高一数学1.1.1算法的概念学案新人教A版必修3通用.doc

第一章 算法初步1.1.1 算法的概念一、理解算法的概念例1　下列关于算法的说法，正确的个数有(　　)①求解某一类问题的算法是惟一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4答案　C分析　题目所给的四种说法是针对算法的含义和特点的．解答本题只要弄清楚算法的含义和特点，就可做出正确判断．解析　由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定惟一，从而①错．点评　算法在中学课程中是一个新概念，算法实际上就是解决问题的一种程序化方法，它通常指向某一个或一类问题，而解决的过程是程序性和构造性的，正确理解算法的概念及特点是解决此类问题的关键．变式迁移1　下列各式中S值不可以用算法求解的是(　　)A．S＝1＋2＋3＋4B．S＝12＋22＋32＋…＋1002C．S＝1＋＋…＋D．S＝1＋2＋3＋4＋…答案　D解析　D不符合算法的有限性．二、累加、累乘问题的算法设计例2　写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．分析　可以按逐项相加的程序进行，也可以利用公式1＋2＋3＋…＋n＝进行，还可以根据加法运算律简化运算过程．解　方法一　第一步，计算1＋2得到3.第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6.第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10.第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15.第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21.第六步，输出运算结果．方法二第一步，取n＝6.第二步，计算.第三步，输出运算结果．方法三第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7.第二步，计算3×7.第三步，输出运算结果．点评　方法一是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1＋2＋3＋…＋10 000，再用这种方法是不可取的；方法二与方法三都是比较简单的算法，但比较而言，方法二最为简单，且易于在计算机上执行操作．因此，当我们考虑算法设计时，要刻意去发展有条理的表达能力，提高逻辑思维能力，从而简单地解决问题．变式迁移2　写出求1×2×3×…×9×10的值的算法．解　第一步：先求1×2，得到结果2；第二步：将第一步所得结果2再乘以3，得到结果6；第三步：将6再乘以4，得到24；第四步：将24再乘以5，得到120；……第九步：将362 880再乘以10，得到3 628 800，即是最后结果．三、解方程(组)的算法设计例3　写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．分析　本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，下面利用配方法、因式分解法、公式法写出这个问题的三个算法．解　方法一　第一步：将方程左边因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0；①第二步：由①得x－3＝0，②或x＋1＝0；③第三步：解②得x＝3，解③得x＝－1.方法二　第一步：移项，得x2－2x＝3；①第二步：①两边同加1并配方，得(x－1)2＝4；②第三步：②式两边开方，得x－1＝±2；③第四步：解③得x＝3或x＝－1.方法三　第一步：计算方程的判别式判断其符号Δ＝22＋4×3＝16>0；第二步：将a＝1，b＝－2，c＝－3，代入求根公式，得x＝，得x1＝3，x2＝－1.点评　比较三种方法，方法三更简单，步骤最少，由此我们只要有公式可以利用，利用公式解决问题是最理想、合算的算法．因此，在寻求算法的过程中，首先是利用公式．变式迁移3　写出求解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根的算法．解　第一步：计算Δ＝b2－4ac.第二步：若Δ<0.第三步：输出方程无实根．第四步：若Δ≥0.第五步：计算并输出方程根x1,2＝.课堂小结1．算法可概括出以下几个特征(1)概括性：写出的算法必须能解决一类问题，并能重复使用．(2)逻辑性：即顺序性和正确性．算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能执行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．(3)有穷性：算法的步骤序列是有限的，一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成．(4)不唯一性：求解某个问题的算法不是唯一的，对一个问题可以有不同的算法．2．算法设计要求(1)写出的算法必须能解决一类问题(如课本中判断任意一个整数n是否为质数)，并且能重复使用．(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．(3)算法过程要能一步一步执行，每一步都准确无误，且在有限步后能得出结果．一、选择题1．下列关于算法的说法中，正确的是(　　)A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以不产生确定的结果C．解决某类问题的算法不是唯一的D．算法可以无限地操作下去不停止答案　C解析　由算法的特点可知A、B、D都不正确．2．下列语句表达中是算法的有(　　)①从青岛到美国可以先乘火车到北京再坐飞机抵达；②利用公式S＝ah计算底为1，高为2的三角形的面积；③x>2x＋4；④求M(1,2)与(3，－5)两点连线的方程可先求MN的斜率再利用点斜式方程求得．A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个答案　C解析　由算法的定义和特点知①②④都是算法．3．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是(　　)①S＝＋＋＋…＋②S＝＋＋＋…＋＋…③S＝＋＋＋…＋ (n≥1且n∈N)A．①② B．①③ C．②③ D．①②③答案　B解析　由算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解．4．早上起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤，下列选项中最好的一种算法是(　　)A．第一步：洗脸刷牙；第二步：刷水壶；第三步：烧水；第四步：泡面；第五步：吃饭；第六步：听广播B．第一步：刷水壶；第二步：烧水同时洗脸刷牙；第三步：泡面；第四步：吃饭同时听广播C．第一步：刷水壶；第二步：烧水同时洗脸刷牙；第三步：泡面；第四步：吃饭；第五步：听广播D．第一步：吃饭同时听广播，第二步：泡面；第三步：烧水同时洗脸刷牙；第四步：刷水壶答案　B解析　A、B、C都是算法，由算法的最优化知，B最省时，有效．5．对于算法：第一步，输入n.第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则执行第一步．第四步，输出n.满足条件的n是(　　)A．质数 B．奇数C．偶数 D．约数答案　A解析　此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n－1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．二、填空题6．写出作出y＝|x|图象的算法．第一步，当x>0时，作出第一象限的角平分线．第二步，当x＝0时，即为原点．第三步，________________________________________________________________________.答案　当x<0时，作出第二象限的角平分线7．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.以下是求他的总分和平均成绩的一个算法：(在横线上填入算法中缺的两个步骤)第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.第二步，__________________________.第三步，__________________________.第四步，输出计算的结果．答案　计算总分D＝A＋B＋C　计算平均成绩E＝8．下面给出了一个问题的算法：第一步，输入a.第二步，若a≥4，则执行第三步，否则执行第四步．第三步，输出2a－1.第四步，输出a2－2a＋3.问题：(1)这个算法解决的问题是________________________________________________________________________．(2)当输入的a值为________时，输出的数值最小．答案　(1)求分段函数f(a)＝的函数值问题　(2)1三、解答题9．写出求圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程的算法．解　第一步，求出圆心(1,1)到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝.第二步，由直线与圆的位置关系得出圆的半径r＝.第三步，写出圆的方程(x－1)2＋(y－1)2＝2.10．写出求过点P1(1,1)、P2(m,0)的直线斜率的算法．解　算法步骤如下：第一步，输入m；第二步，若m＝1，则执行第三步，　 若m≠1，则执行第四步；第三步，输出“直线斜率不存在”；第四步，输出.。