计量经济学-多元线性回归模型.ppt

第三章第三章 多元线性回归模型多元线性回归模型 v多元线性回归模型多元线性回归模型 v多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计v多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验v多元线性回归模型的预测多元线性回归模型的预测v回归模型的其他形式回归模型的其他形式v回归模型的参数约束回归模型的参数约束1§3.1 多元线性回归模型多元线性回归模型 一、一、多元线性回归模型多元线性回归模型 二、二、多元线性回归模型的基本假定多元线性回归模型的基本假定 2一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型多元线性回归模型多元线性回归模型:表现性回归模型中的解释变量表现性回归模型中的解释变量有多个 一般表现形式：一般表现形式：i=1,2…,n其中其中k为解释变量的数目为解释变量的数目, j称为称为回归参数回归参数(regression coefficient).3习惯上：把习惯上：把常数项常数项看成为一看成为一虚变量虚变量的系数的系数, 该虚变量的样本观测值始终取该虚变量的样本观测值始终取1 于是于是模型中解释变量的数目为模型中解释变量的数目为(k+1).也被称为也被称为总体回归函数总体回归函数的的随机表达形式随机表达形式。

它的它的非随机表达式非随机表达式为为:表示：表示：各变量各变量X值固定时值固定时Y的平均响应的平均响应4其中其中  j也被称为也被称为偏回归系数偏回归系数,表示在其他解释变量保持不表示在其他解释变量保持不变的情况下变的情况下, Xj每变化每变化1个单位时个单位时,Y的均值的均值E(Y)的变化的变化; 或或者者说说 j给给出出了了Xj的的单单位位变变化化对对Y均均值值的的“直直接接”或或“净净”(不含其他变量不含其他变量)影响 总体回归模型总体回归模型n个随机方程的个随机方程的矩阵表达式矩阵表达式为为: 5用来估计总体回归函数的用来估计总体回归函数的样本回归函数样本回归函数为为：：其其随机表示式随机表示式: ei称为称为残差残差或或剩余项剩余项(residuals),可看成是总体回归函可看成是总体回归函数中随机扰动项数中随机扰动项 i的近似替代的近似替代 样本回归函数样本回归函数的的矩阵表达矩阵表达: 或或其中其中6二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 假设假设1 模型设定是正确的模型设定是正确的假设假设2 解释变量是非随机的或固定的解释变量是非随机的或固定的, 且各且各X之间互不相之间互不相关关(无多重共线性无多重共线性)。

假设假设3 样本容量趋于无穷时各解释变量的方差趋于有界样本容量趋于无穷时各解释变量的方差趋于有界常数常数,即即n∞时时7假设假设4 随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性,假设假设5 解释变量与随机项不相关解释变量与随机项不相关 假设假设6 随机项满足正态分布随机项满足正态分布 8上述假设的上述假设的矩阵符号表示矩阵符号表示 式：式：假设假设2 n (k+1)矩阵矩阵X是非随机的是非随机的,且且X的秩的秩k+1,即即X列满列满秩假设假设4 9假设假设6 向量向量  有一多维正态分布，即有一多维正态分布，即 假设假设5 E(X’ )=0, 即即 10§3.2 多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 一、一、普通最小二乘估计普通最小二乘估计 * *二、二、最大或然估计最大或然估计 * *三、三、矩估计矩估计 四、四、参数估计量的性质参数估计量的性质 五、五、样本容量问题样本容量问题 六、六、估计实例估计实例 11说说 明明估计方法：估计方法：3大类方法：大类方法：OLS、、ML或者或者MM›在经典模型中多应用在经典模型中多应用OLS›在非经典模型中多应用在非经典模型中多应用ML或者或者MM›在本节中，在本节中， ML与与MM为选学内容为选学内容12一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计对于随机抽取的对于随机抽取的n组观测值组观测值如果如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到的参数估计值已经得到,则有则有：： i=1,2…n• 根据根据最小最小二乘原理二乘原理，，参数估计值参数估计值应该是右列应该是右列方程组的解方程组的解 其中其中13• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组： 解该（k+1） 个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1) 个待估参数的估计值$,, , ,,jj =012L。

