e*为环. (4) 在多数情况下，G*为多重图（含平行边的图）. (5) 同构的平面图（平面嵌入）的对偶图不一定是同构的.如上面的例子. 对偶图的性质19平面图与对偶图的 阶数、边数与面数之间的关系 定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则dG*(v*i)=deg(Ri)证明线索 (1)、(2)平凡. (3) 应用欧拉公式. (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两 个面的边界上. 20平面图与对偶图的 阶数、边数与面数之间的关系 定理17.18 设G*是具有k（k2）个连通分支的平面图G的对偶图，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=nk+1 (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则dG*(v*i)=deg(Ri) 其中n*, m*, r*, n, m, r同定理17.17. 证明(3) 时应同时应用欧拉公式及欧拉公式的推广. 21自对偶图定义17.8 设G*是平面图G的对偶图，若G*G，则称G为自 对偶图. 轮图定义如下： 在n1（n4）边形Cn1内放置1个顶点，使这个顶点与Cn1 上的所有的顶点均相邻. 所得n 阶简单图称为n阶轮图. n为奇 数的轮图称为奇阶轮图，n为偶数的轮图称为偶阶轮图，常 将 n 阶轮图记为Wn. 轮图都是自对偶图. 图中给出了W6和W7. 请画出它们的对偶图， 从而说明它们都是自对偶图. 22第十七章 习题课 主要内容 l 平面图的基本概念 l 欧拉公式 l 平面图的判断 l 平面图的对偶图基本要求 l 深刻理解本部分的基本概念：平面图、平面嵌入、面、次 数、极大平面图、极小非平面图、对偶图 l 牢记极大平面图的主要性质和判别方法 l 熟记欧拉公式及推广形式，并能用欧拉公式及推广形式证 明有关定理与命题 l 会用库拉图斯基定理证明某些图不是平面图 l 记住平面图与它的对偶图阶数、边数、面数之间的关系 23练习1解 设G的阶数、边数、面数分别为n, m, r. (1) 否则，由欧拉公式得2m > 5r = 5 (2+mn) ①由于(G)3及握手定理又有 2m  3n ②由①与②得 m30 ③又有 r=2+mn <12 ④由④及②又可得 m<30 ⑤③,⑤是矛盾的. (2) 正十二面体是一个反例 1. 设G是连通的简单的平面图，面数r<12，(G)3. (1) 证明G中存在次数4的面 (2) 举例说明当r=12时，(1) 中结论不真.242. 设G是阶数n11的无向平面图，证明G和 不可能全是 平面图. 证证 只需证证明G和 中至少有一个是非平面图图. 采用反证证法. 否则则 与G 都是平面图图，下面来推出矛盾.G与 的边边数m, m应满应满 足 ( Kn的边边数) ①由鸽鸽巢原理知m或m，不妨设设m， ②又由定理17.12 知 m  3n  6 ③ 由②与③得 n213n+24  0 。