人教版九年级数学上册第二十五章著名的赌资分配问题.pdf

数学视野著名的赌资分配问题A、B 二人赌博，各出赌资元，每局个人获胜概率都是，约定：谁先胜S局，即赢得全部赌资元，现进行到 A 胜局、B 胜局(与都小于 S)时赌博因故停止，问此时赌资应如何分配给A 和 B 才算公平？此问题文字上最早见于 1494 年帕西奥利的一本著作，是对，和的情况 . 由于对“公平分配” 一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确. 例如，帕西奥利本人提出按：的比例分配 . 塔泰格利亚则在1556 年怀疑找到一种数学解法的可能性， 他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法： 若，则A 取 回 自 己 下 的 注, 并 取 走B 下 注 金 额 的， 这 等 于 按的比例瓜分赌资 . 法雷斯泰尼在1603 年根据某种理由， 提出按的比例分配 . 卡丹诺在其 1539年的著作中， 通过较深的推理提出了一种解法：记，. 把赌资按之比分给 A和 B.他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是与 S的差距，而不在其本身 . 这个问题的症结在于： 他关乎各人在当时状况下的期望值. 从以上这些五花八门的解法， 似乎可以认为， 这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系 . 而此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率. 循着这个想法问题很易解决：至多再赌局，即能分出胜负 . 若 A获 胜 ， 他在 这r局 中 至少 需 胜局 . 因 此 按 二 项 分布 ， A 取胜 的 概 率为( 此公式不要求掌握，只需要了解有这样一种方法即可) ，而 B取胜的概率为. 赌资按之比分配给 A和 B， 因和是 A、B 在当时状态下的期望值 . 这个解是巴斯噶（ B. Pascal, 16231662）在 1654年提出的 . 他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角） .1710 年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同. 后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形. 分赌本问题在概率史上起的作用， 在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示. 有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具. 如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等. 可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段. 。