k14正规方程组正规方程组的的矩阵形式矩阵形式即即由于由于X’X满秩，故有满秩，故有 15• 将上述过程用矩阵表示矩阵表示如下： 即求解方程组：16得到：得到： 于是：于是：例例3.2.1：：在在例例2.1.1的的家庭收入家庭收入-消费支出消费支出例中，例中， 17可求得： 于是： 18正规方程组正规方程组 的另一种写法的另一种写法对于对于正规方程组正规方程组 于是于是 或或 (*)或或(**)是多元线性回归模型是多元线性回归模型正规方程组正规方程组的另一种写法的另一种写法(*)(**)19样本回归函数的离差形式样本回归函数的离差形式i=1,2…n 其其矩阵形式矩阵形式为：为：其中其中 ：： 在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 20随机误差项随机误差项 的方差的方差 2的无偏估计的无偏估计 可以证明可以证明:随机误差项随机误差项  的方差的无偏估计量为：的方差的无偏估计量为： 21 *二、最大或然估计二、最大或然估计对于多元线性回归模型对于多元线性回归模型易知易知Y的随机抽取的的随机抽取的n组样本观测值的联合概率组样本观测值的联合概率22 对数或然函数为对数或然函数为对数或然函数求极大值，也就是对对数或然函数求极大值，也就是对 求极小值。

求极小值即为变量即为变量Y的的或然函数或然函数. 因此，参数的因此，参数的最大或然估计最大或然估计为为结果与参数的普通最小二乘估计相同结果与参数的普通最小二乘估计相同23*三、矩估计（三、矩估计（Moment Method, MM）） OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组正规方程组并对它进行求解而完成的并对它进行求解而完成的该该正规方程组正规方程组 可以从另外一种思路来导可以从另外一种思路来导: 求期望求期望 :24称为原总体回归方程的一组称为原总体回归方程的一组矩条件矩条件，表明了原总，表明了原总体回归方程所具有的内在特征体回归方程所具有的内在特征 25由此得到由此得到正规方程组正规方程组 解此正规方程组即得参数的解此正规方程组即得参数的MM估计量 易知易知MM估计量与估计量与OLS、、ML估计量等价估计量等价矩方法是工具变量方法矩方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV)和和广义矩估计方法广义矩估计方法(Generalized Moment Method, GMM)的基础的基础26 在在矩方法矩方法中利用了关键是中利用了关键是 E(X’ )=0.如果某个解释变量与随机项相关如果某个解释变量与随机项相关,只要能找到只要能找到1个工具个工具变量变量,仍然可以构成一组矩条件仍然可以构成一组矩条件,这就是这就是IV。

如果存在＞如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构成一个变量与随机项不相关，可以构成一组包含＞组包含＞k+1方程的矩条件这就是方程的矩条件这就是GMM27 四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数在满足基本假设的情况下，其结构参数 的的普普通最小二乘估计通最小二乘估计、、最大或然估计最大或然估计及及矩估计矩估计仍具有：仍具有： 线性性线性性、、无偏性无偏性、、有效性有效性同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致性28 1、线性性、线性性 其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与固定的X有关的行向量 2、无偏性、无偏性 29 3、、有效性（最小方差性）有效性（最小方差性） 这里利用了假设: E(X’ )=030其中利用了 和31 五、样本容量问题 所谓所谓““最小样本容量最小样本容量””，即从最小二乘原理和最大或，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。

要求的样本容量的下限⒈⒈ 最小样本容量最小样本容量 样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）（包括常数项）,即即 n   k+1因为，因为，无多重共线性要求：秩无多重共线性要求：秩(X)=k+132 2 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 • 从统计检验的角度从统计检验的角度： n30 时，Z检验才能应用； n-k≥8时, t分布较为稳定 • 一般经验认为一般经验认为: 当n≥30或者至少n≥3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求 • 模型的良好性质只有在大样本下才能得到理模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明论上的证明33 六、多元线性回归模型的参数估计实例六、多元线性回归模型的参数估计实例 例例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居民人均消费中国居民人均消费一元线性模型这里我们再考虑建立多元线性模型解释变量：解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1)估计区间估计区间：1979~2000年34Eviews软件估计结果 35§3.3 §3.3 多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验 一、一、拟合优度检验拟合优度检验 二、二、方程的显著性检验方程的显著性检验(F(F检验检验) ) 三、三、变量的显著性检验（变量的显著性检验（t t检验）检验） 四、四、参数的置信区间参数的置信区间 36一、拟合优度检验一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数、可决系数与调整的可决系数则 总离差平方和的分解总离差平方和的分解37由于: =0所以有： 注意：注意：一个有趣的现象一个有趣的现象38 可决系数可决系数该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。

