《简正振动声子杨》PPT课件.ppt

第 1 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质§3.2 §3.2 三维晶格的振动三维晶格的振动三维晶格的振动三维晶格的振动　　本节讨论三维晶格振动，得到晶格振动的基本特征和一些普遍的结论　　本节讨论三维晶格振动，得到晶格振动的基本特征和一些普遍的结论　　本节讨论三维晶格振动，得到晶格振动的基本特征和一些普遍的结论　　本节讨论三维晶格振动，得到晶格振动的基本特征和一些普遍的结论一、运动方程及其解一、运动方程及其解一、运动方程及其解一、运动方程及其解　　设晶体原胞的基矢为　　设晶体原胞的基矢为　　设晶体原胞的基矢为　　设晶体原胞的基矢为a a a a1 1 1 1、、、、a a a a2 2 2 2、、、、a a a a3 3 3 3；；；；　　沿基矢方向晶体各有　　沿基矢方向晶体各有　　沿基矢方向晶体各有　　沿基矢方向晶体各有N N N N1 1 1 1、、、、N N N N2 2 2 2、、、、N N N N3 3 3 3个原胞，即晶体一共有个原胞，即晶体一共有个原胞，即晶体一共有个原胞，即晶体一共有N N N N＝＝＝＝N N N N1 1 1 1N N N N2 2 2 2N N N N3 3 3 3个原胞；个原胞；个原胞；个原胞；　　每个原胞内有　　每个原胞内有　　每个原胞内有　　每个原胞内有n n n n个原子，质量为个原子，质量为个原子，质量为个原子，质量为个个个个原胞第原胞第原胞第原胞第p p p p个原子的平衡点位置矢量为个原子的平衡点位置矢量为个原子的平衡点位置矢量为个原子的平衡点位置矢量为第第第第第 2 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质原胞内第原胞内第原胞内第原胞内第p p p p个原子的位置矢量。

个原子的位置矢量个原子的位置矢量个原子的位置矢量每个原胞中每个原胞中每个原胞中每个原胞中，，n n个不同原子平衡位置的相对坐标为个不同原子平衡位置的相对坐标为该原子相对于平衡点的位移为该原子相对于平衡点的位移为该原子相对于平衡点的位移为该原子相对于平衡点的位移为它沿坐标轴的分量为它沿坐标轴的分量为它沿坐标轴的分量为它沿坐标轴的分量为第 3 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质上式是上式是上式是上式是3nN3nN3nN3nN个相耦合的运动方程组个相耦合的运动方程组个相耦合的运动方程组个相耦合的运动方程组是原子（是原子（是原子（是原子（l,pl,p）与原）与原）与原）与原子（子（子（子（l’,p’l’,p’）之间的准）之间的准）之间的准）之间的准弹性力系数弹性力系数弹性力系数弹性力系数第第第第p p p p个原子在个原子在个原子在个原子在方向的运动方程为方向的运动方程为方向的运动方程为方向的运动方程为第 4 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试解为：把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试解为：把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试解为：把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试解为：第 5 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　将试解代入运动方程，可得到　　将试解代入运动方程，可得到　　将试解代入运动方程，可得到　　将试解代入运动方程，可得到3n3n3n3n个线性齐次联立方程（个线性齐次联立方程（个线性齐次联立方程（个线性齐次联立方程（由于晶格的由于晶格的由于晶格的由于晶格的平移对称性，使得平移对称性，使得平移对称性，使得平移对称性，使得3nN3nN3nN3nN个联立方方程组减少到个联立方方程组减少到个联立方方程组减少到个联立方方程组减少到3n3n3n3n个个个个）：）：）：）：使使有非零解的条件是系数行列式等于零：有非零解的条件是系数行列式等于零：有非零解的条件是系数行列式等于零：有非零解的条件是系数行列式等于零：由此可得到由此可得到由此可得到由此可得到3n3n3n3n个色散关系个色散关系个色散关系个色散关系每个色散关系代表一支格波，共有每个色散关系代表一支格波，共有每个色散关系代表一支格波，共有每个色散关系代表一支格波，共有3n3n3n3n支格波支格波支格波支格波。

