《信度理论》PPT课件.ppt

因此，信度理论就是研究这种加权过程因此，信度理论就是研究这种加权过程的理论，包括信度权重公式的推导，以的理论，包括信度权重公式的推导，以及对公式中出现的参数进行估计等内容及对公式中出现的参数进行估计等内容当当Z的值接近的值接近1时，表明实际损失数据提供的信息相当充时，表明实际损失数据提供的信息相当充分，据此足以获得正确的估费而当分，据此足以获得正确的估费而当Z的值接近的值接近0时，则时，则只能基于先验信息估计，得到先验保费的估计值只能基于先验信息估计，得到先验保费的估计值特别的，当特别的，当Z=1时，称为时，称为完全信度（完全信度（Full Credibility）此时，只需根据实际损失数据，利用区间估计的方法计此时，只需根据实际损失数据，利用区间估计的方法计算保险费算保险费一般的，当一般的，当0Z1时，称为时，称为部分信度（部分信度（Partial Credibility）在此种情况下，就需要研究如何合理确在此种情况下，就需要研究如何合理确定定Z值信度理论信度理论（Credibility Theory）萌芽于）萌芽于20世世纪纪20年代，至今已有年代，至今已有80年的历史最早的信度年的历史。

最早的信度理论被意外险精算师应用于计算劳工赔偿保险理论被意外险精算师应用于计算劳工赔偿保险费率信度理论泛指在获得索赔记录时系统地调整保信度理论泛指在获得索赔记录时系统地调整保险费率的各种概念和方法当从一组保险合同险费率的各种概念和方法当从一组保险合同中获得的数据不充分，因而无法提供风险费率中获得的数据不充分，因而无法提供风险费率的可靠估计时，就需要用到信度理论的方法的可靠估计时，就需要用到信度理论的方法信度理论信度理论在非寿险精算理论与实务中具有重要地位在非寿险精算理论与实务中具有重要地位非寿险合同是补偿性合同，非寿险的损失与每个赔案非寿险合同是补偿性合同，非寿险的损失与每个赔案的具体情况以及相应的法规情况密切相关，因而损失的具体情况以及相应的法规情况密切相关，因而损失经验需要经常修正以适应不断变化的外部环境非寿经验需要经常修正以适应不断变化的外部环境非寿险精算师在厘定费率时，既要依据过去的经验（先验险精算师在厘定费率时，既要依据过去的经验（先验信息），也要根据风险情况的新变化加以调整这是信息），也要根据风险情况的新变化加以调整这是由非寿险经营的连续性所决定的同时，在非寿险精由非寿险经营的连续性所决定的。

同时，在非寿险精算中，算中，一般不要求所有的估计都是无偏估计一般不要求所有的估计都是无偏估计，只要求，只要求若干个估计的总合是无偏的，这就是需要采用信度方若干个估计的总合是无偏的，这就是需要采用信度方法对各个估计进行合理的加权法对各个估计进行合理的加权信度理论在精算科学中的应用可分为两种类型信度理论在精算科学中的应用可分为两种类型第一类是横向应用，即在估计某个保险人、某风险类别或某第一类是横向应用，即在估计某个保险人、某风险类别或某个地区的索赔频率、索赔额或总损失时，若最相关的数据不个地区的索赔频率、索赔额或总损失时，若最相关的数据不充分，则可将该数据与从更为广泛的群体中得到的辅助性数充分，则可将该数据与从更为广泛的群体中得到的辅助性数据加以求和，这种辅助性数据可由其它风险类别、地区或其据加以求和，这种辅助性数据可由其它风险类别、地区或其他保险人的经验得到他保险人的经验得到第二类是纵向应用，也就是将信度方法用于时间序列，将序第二类是纵向应用，也就是将信度方法用于时间序列，将序列本身早期的数据作为辅助性数据，与最新的观察值作加权列本身早期的数据作为辅助性数据，与最新的观察值作加权平均，得到我们所需要的估计值。

例如，在汽车损失险中，平均，得到我们所需要的估计值例如，在汽车损失险中，保险公司将上一年度损失频率和原有费率利用信度方法进行保险公司将上一年度损失频率和原有费率利用信度方法进行加权平均，得到更适应新情况的费率加权平均，得到更适应新情况的费率信度理论有两种基本方法：信度理论有两种基本方法： 有限波动（Limited Fluctuation）信度，旨在控制数据中随机波动对估计的影响最大精度（Greatest Accuracy）信度，试图使估计误差尽可能的小在最大精在最大精度信度方法中发展最完善的方法是最小度信度方法中发展最完善的方法是最小平方信度（平方信度（Least Squares Credibility），它力图使估计误差平方），它力图使估计误差平方的期望值最小的期望值最小值得注意的是，在现代统计理论中也有值得注意的是，在现代统计理论中也有许多用数据来调整更新前期估计的方法，许多用数据来调整更新前期估计的方法，如贝叶斯分析（如贝叶斯分析（Bayesian Analysis）方法信度理论和贝叶斯分析一样，也方法信度理论和贝叶斯分析一样，也同样用于修正先验信息，因此，信度尤同样用于修正先验信息，因此，信度尤其是其是最小平方信度有时也称为贝叶斯信最小平方信度有时也称为贝叶斯信度度。