问题：问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， R2往往增大（Why?) 这就给人一个错觉一个错觉：要使得模型拟合得好，要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可只要增加解释变量即可—— 但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，，R2需调整需调整39 调整的可决系数调整的可决系数（（adjusted coefficient of determination）） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度4041 *2、赤池信息准则和施瓦茨准则、赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则赤池信息准则（（Akaike information criterion, AIC））施瓦茨准则施瓦茨准则（（Schwarz criterion，，SC）） 这两准则均要求这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够仅当所增加的解释变量能够减少减少AICAIC值或值或ACAC值时才在原模型中增加该解释变量值时才在原模型中增加该解释变量。

42 Eviews的估计结果显示： 中国居民消费一元例中： AIC=6.68 AC=6.83 中国居民消费二元例中： AIC=7.09 AC=7.19从这点看，可以说前期人均居民消费CONSP(-1)应包括在模型中 43二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验) ) 方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系释变量之间的线性关系在总体上在总体上是否显著成立作出推断是否显著成立作出推断 1、方程显著性的、方程显著性的F检验检验 即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+  +kXki+i i=1,2, ,n中的参数j是否显著不为044 可提出如下原假设与备择假设： H0： 0=1=2=  =k=0 H1： j不全为0 F F检验的思想检验的思想来自于总离差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS45 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存性关系，反之总体上可能不存性关系。

因此因此, ,可通过该比值的大小对总体线性关系可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断进行推断 根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量 46服从自由度为(k , n-k-1)的F分布 给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1) 或 F≤F(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上总体上的线性关系是否显著成立 47对于中国居民人均消费支出的例子： 一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界值： 一元例：F(1,21)=4.32 二元例： F(2,19)=3.52显然有 F F(k,n-k-1) ，即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立48 2、、关于拟合优度检验与方程显著性检验关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论关系的讨论 由可推出：与或4950 在在中国居民人均收入中国居民人均收入—消费消费一元模型一元模型中，中， 在在中国居民人均收入中国居民人均收入—消费消费二元模型二元模型中中，， 51三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t t检验检验）） 方程的总体线性总体线性关系显著 每个解释变量每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。

因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中 这一检验是由对变量的这一检验是由对变量的 t 检验完成的检验完成的52 1、、t统计量统计量 由于 以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为： 其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替: 53因此，可构造如下t统计量 54 2、、t检验检验 设计原假设与备择假设： H1：i0 给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|≤t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变判定对应的解释变量是否应包括在模型中量是否应包括在模型中 H0：i=0 （i=1,2…k） 55注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中，t t检验与检验与F F检验一致检验一致 一方面一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0：： 1=0=0 进行检验; 另一方面另一方面，两个统计量之间有如下关系： 56在中中国国居居民民人人均均收收入入-消消费费支支出出二二元元模模型型例中，由应用软件计算出参数的t值： 给定显著性水平=0.05，查得相应临界值： t0.025(19) =2.093。

可见，计计算算的的所所有有t值值都都大大于于该该临临界界值值，所以拒绝原假设即:包包括括常常数数项项在在内内的的3个个解解释释变变量量都都在在95%的的水水平下显著，都通过了变量显著性检验平下显著，都通过了变量显著性检验57四、参数的置信区间四、参数的置信区间 参参数数的的置置信信区区间间用来考察：在在一一次次抽抽样样中中所所估估计计的的参数值离参数的真实值有多参数值离参数的真实值有多“近近” 在变量的显著性检验中已经知道：在变量的显著性检验中已经知道：58容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信区间是 其中，t/2为显著性水平为 、自由度为n-k-1的临界值 在中国居民人均收入－消费支出中国居民人均收入－消费支出二元模型二元模型例中,给定=0.05，查表得临界值：t0.025(19)=2.09359计算得参数的置信区间： 0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080) 从回归计算中已得到：60如何才能缩小置信区间？如何才能缩小置信区间？ • 增大样本容量增大样本容量n n，，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；；• 提高模型的拟合优度提高模型的拟合优度，，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。