第 6 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　格波的色散关系中，有　　格波的色散关系中，有　　格波的色散关系中，有　　格波的色散关系中，有3 3 3 3支当　　　　　　　　　支当　　　　　　　　　支当　　　　　　　　　支当　　　　　　　　　　　另外，　　另外，　　另外，　　另外，3n-33n-33n-33n-3支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称为支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称为支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称为支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称为光学支光学支光学支光学支这三支称为声频波，这三支称为声频波，这三支称为声频波，这三支称为声频波， 它们是描述原胞与原胞之间的相对运动，其色散关系在长波近似下它们是描述原胞与原胞之间的相对运动，其色散关系在长波近似下它们是描述原胞与原胞之间的相对运动，其色散关系在长波近似下它们是描述原胞与原胞之间的相对运动，其色散关系在长波近似下与弹性波类似，称为与弹性波类似，称为与弹性波类似，称为与弹性波类似，称为声学支声学支声学支声学支；；；；第 7 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质波矢空间以波矢空间以波矢空间以波矢空间以二、周期性边界条件确定模式数目二、周期性边界条件确定模式数目二、周期性边界条件确定模式数目二、周期性边界条件确定模式数目波矢波矢波矢波矢q q q q为为为为为倒基矢，则为倒基矢，则为倒基矢，则为倒基矢，则根据波恩－卡门边界条件根据波恩－卡门边界条件根据波恩－卡门边界条件根据波恩－卡门边界条件第 8 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质或写成或写成或写成或写成由（由（由（由（6 6 6 6）式，得）式，得）式，得）式，得边界条件表示，沿着边界条件表示，沿着方向，原胞的标数增加方向，原胞的标数增加方向，原胞的标数增加方向，原胞的标数增加振动情况相同。

振动情况相同振动情况相同振动情况相同第 9 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质即即也就是说也就是说应用到关系应用到关系应用到关系应用到关系第 10 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质为整数代回（为整数代回（4 4）式）式代表代表代表代表q q q q空间均匀分布的点子空间均匀分布的点子空间均匀分布的点子空间均匀分布的点子. . . .若若若若是倒格矢，则是倒格矢，则是倒格矢，则是倒格矢，则不变因此因此因此因此q q q q的取值可限制在第一布里渊区之内的取值可限制在第一布里渊区之内的取值可限制在第一布里渊区之内的取值可限制在第一布里渊区之内第 11 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质个个个个q q q q值倒空间原胞体积：倒空间原胞体积：倒空间原胞体积：倒空间原胞体积：原胞原胞原胞原胞体积体积体积体积第一布里渊区里共有第一布里渊区里共有第一布里渊区里共有第一布里渊区里共有波矢波矢波矢波矢q q q q的点在布里渊区中的密度为的点在布里渊区中的密度为的点在布里渊区中的密度为的点在布里渊区中的密度为第 12 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质如果如果如果如果q q q q改变一个倒格子矢量改变一个倒格子矢量改变一个倒格子矢量改变一个倒格子矢量从三维晶格行波试解：从三维晶格行波试解：从三维晶格行波试解：从三维晶格行波试解：可以看出，可以看出，可以看出，可以看出，q q q q的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系，具体表现，具体表现，具体表现，具体表现在位相因子：在位相因子：在位相因子：在位相因子：由于由于不影响位相因子，因而对格波的描述没有任何区别。

不影响位相因子，因而对格波的描述没有任何区别不影响位相因子，因而对格波的描述没有任何区别不影响位相因子，因而对格波的描述没有任何区别第 13 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　对第一个波矢　　对第一个波矢　　对第一个波矢　　对第一个波矢q q q q，有，有，有，有3n3n3n3n个个个个与之对应，每一组与之对应，每一组与之对应，每一组与之对应，每一组表示表示表示表示晶格的一种振动模式，由此可知晶格的一种振动模式，由此可知晶格的一种振动模式，由此可知晶格的一种振动模式，由此可知三维晶体中振动模式数目为三维晶体中振动模式数目为三维晶体中振动模式数目为三维晶体中振动模式数目为3nN3nN3nN3nN个　对于有　对于有　对于有　对于有N N N N个原胞的三维晶体，每个原胞有个原胞的三维晶体，每个原胞有个原胞的三维晶体，每个原胞有个原胞的三维晶体，每个原胞有n n n n个原子，每个原子有个原子，每个原子有个原子，每个原子有个原子，每个原子有3 3 3 3个自个自个自个自由度，所以晶体的总自由度数也是由度，所以晶体的总自由度数也是由度，所以晶体的总自由度数也是由度，所以晶体的总自由度数也是3nN3nN。

