空间曲线的方程.doc

§2.3 空间曲线的方程 一 、空间曲线的一般方程 1 .定义2.3.1 设L为空间曲线,为一三元方程组,空间中建立了坐标系之后,若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线L上,则称为曲线L的一般方程,又称普通方程,记作L: (图2.8) 注: 1°在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组; 2°用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面的交线（如图2.8）; 3°空间曲线的方程不唯一(但它们同解),如 与 均表示z轴 2 .用曲线的射影柱面的方程来表达曲线 以曲线L为准线,母线平行于坐标轴的柱面称为L的射影柱面,若记L的三射影柱面的方程为 (x,y)=0, (y,z)=0, (z,x)=0,则 ,,便是L的用射影柱面表达的方程 若已知曲线L:,只需从L的方程中,分别消去x,y,z便三射影柱面的方程(y,z)=0, (z,x)=0, (x,y)=0例:设有曲线L: ,试求L的射影柱面,并用射影柱面方程表达曲线.解:从L的方程中分别消去x,y,z得到z²-4y=4z,x²+z²=4z,x²+4z=0它们即为L的射影柱面,而 (1), (2), (3)便均是L的用射影柱面表达的方程 注:利用方程(2)即可作出L的草图二 、空间曲线的参数方程: 1.定义2.3.2 设L为一空间曲线，r=r(t),t∈A为一元向函数,在空间坐标系下，若对P∈L， t∈A，使 =r（t），而且对t∈A，必有P∈L，使r（t）= ，则称r=r（t）， t∈A为曲线L的向量式参数方程，记作L=r=r（t），t∈A，t ——参数 若点r（t）={x（t），y（t），z（t）} 则称 t∈A 为L的坐标式参数方程 注：空间曲线的参数方程中，仅有一个参数，而曲面的参数方程中，有两个参数，所以习惯上，称曲线是单参数的，而曲面是双参数的。

2.求法： 例：一质点，在半径=a的圆柱面上，一方面绕圆柱面的轴作匀速转动，一方面沿圆柱面的母线方向作匀速直线运动，求质点的运动轨迹 解：以圆柱面的轴作为z轴，建立直角坐标系{O；i，j，k}，如图，不妨设质点的起始点在x轴上，质点的角速率与线速率分别为ω质点的轨迹为L，则对∈L，在xy面上的投影为′， (图2.9)r= = + =acos i+asin j+k 若令，=b，则 r=acos i+asin j+b k ————L的向量式参数方程 而 ————L的坐标式参数方程，L称为圆柱螺线。