61v提高样本观测值的分散度提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观测值越分散，(X’X)-1的分母的|X’X|的值越大，致使区间缩小62§3.4 §3.4 多元线性回归模型的预测多元线性回归模型的预测 一、一、E(Y0)的置信区间的置信区间 二、二、Y0的置信区间的置信区间63对于模型 给 定 样 本 以 外 的 解 释 变 量 的 观 测 值X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解释变量的预测值： 它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测 但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值 为了进行科学预测，还需求出预测值的置信为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括区间，包括E(Y0)和和Y0的的置信区间置信区间 64一、一、E(Y0)的置信区间的置信区间易知 65容易证明 于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间置信区间：其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值临界值66二、二、Y0的置信区间的置信区间如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：容易证明 67e0服从正态分布，即 构造t统计量 可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间置信区间： 68 中国居民人均收入中国居民人均收入- -消费支出消费支出二元模型二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元， 于是人均居民消费的预测值人均居民消费的预测值为 Ŷ2001=120.7+0.2213×4033.1+0.4515×1690.8=1776.8（元） 实测值实测值（90年价）=1782.2元，相对误差：相对误差：-0.31% 预测的置信区间预测的置信区间 ：：69于是E(E(Ŷ2001））的95%的置信区间为: 或 （1741.8，1811.7）70或 （1711.1, 1842.4） 同样，易得Ŷ2001的95%的置信区间为71§3.5 回归模型的其他函数形式回归模型的其他函数形式 一、一、模型的类型与变换模型的类型与变换 二、二、非线性回归实例非线性回归实例72说说 明明v在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。

接表现为线性关系的情况并不多见v如著名的如著名的恩格尔曲线恩格尔曲线(Engle curves)表现为表现为幂函数曲幂函数曲线线形式、宏观经济学中的形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线菲利普斯曲线(Pillips cuves)表现为表现为双曲线双曲线形式等v但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法用线性回归模型的理论方法73一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 1 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，例如，描述税收与税率关系的描述税收与税率关系的拉弗曲线：拉弗曲线：抛物线抛物线 s= a+br+cr2 c <0 s：税收；：税收； r：税率：税率设设X1 = r，，X2 = r2，， 则原方程变换为则原方程变换为 s = a+bX1+cX2 c<0 742、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 例如例如，，Cobb-Dauglas生产函数生产函数：幂函数：幂函数 Q = AK L Q：产出量，：产出量，K：投入的资本；：投入的资本；L：投入的劳动：投入的劳动 方程两边取对数：方程两边取对数： ln Q = ln A +   ln K +   ln L753、复杂函数模型与级数展开法、复杂函数模型与级数展开法 方程两边取对数后，得到：方程两边取对数后，得到： ( 1+ 2=1) Q:产出量，产出量，K：资本投入，：资本投入，L：劳动投入：劳动投入  ：替代参数，：替代参数，  1、、 2：分配参数：分配参数例如，例如，常替代弹性常替代弹性CES生产函数生产函数76 将式中将式中ln( 1K-  +  2L- )在在 =0处展开泰勒级处展开泰勒级数数,取关于取关于 的线性项，即得到一个线性近似式。

的线性项，即得到一个线性近似式 如取如取0阶、阶、1阶、阶、2阶项，可得阶项，可得:77二、非线性回归实例二、非线性回归实例 例例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型建立中国城镇居民食品消费需求函数模型根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为: Q:居民对食品的需求量，居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额：消费者的消费支出总额P1：食品价格指数，：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数居民消费价格总指数 (*)78零阶齐次性零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变按同一比例变动时，需求量保持不变 (**)为了进行比较，将同时估计（为了进行比较，将同时估计（* *）式与（）式与（****）式 79根据根据恩格尔定律恩格尔定律,居民对居民对食品的消费支出食品的消费支出与居民的与居民的总支出总支出间呈间呈幂函数幂函数的变化关系的变化关系: 首先首先,确定具体的函数形式确定具体的函数形式对数变换对数变换: (***)80考虑到考虑到零阶齐次性零阶齐次性时时(****)式也可看成是对式也可看成是对(***)式施加如下约束而得式施加如下约束而得:因因此此对对(****)式式进进行行回回归归, 就就意意味味着着原原需需求求函函数数满足零阶齐次性条件满足零阶齐次性条件。