第 14 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　波矢　波矢　波矢　波矢q q q q增加一个倒格矢，原子的位移保持不变－－第一布里渊区增加一个倒格矢，原子的位移保持不变－－第一布里渊区增加一个倒格矢，原子的位移保持不变－－第一布里渊区增加一个倒格矢，原子的位移保持不变－－第一布里渊区　晶格振　晶格振　晶格振　晶格振动动的波矢数目等于晶体的原胞数的波矢数目等于晶体的原胞数的波矢数目等于晶体的原胞数的波矢数目等于晶体的原胞数N N N N；；；；　格波振　格波振　格波振　格波振动动模式数目等于晶体中所有原子的自由度数之和模式数目等于晶体中所有原子的自由度数之和模式数目等于晶体中所有原子的自由度数之和模式数目等于晶体中所有原子的自由度数之和3nN3nN 概括起来，我们得到以下结论：概括起来，我们得到以下结论：概括起来，我们得到以下结论：概括起来，我们得到以下结论：第 15 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质§3.3 §3.3 简正振动简正振动简正振动简正振动 　声子　声子　声子　声子理论考虑：理论考虑：理论考虑：理论考虑：前面我们根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求解前面我们根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求解前面我们根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求解前面我们根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求解一维链的振动模，得出如下结论：一维链的振动模，得出如下结论：一维链的振动模，得出如下结论：一维链的振动模，得出如下结论：　晶体中原子的集体振动　晶体中原子的集体振动　晶体中原子的集体振动　晶体中原子的集体振动--------------------格波，可展开成格波，可展开成格波，可展开成格波，可展开成简谐平面波简谐平面波简谐平面波简谐平面波的线性的线性的线性的线性迭加。

迭加　对微弱振动（简谐近似），每个格波就是一个简谐波，格波之间　对微弱振动（简谐近似），每个格波就是一个简谐波，格波之间　对微弱振动（简谐近似），每个格波就是一个简谐波，格波之间　对微弱振动（简谐近似），每个格波就是一个简谐波，格波之间的相互作用可忽略，形成的相互作用可忽略，形成的相互作用可忽略，形成的相互作用可忽略，形成独立独立独立独立格波模式格波模式格波模式格波模式　在玻恩　在玻恩　在玻恩　在玻恩- - - -卡门周期性边界条件下，得到卡门周期性边界条件下，得到卡门周期性边界条件下，得到卡门周期性边界条件下，得到分立分立分立分立的独立格波模式，可的独立格波模式，可的独立格波模式，可的独立格波模式，可用用用用独立简谐振子独立简谐振子独立简谐振子独立简谐振子来表述 下面我们根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论，下面我们根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论，下面我们根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论，下面我们根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论，并引入并引入并引入并引入声子概念声子概念声子概念声子概念－－－－－－－－晶格振动中的简谐振子的能量量子。

晶格振动中的简谐振子的能量量子晶格振动中的简谐振子的能量量子晶格振动中的简谐振子的能量量子第 16 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质一、简谐近似和简正坐标一、简谐近似和简正坐标一、简谐近似和简正坐标一、简谐近似和简正坐标数学处理：数学处理：数学处理：数学处理：通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）= = = =动动动动能能能能 + + + + 势能（化成）势能（化成）势能（化成）势能（化成）= = = =独立简谐振子能量之和独立简谐振子能量之和独立简谐振子能量之和独立简谐振子能量之和 从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，凡是力学从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，凡是力学从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，凡是力学从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，凡是力学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。

