第十五讲(点估计).doc

教 案章节§5.1、§5.2课题点估计目的要求1、 理解参数点估计的概念，掌握矩估计法和最大似然估计法2、 掌握无偏性、有效性及一致性等估计量优劣的评价标准，了解样本均值与样本方差作为总体均值与总体方差估计量的无偏性和一致性重点难点【重点】矩估计和极大似然估计【难点】利用极大似然估计的定义来判定极大似然估计量及估计量优良性的评判教学方法课堂面授主要参考资料《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤 谢式千 潘承毅编 高等教育出版社备课时间： 年 月 日 第 15次课 3 学时 教学过程教学过程教学过程§6.1参数的点估计设总体服从某已知分布，如，，等，但是其中的一个或多个参数为未知，怎样根据抽取的样本估计未知参数的值，就是参数的点估计问题定义 设总体的分布中含有未知参数，从总体中抽取样本，构造某个统计量作为参数的估计，则称为参数的点估计量；若样本的观测值为，则称为参数的点估计值例如，人的身高，一个样本为,则为个人的平均身高，近似认为总体均值为，即用来估计，这里不是真值，而是估计值。

若总体的分布中含有m（m>1)个未知参数，则需构造m个统计量作为相应m个未知参数的点估计量下面介绍两种常用的求未知参数点估计量的方法1.矩估计法（1）总体阶原点矩，样本阶原点矩 ，；（2）总体阶中心矩，样本阶中心矩，用相应的样本矩来估计总体矩，如，等同样由于，故有例1 设，，，一个样本为则， 或例2 设，，一个样本为，则例3 设， ，一个样本为，则若，则有由于参数可以由其总体的各阶原点矩表示出来，即此时，用样本原点矩来估计总体原点矩代入上面的函数中就可以得到参数的估计，即因此，求的矩估计的关键就在于找出关系例4 设，一个样本为，求参数的矩估计解 因为故则2. 最大似然估计法设总体的一个样本为（），由样本的独立性可得其中为总体的分布密度函数，为未知参数设是的点估计量，则取样本值的概率应最大，于是我们选取使得最可能出现，步骤如下：（1）令（2）（3）（4）求出最大值点，则例5 设， ，一个样本为，其观测值为，求的最大似然估计解（1）令（2）（3）（4）令，则故§6.2 判别估计量好坏的标准上一节我们学习了两种参数点估计的方法,它们是矩估计法和最大似然估计法对于同一个未知参数,用不同的估计法得到的点估计量一般是不相同的,那么哪一个估计量更好呢?为此我们需要建立判别估计量好坏的标准,而参数的所谓“最佳估计量”应当是在某种意义下最接近于。

最佳估计量应具有下列性质：（1） 无偏性若的数学期望E（）=，则称是参数的无偏估计量设样本观测值为，则称为参数的无偏估计值例6 设总体的均值，方差，证明样本均值是总体均值的无偏估计量证 因为样本相互独立，且与总体服从相同分布，所以有 由于所以样本均值是总体均值的无偏估计量2）有效性设=与=都是参数的无偏估计量，若<则称较有效有效估计量：当样本容量一定时，若的所有无偏估计量中，的方差最小，则称是参数的有效估计量例7 证明样本均值作为总体均值的估计量较个别样本()有效证 由例1知，与都是总体均值的无偏估计量，即又=,而,所以当时,,故样本均值作为总体均值的估计量较个别样本()有效例8 从总体中抽取样本，证明下列三个统计量,,都是总体均值的无偏估计量，并确定哪个估计量更有效证 所以三个统计量都是总体均值的无偏估计量 由于的值最小，所以是三个估计量中最有效估计量3）一致性若对于任意给定的正数，有 P ()=1, 则称是参数的一致估计量例9 设总体的均值， 方差，证明样本均值是总体均值的一致估计量证 因为样本相互独立，且与总体服从相同的分布，所以，于是，由切比雪夫定理知：P所以是的一致估计量。

对于未知参数的估计量，我们可以运用无偏性、有效性、一致性来判断其优劣，以便选择出较好的估计量作业P173 2,3,4,10 后记1。