)81X：人均消费：人均消费X1：人均食品消费：人均食品消费GP：居民消费价格：居民消费价格指数指数FP：居民食品消费：居民食品消费价格指数价格指数XC：人均消费（：人均消费（90年价）年价）Q：人均食品消费：人均食品消费（（90年价）年价）P0：居民消费价格：居民消费价格缩减指数缩减指数（（1990=100））P：居民食品消费价：居民食品消费价格缩减指数格缩减指数（（1990=10082中中国国城城镇镇居居民民人人均均食食品品消消费费 特征特征：：消费行为在消费行为在1981~1995年间表现年间表现出较强的一致性；出较强的一致性；1995年之后呈现出年之后呈现出另外一种变动特征另外一种变动特征 83建立建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费年中国城镇居民对食品的消费需求模型需求模型: (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34) 84按按零阶齐次性零阶齐次性表达式回归表达式回归: : （75.86）(52.66) (-3.62) 为了比较，改写该式为为了比较，改写该式为85与与接近。

接近意味着：意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征86§3.6 受约束回归受约束回归 一、一、模型参数的线性约束模型参数的线性约束 二、二、对回归模型增加或减少解释变量对回归模型增加或减少解释变量 三、三、参数的稳定性参数的稳定性 * *四、四、非线性约束非线性约束87说说 明明在建立回归模型时在建立回归模型时, 有时根据经济理论需要对模型有时根据经济理论需要对模型中的参数施加一定的约束条件例如：中的参数施加一定的约束条件例如：——需求函数的需求函数的0阶齐次性阶齐次性条件条件——生产函数的生产函数的1阶齐次性阶齐次性条件条件模型施加约束条件后进行回归，称为模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归受约束回归(restricted regression);未加任何约束的回归称为未加任何约束的回归称为无约束回归无约束回归(unrestricted regression)88一、模型参数的线性约束一、模型参数的线性约束例如对模型例如对模型:施加约束施加约束:得得:或或:(*)(**)89如果对如果对(**)式回归得出式回归得出:则由约束条件可得则由约束条件可得:然而对所考查的具体问题然而对所考查的具体问题能否施加约束？能否施加约束？需进一步进行相应的检验。

需进一步进行相应的检验常用的检验有常用的检验有: F检验、检验、 2检验与检验与t 检验90F检验检验 在同一样本下，记在同一样本下，记无约束无约束样本回归模型为样本回归模型为:受约束受约束样本回归模型为样本回归模型为:于是于是:91 受约束受约束样本回归模型的样本回归模型的残差平方和残差平方和RSSR于是于是e’e为为无约束无约束样本回归模型的样本回归模型的残差平方残差平方和和RSSU(*)受约束受约束与与无约束无约束模型都有模型都有相同的相同的TSS92 这这意意味味着着,通通常常情情况况下下对对模模型型施施加加约约束束条条件件会会降降低低模模型的解释能力型的解释能力 但但是是, 如如果果约约束束条条件件为为真真,则则受受约约束束回回归归模模型型与与无无约约束束回回归归模模型型具具有有相相同同的的解解释释能能力力,RSSR与与RSSU的的差差异异变小由由(*)式式 RSSR   RSSU从而从而 ESSR   ESSU93可用可用RSSR -RSSU的大小来检验约束的真实性的大小来检验约束的真实性根据数理统计学的知识：根据数理统计学的知识：于是于是94 讨论：讨论：如果约束条件无效如果约束条件无效, RSSR与与RSSU的差异较大的差异较大,计算的计算的F值也较大。