体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动　上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是简　上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是简　上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是简　上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是简谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的　　　　处理小振动问题的理论方法和主要结果处理小振动问题的理论方法和主要结果处理小振动问题的理论方法和主要结果处理小振动问题的理论方法和主要结果－－做为晶格振动这部分内－－做为晶格振动这部分内－－做为晶格振动这部分内－－做为晶格振动这部分内容的理论基础容的理论基础容的理论基础容的理论基础第 17 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　在第二章我们已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相　　在第二章我们已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相　　在第二章我们已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相　　在第二章我们已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相互作用势能互作用势能互作用势能互作用势能取最小值。

取最小值取最小值取最小值　　相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数　　相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数　　相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数　　相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数N N N N个原子的位移矢个原子的位移矢个原子的位移矢个原子的位移矢量共有量共有量共有量共有3N3N3N3N个分量，写成个分量，写成个分量，写成个分量，写成原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即第 18 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质将将将将在平衡位置展开成泰勒级数在平衡位置展开成泰勒级数在平衡位置展开成泰勒级数在平衡位置展开成泰勒级数因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二项为零，若取因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二项为零，若取因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二项为零，若取因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二项为零，若取U U U U0 0 0 0为能为能为能为能量零点，并略去二次以上的高次项，得到量零点，并略去二次以上的高次项，得到量零点，并略去二次以上的高次项，得到量零点，并略去二次以上的高次项，得到上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项。

上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项第 19 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　处理小振动问题一般都取简谐近似　　处理小振动问题一般都取简谐近似　　处理小振动问题一般都取简谐近似　　处理小振动问题一般都取简谐近似　　　　　　　　对于一个具体的物理问题是否可以采用简谐近似，要看在简谐近对于一个具体的物理问题是否可以采用简谐近似，要看在简谐近对于一个具体的物理问题是否可以采用简谐近似，要看在简谐近对于一个具体的物理问题是否可以采用简谐近似，要看在简谐近似条件下得到的理论结果是否与实验相一致似条件下得到的理论结果是否与实验相一致似条件下得到的理论结果是否与实验相一致似条件下得到的理论结果是否与实验相一致在有些物理问题中就需在有些物理问题中就需在有些物理问题中就需在有些物理问题中就需要考虑高阶项的作用，称为非谐作用要考虑高阶项的作用，称为非谐作用要考虑高阶项的作用，称为非谐作用要考虑高阶项的作用，称为非谐作用。

第 20 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标N N N N个原子体系的动能函数为个原子体系的动能函数为个原子体系的动能函数为个原子体系的动能函数为简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：在简正坐标中，势能和动能化成在简正坐标中，势能和动能化成在简正坐标中，势能和动能化成在简正坐标中，势能和动能化成第 21 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质由上式可得出由上式可得出由上式可得出由上式可得出正则动量正则动量正则动量正则动量振动系统的振动系统的振动系统的振动系统的拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数为：为：为：为：于是系统的于是系统的于是系统的于是系统的哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数化成化成化成化成将上式代入将上式代入将上式代入将上式代入正则方程正则方程正则方程正则方程第 22 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质得到得到这是这是这是这是3N3N3N3N个相互无关的个相互无关的个相互无关的个相互无关的谐振子的运动方程谐振子的运动方程谐振子的运动方程谐振子的运动方程，表明各简正坐标描述独立的简，表明各简正坐标描述独立的简，表明各简正坐标描述独立的简，表明各简正坐标描述独立的简正振动。

正振动　　　　借助简正坐标，将借助简正坐标，将借助简正坐标，将借助简正坐标，将N N N N个相互耦合关联的原子组成的晶格的振动转化个相互耦合关联的原子组成的晶格的振动转化个相互耦合关联的原子组成的晶格的振动转化个相互耦合关联的原子组成的晶格的振动转化为为为为3N3N3N3N个独立的谐振子的简谐振动个独立的谐振子的简谐振动个独立的谐振子的简谐振动个独立的谐振子的简谐振动　　其中，任意简正坐标的解为　　其中，任意简正坐标的解为　　其中，任意简正坐标的解为　　其中，任意简正坐标的解为：振动的圆频率：振动的圆频率：振动的圆频率：振动的圆频率第 23 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系：原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系：原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系：原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系：上式表明，每一个原子都以相同的频率作振动上式表明，每一个原子都以相同的频率作振动上式表明，每一个原子都以相同的频率作振动上式表明，每一个原子都以相同的频率作振动。