7.2 平衡平衡 模型模型 组间平方和（记为组间平方和（记为SSB ）问题：问题：问题：问题：方法：方差分析（方法：方差分析（方法：方差分析（方法：方差分析（ANOVAANOVA）组内平方和（记为组内平方和（记为SSW ）检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量 例例例例7.2.1 7.2.1 （一一一一个个个个非非非非齐齐齐齐次次次次保保保保单单单单组组组组合合合合）设设设设我我我我们们们们有有有有如如如如下下下下的的的的对对对对3 3 个个个个组组组组5 5 年年年年的的的的观测数据：观测数据：观测数据：观测数据：结论是这些数据表明每组的平均理赔不全相等结论是这些数据表明每组的平均理赔不全相等结论是这些数据表明每组的平均理赔不全相等结论是这些数据表明每组的平均理赔不全相等模型改进：把理赔统计量作如下分解模型改进：把理赔统计量作如下分解其其 中中 和，是两个独立的随机变量，满足和，是两个独立的随机变量，满足我们称这样的模型我们称这样的模型我们称这样的模型我们称这样的模型为为为为方差分量模型方差分量模型方差分量模型方差分量模型 模型中每个分量的解释如下：模型中每个分量的解释如下： 1 是总平均，它等于该保单组合中任何一个保单是总平均，它等于该保单组合中任何一个保单持有人的理赔额的期望值持有人的理赔额的期望值2. 表示第表示第 j 个合同个合同 j 的理赔与第的理赔与第 个合同理赔均个合同理赔均值之间的随机偏差值之间的随机偏差 .3. 分量分量 ,表示理赔偏离长期平均值的大小表示理赔偏离长期平均值的大小 定理定理7 . 2 . 2 （平衡（平衡 模型；齐次估计量）设模型；齐次估计量）设合同合同J 在时间段在时间段t 的理赔额的理赔额 可以表示为如下的独立可以表示为如下的独立随机分量之和：随机分量之和： 的最佳无偏预报量等于信度保费的最佳无偏预报量等于信度保费其中其中是最优信度因子是最优信度因子 是是 m 的整体估计，且的整体估计，且是是是是 mm 的组内估计值。

的组内估计值的组内估计值的组内估计值这个关于z的二次多项式当在z取如下值时达最小：上面最后一个等号可以通过检验或补充如下一些必上面最后一个等号可以通过检验或补充如下一些必要的协方差的形式来证明要的协方差的形式来证明 注（最优信度因子的渐近性）注（最优信度因子的渐近性）注（最优信度因子的渐近性）注（最优信度因子的渐近性） 其中其中其中其中 这个均方误差可以改写成如下方差加上平方偏差这个均方误差可以改写成如下方差加上平方偏差之和：之和：估计量必然是估计量必然是无偏的无偏的 右边的第一项可以被改写为右边的第一项可以被改写为它有一个最优值它有一个最优值例例例例7 . 2 . 5 7 . 2 . 5 （例中的信度估计）（例中的信度估计）（例中的信度估计）（例中的信度估计） EEMSBMSB =aT+s=aT+s22EEMSWMSW =s=s22例最终的信度因子例最终的信度因子例最终的信度因子例最终的信度因子 注注7 . 2 . 6 （估计风险保费）（估计风险保费） 对每一个随机变量对每一个随机变量Y ，我们有，我们有7 . 3 更一般的信度模型更一般的信度模型注注注注7.3.3 7.3.3 （通通通通过过过过一一一一些些些些风风风风险险险险参参参参数数数数来来来来参参参参数数数数化化化化）方方方方差差差差分分分分量量量量模模模模型型型型, ,即即即即使使使使在在在在放放放放松松松松了了了了一一一一些些些些独独独独立立立立性性性性假假假假设设设设后后后后在在在在实实实实际际际际应应应应用用用用中中中中有有有有时时时时仍仍仍仍显显显显过过过过于苛刻于苛刻于苛刻于苛刻 这是一个交叉分类模型这是一个交叉分类模型 7 . 4 模型模型( ( 模型）模型）模型）模型）我们需要用到下面一些记号我们需要用到下面一些记号: 这些最优值给出了风险保费这些最优值给出了风险保费 的最小均方误的最小均方误差估计量如下差估计量如下 该最优值是 和和 的估计量分别基于下面的组间加权平方和的估计量分别基于下面的组间加权平方和 以及组内加权平方和以及组内加权平方和下面的定理要推导出一些无偏估计量，它们不依下面的定理要推导出一些无偏估计量，它们不依赖于通常未知的这些参数赖于通常未知的这些参数 定理定理7.4.2 （无偏参数估计）在（无偏参数估计）在 模型模型中中,统计量统计量是对应的结构参数的无偏估计量是对应的结构参数的无偏估计量证明证明: 的证明是显然的的证明是显然的 对于对于 我们有我们有注（估计量的负性）注（估计量的负性） 7.5 关于汽车保险理赔次数的负二项模型可以证明,在伽玛 - 泊松模型中，和的极大似然估计 和为且 是如下方程的解：利用本节的模型，我们想尽可能准确地预测一个保单持有人在接下来的时间段 产生的理赔次数 接下来一年理赔次数的最佳预报量是 的后验期望：预报（）是信度预报的一个特殊形式该信度预报正比于先验保费和保单平均值的一个线性组合，这是因为（见（7.10) ) : 如果我们按照平均值原理把整个保单组合必须的保费分割开来，那么由于下面的一些原因，我们得到了一个基于信度的经验费率系统 。