鱼群捕捞问题数学建模.doc

问题一问题一 鱼群捕捞问题鱼群捕捞问题一、问题的提出一、问题的提出大量的海洋生物（例如鱼、虾等）为人类所消费如果捕捞率大于自然增长率，则海洋生物群将减少，甚至可能导致某种群的灭绝许多国际机构极为关心这类问题，他们想知道能否捕捞某种特定的种群，如果允许捕捞应有什么样的限制试建立一个数学模型，它将有助于这些机构作出敏感性的决定假设某种鱼（海洋生物中的一个种群）分 4 个年龄组，称 1 龄鱼，……，4 龄鱼各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07，11.55，17086，22.99（克） ，各年龄组鱼的自然死亡率为 0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条 4 龄鱼的产卵量为1.109×105（个） ，3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2 龄鱼和 1 龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后 4 个月，卵孵化并成活为 1 龄鱼，成活率为 1 龄鱼条数与产卵量之比渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的 8 个月内进行捕捞作业如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度常使用一种只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为 0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高2、、问题的假设与分析问题的假设与分析1. 问题假设（1）鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的2）查阅有关鳀鱼的资料发现，鳀鱼一般在每年 8 月开始产卵，从而可以假设鱼群每年在 8 月底瞬间产卵完毕，卵在 12 月底全部孵化完毕3）龄鱼到来年分别长一岁成为 i + 1 龄鱼，i = 1，2，34）4 龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡5）连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为 1 年，可以只考虑- 1 -鱼群数量在 1 年内的变化情况2. 问题分析（1）符号说明xi（t）：在 t 时刻 i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n：每年的产卵量；k：4 龄鱼捕捞强度系数；2ai0：每年初 i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；（2）对死亡率的理解题中给出鱼的自然死亡率为 0.8（/年） ，它指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设知，它是一个与环境等其它因素无关的常数；另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且 1，2 龄鱼在全年及 3，4 龄鱼在后 4 个月的数量只与死亡率有关。

由此可知，各龄鱼的变化满足：= -0.8x（t） ，i = 1，2，3，4dttdxi)(（3）对捕捞强度系数的理解单位时间 4 龄鱼捕捞量与 4 龄鱼群总数成正比，比例系数即是捕捞强度系数 k，它是一定的，且只在捕捞期内（即每年的前 8 个月）捕捞 3，4 龄鱼所以，一方面捕捞强度系数 k 决定了 3，4 龄鱼在捕捞期内的数量变化规律为：= -（0.8+0.42k）x（t）dttdx)(3= -（0.8+k）x（t）dttdx)(4另一方面决定了 t 时刻捕捞的 3，4 龄鱼的数量为：0.42kx3（t）和 kx4（t） 4）对成活率的理解只有 3，4 龄鱼在每年的 8 月一次产卵，因此可将每年的产卵量 n 表示为： )32()32(5 . 010109. 1435xxn题目中已经说明了成活率为：，所以每年初 1 龄鱼的数量为：n11111022. 11022. 1x1（0）= n ×n11111022. 11022. 1- 2 -3、、模型的建立模型的建立可持续捕捞要求每年初渔场中各年龄组鱼群条数都一样，既要求 x1（0）= x0（1） ，x2（0）= x1（1） ，x3（0）= x2（1） ，x4（0）= x3（1） 。

在这种平衡状态下，捕捞强度就影响年收获量要得到最高年收获量，考虑到前面的方程，可以得到以下的优化模型：max（total（k） ）=17.863/203/2043)(99.22)(42. 0dttkxdttkxt∈[0，1]，x1（0）= n ×)(8 . 0)( 11txdttdxn11111022. 11022. 1t∈[0，1]，x2（0）= x1（1）)(8 . 0)( 22txdttdxt∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1）)()42. 08 . 0()(33txkdttdxs.t. t∈[2/3，1]，x3（-）= x3（+）)(8 . 0)(33txdttdx32 32t∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）)()8 . 0()( 44txkdttdxt∈[2/3，1]，x4（-）= x4（+）)(8 . 0)( 44txdttdx32 32)]32()32(5 . 0[10109. 1435xxn4、、模型的求解模型的求解Module[{x1，x2，x31，x32，x41，x42，t，a10，a20，a30，a31，a40，a41，nn，k，t3，t4，total，tdd，aa}，x1[t_ ] =x1[t] / . DSolve[{x1′[t]= = - 0.8x1[t]，x1[0]= =a10}，x1[t]，t，][[1]]；a20=x1[1]；x2[t_ ] =x2[t] / . DSolve[{x2′[t]= = - 0.8x2[t]，x2[0]= =a20}，x2[t]，t，][[1]]；a30=x2[1]；aa= DSolve[{x31′[t]= = -（0.8+0.42k）x31[t]，x31[0]= =a30}，x31[t]，t，]；x31[t_ ] =x31[t]/aa[[1]]；- 3 -a31=x31[2/3]；x32[t_ ] =x32[t] / . DSolve[{x32′[t]= = -0.8x32[t]，x32[2/3]= =a31}，x32[t]，t，][[1]]；a40=x32[1]；x41[t_ ]=x41[t] /.DSolve[{x41′[t]= =-(0.8+k)x41[t],x41[0]= =a40},x41[t]，t,][[1]]；a41=x41[2/3]；x42[t_ ]=x42[t] /.DSolve[{x42′[t]= =-0.8x42[t]，x42[2/3]= =a41}，x42[t]，t,][[1]]；nn=1.109*10^5*（0.5a31+a41） ；a10=a10 / . Solve[nn*1.22*10^11/(1.22*10^11+nn))= =a10，a10]，[[2]]；t3=Integrate[0.42*k*x31[t]，{t，0，2/3}]；t4=Integrate[k*x41[t]，{t，0，2/3}]；total[k_ ]：= 17.86*t3+22.99*t4；Plot[total[k]，{k，0，35}]；ans=FindMinimum[-total[k]，{k，17}]；k=k / . ans[[2]]；Print[″k=″，N[k，16]，″，total=″，N[-ans[[1]]，16]]；Print[N[a10，16]]；Print[N[a20，16]]；Print[N[a30，16]]；Print[N[a40，16]]；]5、、结果分析结果分析用 Mathematica 软件编程解微分方程组，先求得一元函数 total（k）的表达式，画出total（k）函数的图形。