值也较大于是于是, 可用计算的可用计算的F统计量的值与所给定的显著性水统计量的值与所给定的显著性水平下的临界值作比较平下的临界值作比较,对约束条件的真实性进行检验对约束条件的真实性进行检验.注意注意, kU - kR恰为约束条件的个数恰为约束条件的个数95例例3.6.1 中中国国城城镇镇居居民民对对食食品品的的人人均均消消费费需需求求实实例例中中,对对零阶齐次性零阶齐次性检验：检验： 无约束回归无约束回归:RSSU=0.00324, kU=3 受约束回归受约束回归:RSSR=0.00332, KR=2 样本容量样本容量n=14, 约束条件个数约束条件个数kU - kR=3-2=196取取 =5%, 查得临界值查得临界值F0.05(1,10)=4.96;结论：结论：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费需求函不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设数具有零阶齐次特性这一假设这里的这里的F F检验适合所有关于参数线性约束的检验检验适合所有关于参数线性约束的检验如：多元回归中对如：多元回归中对方程总体线性性方程总体线性性的的F检验：检验： H0：：  j=0 j=1,2,…,k97这里：受约束回归模型为这里：受约束回归模型为这里运用了这里运用了ESSR＝＝0.98二、对回归模型增加或减少解释变量二、对回归模型增加或减少解释变量考虑如下两个回归模型考虑如下两个回归模型(*)(**)(*)式可看成是式可看成是(**)式的式的受约束回归：受约束回归：H0:99相应的相应的ＦＦ统计量为统计量为: ＦＦ统计量的另一个等价式统计量的另一个等价式100 如果约束条件为真，即额外的变量如果约束条件为真，即额外的变量Xk+1, …, Xk+q对Ｙ对Ｙ没有解释能力，则Ｆ统计量较小；没有解释能力，则Ｆ统计量较小； 否则，约束条件为假，意味着额外的变量对Ｙ有较强否则，约束条件为假，意味着额外的变量对Ｙ有较强的解释能力，则Ｆ统计量较大。

的解释能力，则Ｆ统计量较大 因此可通过因此可通过F的的计算值计算值与与临界值临界值的比较的比较, 来判断额外来判断额外变量是否应包括在模型中变量是否应包括在模型中讨论：讨论：101三、参数的稳定性三、参数的稳定性1 1、邹氏参数稳定性检验、邹氏参数稳定性检验 建立模型时往往希望模型的参数是稳定的，即所谓的结构不变结构不变，这将提高模型的预测与分析功能如何检验？如何检验？ 假设需要建立的模型需要建立的模型为在两个连续的时间序列（1,2,…，n1）与（n1+1,…，n1+n2）中，相应的模型分别为：102 合并两个时间序列为( 1,2,…，n1 ，n1+1,…，n1+n2 )，则可写出如下无约束回无约束回归模型 如果 = ，表示没有发生结构变化，因此可针对如下假设进行检验： H0:  = (*)式施加上述约束后变换为受约束受约束回归模型(*)（**）103因此，检验的F统计量为： 记RSS1与RSS2为在两时间段上分别回归后所得的残差平方和，容易验证，于是104参数稳定性的检验步骤：参数稳定性的检验步骤：(1)分别以两连续时间序列作为两个样本进行回归分别以两连续时间序列作为两个样本进行回归, 得到相应的残差平方：得到相应的残差平方： RSS1与与RSS2 (2)将两序列并为一个大样本后进行回归将两序列并为一个大样本后进行回归, 得到大样本下的残差平方和得到大样本下的残差平方和RSSR.(3)计算计算F统计量的值，与临界值比较：统计量的值，与临界值比较： 若若F值值大于大于临界值临界值, 则拒绝原假设则拒绝原假设, 认为发生了结认为发生了结构变化构变化, 参数是非稳定的。

参数是非稳定的 该检验也被称为邹氏参数稳定性检验该检验也被称为邹氏参数稳定性检验(Chow test for parameter stability).1052、邹氏预测检验、邹氏预测检验上述参数稳定性检验要求上述参数稳定性检验要求n2>k如果出现如果出现n2F(n2, n1-k-1) ，，则拒绝原假设，认为预测期发生了结构变化。

111例例3.6.2 中国城镇居民食品人均消费需求的邹氏检验中国城镇居民食品人均消费需求的邹氏检验 1、参数稳定性检验、参数稳定性检验1981~1994：：RSS1=0.003240 1995~2001：： (9.96) (7.14) (-5.13) (1.81) 1121981~2001: (14.83) (27.26) (-3.24) (-11.17) 给定给定 =5%, 查表得临界值查表得临界值F0.05(4, 13)=3.18113结论结论：：F F值值> >临界值临界值, , 拒绝参数稳定的原假设拒绝参数稳定的原假设, ,表明中国城镇居民食品人均消费需求在表明中国城镇居民食品人均消费需求在19941994年前后年前后发生了显著变化发生了显著变化 2、、邹氏预测邹氏预测检验检验给定给定 =5%,查表得临界值查表得临界值F0.05(7, 10)=3.18 结论：结论： F值值>临界值，拒绝参数稳定的原假设临界值，拒绝参数稳定的原假设 114* *四、非线性约束四、非线性约束 也可对模型参数施加非线性约束非线性约束,如对模型 施加非线性约束12=1,得到受约束回归模型受约束回归模型: 115 该模型必须采用非线性最小二乘法非线性最小二乘法（nonlinear least squares）进行估计。

