《专题06 函数单调性与奇偶性》重难点突破与专题训练.docx

《专题06函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）》重难点突破一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2、函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得（3）对于任意的，都有；（4）存在，使得结论为最大值为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.3、函数单调性的常用结论（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）一些重要函数的单调性：①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．4、函数的奇偶性（1）．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．（2）．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括，则．（4）若函数是偶函数，则．（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数为偶函数，函数为奇函数．②函数（且）为奇函数．③函数（且）为奇函数．④函数（且）为奇函数．5、函数的周期性1．周期函数对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.3．函数周期性的常用结论设函数，.①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；③若，则函数的周期为；④若，则函数的周期为；⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为；⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为6．奇偶函数图象的对称性①若是偶函数，则的图象关于直线对称；②若是偶函数，则的图象关于点中心对称；三、重难点题型突破重难点1判断或证明函数的单调性1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。

2．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．（4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．例1．（1）函数的减区间是（）A． B．C．， D．（2）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（）A． B．C． D．（3）．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．；B．；C．；D．【变式训练1】定义在上的函数满足：对任意的，（），有，则（）A．B．C．D．【变式训练2】已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有．（1）求的值；（2）解不等式.重难点2 判断或证明函数的奇偶性1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；2.判断函数奇偶性的常用方法及思路：（1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.例2.（1）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数　　B．是奇函数 C．是奇函数D．是奇函数（2）下列判断正确的是A．函数是奇函数 B．函数是非奇非偶函数C．函数是偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数（3）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则( )A． B．C． D．【变式训练1】定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证：f (x)为奇函数；【变式训练2】设函数为奇函数，则___________。

重难点3利用函数的单调性或奇偶性求函数解析式或参数例3 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求f（0）及f（f（1））的值；（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；【变式训练1】已知f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣2x2+3x+1．（1）求f（0）的值；（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；（3）求f（x）在R上的解析式．重难点4单调性与奇偶性的综合应用例4.（1）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．（2）．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，【变式训练1】已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围是．例6.已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围变式训练1】已知定义域为的函数是奇函数Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；例7．已知定义在上的函数满足：①对任意，，；②当时，，且．（1）试判断函数的奇偶性．（2）判断函数在上的单调性．（3）求函数在区间上的最大值．（4）求不等式的解集．课堂定时训练（45分钟）1．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)A．有最小值 B．有最大值C．是减函数 D．是增函数2．函数f(x)＝－的值域为________．3．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2 018)＋f(2 019)＝(　　)A．－2 B．－1C．0 D．14．已知奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝1，则满足|f(x－1)|≤1的x的取值范围是(　　)A．[－1，1] B．[0，2]C．[1，2] D．[1，3]5．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（）A． B．C． D．6．已知函数（其中p，q为常数）满足，则的值为（）A．10 B． C． D．7．（多选题）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则( )A． B．C． D．8．（多选题）如图所示是函数的图象,图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是()A．函数的定义域为B．函数的值域为C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的,都有唯一的自变量与之对应9．函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当时，y的取值范围是______；②如果对任意 (b <0)，都有，那么b的最大值是______．10．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，，则______；不等式的解集为______.11．函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.12．设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围．13．函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）设，，求函数的值域；（2）当时，若，求实数的值.《专题06函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）》重难点突破答案解析一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2、函数的最值前提设函数的定义。