然后求出：k=17.3629 时，最高年收获量为total=3.887075517793442×1011（克） ，此时每年年初 1，2，3，4 年龄组鱼的数量分别为：1.19599376181805×10115.373946380883635×10102.414669760543935×1010- 4 -8.39551912331377×107参考文献参考文献1、徐全智等 数学建模入门 四川 电子科技大学出版社 1996 年2、寿纪麟 数学建模——方法与范例 西安 西安交通大学出版社 1993 年3、李本亭 鯷鱼 《海洋世界》 1997 年第 1 期 问题二问题二 生产计划生产计划一、问题的提出一、问题的提出已知某工厂计划生产 I 、II、III 三种产品，各产品需要在 A、B、C 设备上加工，有关数据如下：I IIIII设备有效台数（每月）A8210300B1058400C21310420单位产品利润（千元）322.9试回答：(1) 如何发挥生产能力，使生产盈利最大？(2) 若为了增加产量，可租用别的工厂设备 B，每月可租用 60 台时，租金 1.8万元，租用 B 设备是否划算？(3) 若另有二种新产品 IV、V，其中新产品 IV 需要设备 A 为 12 台时、B 为5 台时、C 为 10 台时，单位产品盈利 2.1 千元；新产品 V 需要 A 为 4 台时、B 为 4 台- 5 -时、C 为 12 台时，单位产品盈利 1.87 千元，如果 A、B、C 的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否划算？(4) 对产品工艺重新进行设计，改进结构。

改进后生产每件产品 I 需要设备 A为 9 台时、设备 B 为 12 台时、设备 C 为 4 台时，单位盈利 4.5 千元，这时对原计划有何影响？2、、问题的分析问题的分析对问题进行分析，该问题属于线性规划问题中的整数规划问题，需要根据线性规划的思想，根据题意建立线性规划问题根据线性规划的思想，建立线性规划模型，要根据已知条件建立出目标函数，意义对目标函数所影响的约束条件对于该问题，首先要确定决策变量，要求如何生产三种产品使得利润最大其次，根据约束条件，利用工具求解最后，确定问题的目标函数，由题意知安排最好的生产方式使得总的盈利最大3、、基本假设基本假设(1) 在已知条件下该问题存在可行解2) 生产产品是设备部损坏4、、定义符号的说明定义符号的说明每月生产产品 I 的台数1x每月生产产品 II 的台数2x每月生产产品 III 的台数3x每月生产产品 IV 的台数4x每月生产产品 V 的台数5xz 每月最大的总盈利5、、模型的分析、建立以及结果分析模型的分析、建立以及结果分析5.1 模型的分析模型的分析- 6 -对问题进行分析，该问题属于规划问题中的整数规划问题！建立线性规划模型有三个基本步骤：第一步，找出待定的未知变量（决策变量） ，并用代数符号来表示它们；第二步，找出问题的所有限制或约束条件，写出未知变量的线性方程或线性不等式；第三步，找到模型的目标，写成决策变量的线性函数，以便求其最大或最小值。

5.2 模型的建立以及结果分析模型的建立以及结果分析该问题完整的线性规划模型如下：(1)目标函数 max z = 3 + 2 + 2.91x2x3x约束条件为8 + 2 + 10 3001x2x3x10 + 5 + 8 4001x2x3xS.t 2 + 13 + 10 4201x2x3x0, i = 1,2,3;ix以下是 lingo 中下的代码：model:max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3; 8*X1 + 2*X2 + 10*X3 <= 300;10*X1 + 5*X2 + 8*X3 <= 400;2*X1 + 13*X2 + 10*X3 <= 420;@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);End以下是程序的运行结果：- 7 -结果分析： 由以上可知每月生产 I 产品 24 台，II 产品 24 台，III 产品 5 台，可使生产盈利最大， 最大利润为 134.5 千元(2)I IIIII设备有效台数（每月）A8210300B1058460C21310420单位产品利润（千元）。