第1讲一次函数图像及性质学生版.doc

第一讲函数、一次函数的图像及性质知识点睛一、函数与变量常量与变量的概念：我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、密切相关．在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有惟一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积与圆的半径存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，随着的变化而变化，是自变量，是因变量； u “有唯一值与对应”是指在自变量的取值范围内，每取一个确定值，都唯一的值与之相对应，否则不是的函数． u 判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．取不同的值，的取值可以相同． 例如:函数中，时，；时，．u 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．数学上表示函数关系的方法通常有三种：⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．⑵列表法：通过列表表示函数的方法．⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．关于函数的关系式(即解析式)的理解：l 函数关系式是等式． 例如就是一个函数关系式．l 函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数． 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如：是自变量，是的函数．l 函数关系式在书写时有顺序性． 例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数． l 求与的函数关系时，必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如中，自变量受到开平方运算的限制，有即；当汽车行进的速度为每小时公里时，它行进的路程与时间的关系式为；这里的实际意义影响的取值范围应该为非负数，即．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．⑵分母中含有自变量：分母不为．⑶实际问题：符合实际意义．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．描点法画函数图象的步骤：⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．函数解析式与函数图象的关系：⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．二、一次函数及其性质l 知识点一 一次函数的定义 一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当，时，仍是一次函数．⑶当，时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．l 知识点二 一次函数的图象及其画法 ⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可． ①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点． ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．l 知识点三 一次函数的性质 ⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大； ⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．l 知识点四 一次函数的图象、性质与、的符号⑴一次函数，符号图象性质随的增大而增大随的增大而减小⑵一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．l 知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式 ⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．．重、难点重难点：1. 能在具体的实例中分清常量、变量2. 结合函数的三种表达形式学会并掌握求函数值及自变量取值范围方法3. 通过对实际问题中的数量之间的相互依存关系的探索， 4. 对函数概念的理解及对函数模型思想的应用．5. 一次函数的图像及其性质.6. 学会利用函数图象解决简单的实际问题，发展数学应用能力，建立良好的知识联系 例题精讲一、函数图像板块一、函数及其自变量取值范围【例1】 通过阅读理解函数和变量的概念，判断下列变量是否是的函数：⑴表示小猪，表示猪妈妈（亲生妈妈，不包括养母）；⑵表示“喜羊羊”，表示“喜羊羊”的好朋友．【例2】 分别指出下列关系式中的变量与常量：球的表面积与球半径的关系式是；设圆柱的底面半径不变，圆柱的体积与圆柱的高的关系式是。

例3】 判断下列式子中是否是的函数．⑴ ⑵ ⑶ ⑷【巩固】 判断下列式子中是否是的函数．⑴ ⑵ ⑶ ⑷x0Dx0Ax0COBx【例4】 ⑴（08 四川广安）下列图形中的曲线不表示是的函数的是（ ）. 【例5】 求下列函数自变量的取值范围（ ）（1） （2）【例6】 等腰周长为，底边长为，腰长为1）写出关于的函数关系式；（2）求的取值范围；（3）求的取值范围例7】 求下列函数中自变量的取值范围：⑴ ⑵ ⑶⑷ ⑸ ⑹二、实际问题中函数及其图象【例8】 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时(洗衣机内无水)，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量(升)与时间(分钟)之间满足某种函数关系，其函数图象大致为( ) A B C D【巩固】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为，瓶中水面的高度为，下面能大致表示上面故事情节的图象是( )A B C D【巩固】边长为和的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），则与的大致图象为( )A B C D【例9】 （09浙江）如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为，蚂蚁到点的距离为，则关于的函数图象大致为（ ）BAOA．B．C．D．StStStStOOOO【例10】 写出等腰三角形中一底角的度数与顶角的度数之间的函数关系．【例11】 等腰三角形的周长为，写出它的底边长与腰长之间的函数关系，并写出自变量的取值范围？板块二、一次函数图象及其性质1.二次函数图象的几何变换【例12】 在坐标系中画出下列函数的图象.⑴；；；⑵；；【例13】 ⑴一次函数的图象可以看成由正比例函数的图象向 (填“上”和“下”)平移 个单位得到的．⑵直线可以由直线向 平移 个单位得到的．⑶(06年青海省中考题)直线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是 .2.一次函数的图象性质【例14】 一次函数的图像是 ；当，时，直线过 象限；当，时，直线过 象限；当，时，直线过 象限；当，时，直线过 象限.的图像与轴、轴的交点分别为 、 ；其中 、 分别叫做该一次函数在轴、轴上的截距.【例15】 ⑴如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么( )A．， B．， C．， D．，⑵已知一次函数的图象经过(，)和(，)两点，且,，则( )A． B．， C．， D．⑶已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过( )A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限⑷如图，一次函数的图象大致是( )A B C ⑸若，，则经过( )A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限【例16】 若一次函数的图象经过第一、第二、三象限，求的值．【例17】 (2006安徽)一次函数的图象过点，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式 ．【例18】 已知点都在直线上，则大小关系是（ ）A． B. C． D．不能比较【例19】 ⑴(07年福建福州中考题)已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是 .⑵（05年湖北襄樊市中考题)若一次函数的图像不过第一象限，则的取值范围是___________.⑶ 若，，则经过( )A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限【例20】 (03青州市中考试题)下列图形中，表示一次函数与正比例函数（、为常数且)的图像是下图中的( ) A B C D【巩固】(05年山东滨州中考试题)如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是 . 月测备选【备选1】 写出下列各问题中的。