非线性约束检验非线性约束检验是建立在最大似然原理最大似然原理基础上的,有最大似然比检验最大似然比检验、沃尔德检验沃尔德检验与拉格朗日乘数拉格朗日乘数检验检验.1161、最大似然比检验、最大似然比检验 (likelihood ratio test, LR) 估计估计: :无约束回归模型与受约束回归模型， 方法方法: :最大似然法， 检验检验: :两个似然函数的值的差异是否“足够”大 记L( ,2)为一似然函数:无约束回归无约束回归 : Max:受约束回归受约束回归 : Max:约束：g( )=0117或求极值： g( ):以各约束条件为元素的列向量,  ’：以相应拉格朗日乘数为元素的行向量 受约束受约束的函数值不会超过的函数值不会超过无约束无约束的函数值的函数值，但如果约束条件为真约束条件为真，则两个函数值就非常“接接近近” 由此，定义似然比似然比（（likelihood ratio））: 118 如果如果比值很小，说明说明两似然函数值差距较大，则应拒绝拒绝约束条件为真的假设； 如果如果比值接近于１，说明说明两似然函数值很接近，应接受接受约束条件为真的假设。

具体检验具体检验时，由于大样本下：h是约束条件的个数因此：通过通过LR统计量的统计量的 2 2分布特性来进行判断分布特性来进行判断 119 在中国城镇居民人均食品消费需求例中国城镇居民人均食品消费需求例中，对零零阶齐次性阶齐次性的检验： LR= -2(38.57-38.73)=0.32 给出=5%、查得临界值临界值 2 20.05(1)(1)＝3.84， LR< 2 20.05(1),不拒绝原约束的假设，， 结论结论: :中国城镇居民对食品的人均消费需求函中国城镇居民对食品的人均消费需求函数满足零阶齐次性条件数满足零阶齐次性条件 120２、沃尔德检验２、沃尔德检验（（Wald test, W）） 沃尔德检验中，只须估计无约束模型如对 在所有古典假设都成立的条件下，容易证明 121因此，在1+2=1的约束条件下: 记可建立沃尔德统计量沃尔德统计量:122 如果有h个约束条件，可得到h个统计量z1,z2,…,zh 约束条件为真时，可建立大样本大样本下的服从自由度为h的渐近 2 分布统计量: 其中，Z为以zi为元素的列向量，C是Z的方差-协方差矩阵。

因此，W从总体上测量了无约束从总体上测量了无约束回归不满足约束条件的程度回归不满足约束条件的程度对对非线性约束非线性约束，沃，沃尔德统计量尔德统计量W的算法描述要复杂得多的算法描述要复杂得多 1233、拉格朗日乘数检验、拉格朗日乘数检验 拉格朗日乘数检验则只需估计受约束受约束模型. 受约束回归是求最大似然法的极值问题: ’是拉格朗日乘数行向量，衡量各约束条件对最大似然函数值的影响程度 124 如果某一约束为真，则该约束条件对最大似然函数值的影响很小，于是，相应的拉格朗日乘数的值应接近于零 因此，拉格朗日乘数检验就是检验某些拉格朗日乘数的值是否“足够大”，如果“足够大”，则拒绝约束条件为真的假设125 拉格朗日统计量LM本身是一个关于拉格朗日乘数的复杂的函数，在各约束条件为真的情况下，服从一自由度恰为约束条件个数的渐近2分布 同样地，如果为线性约束，LM服从一精确的2分布：(*)126n为样本容量，R2为如下被称为辅助回归辅助回归（auxiliary regression）的可决系数: 如果约束是非线性的，辅助回归方程的估计比较复杂，但仍可按（*）式计算LM统计量的值。

最后，一般地有最后，一般地有:LM≤LR≤W127。