　　　　　　　　当只考虑某一个当只考虑某一个当只考虑某一个当只考虑某一个QjQj的振动时的振动时的振动时的振动时，位移坐标可表示为，位移坐标可表示为，位移坐标可表示为，位移坐标可表示为 一个简正振动与位移坐标不同，不再只和个别原子相联系，而是表一个简正振动与位移坐标不同，不再只和个别原子相联系，而是表一个简正振动与位移坐标不同，不再只和个别原子相联系，而是表一个简正振动与位移坐标不同，不再只和个别原子相联系，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们振动频率相同示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们振动频率相同示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们振动频率相同示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们振动频率相同第 24 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质二、一维简单晶格二、一维简单晶格二、一维简单晶格二、一维简单晶格说明二个问题：说明二个问题：说明二个问题：说明二个问题：（（（（1 1 1 1）简正坐标的引入）简正坐标的引入）简正坐标的引入）简正坐标的引入　　前面根据牛顿定理得到的原子运动方程的试解为　　前面根据牛顿定理得到的原子运动方程的试解为　　前面根据牛顿定理得到的原子运动方程的试解为　　前面根据牛顿定理得到的原子运动方程的试解为　晶格振动等价于　晶格振动等价于　晶格振动等价于　晶格振动等价于N N N N个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格的振动个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格的振动个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格的振动个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格的振动频率；频率；频率；频率；　根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求链的振动模，与根据分析力　根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求链的振动模，与根据分析力　根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求链的振动模，与根据分析力　根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求链的振动模，与根据分析力学原理，引入简正坐标是等效的。

学原理，引入简正坐标是等效的学原理，引入简正坐标是等效的学原理，引入简正坐标是等效的第 25 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质表示表示表示表示第第第第q q q q个格波引起第个格波引起第个格波引起第个格波引起第n n n n个原子的位移个原子的位移个原子的位移个原子的位移，，，，而而而而第第第第n n n n个原子的总位移应为所有格波引起的位移的叠加个原子的总位移应为所有格波引起的位移的叠加个原子的总位移应为所有格波引起的位移的叠加个原子的总位移应为所有格波引起的位移的叠加在简谐近似和最近邻近似下在简谐近似和最近邻近似下在简谐近似和最近邻近似下在简谐近似和最近邻近似下，一维单原子晶格的振动总能量为，一维单原子晶格的振动总能量为，一维单原子晶格的振动总能量为，一维单原子晶格的振动总能量为势能项势能项势能项势能项第 26 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质势能项势能项中出现了交叉项，为了消去势能中的交叉项，把原子总位移的表达式变中出现了交叉项，为了消去势能中的交叉项，把原子总位移的表达式变中出现了交叉项，为了消去势能中的交叉项，把原子总位移的表达式变中出现了交叉项，为了消去势能中的交叉项，把原子总位移的表达式变换一下形式，写成：换一下形式，写成：换一下形式，写成：换一下形式，写成：则则第 27 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质与简正坐标和原子位移坐标的定义关系式与简正坐标和原子位移坐标的定义关系式与简正坐标和原子位移坐标的定义关系式与简正坐标和原子位移坐标的定义关系式其中其中其中其中Q(q)Q(q)Q(q)Q(q)就是简正坐标，它表示了格波的振幅，而线性变换系数为就是简正坐标，它表示了格波的振幅，而线性变换系数为就是简正坐标，它表示了格波的振幅，而线性变换系数为就是简正坐标，它表示了格波的振幅，而线性变换系数为Q(q)Q(q)Q(q)Q(q)是否就是简正坐标，需要证明经过上面的变换后，动能和势能都具是否就是简正坐标，需要证明经过上面的变换后，动能和势能都具是否就是简正坐标，需要证明经过上面的变换后，动能和势能都具是否就是简正坐标，需要证明经过上面的变换后，动能和势能都具有平方和的形式。

有平方和的形式有平方和的形式有平方和的形式比较，得比较，得比较，得比较，得第 28 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质为了证明这一点，需要利用以下两个关系式：为了证明这一点，需要利用以下两个关系式：为了证明这一点，需要利用以下两个关系式：为了证明这一点，需要利用以下两个关系式：第二个关系式第二个关系式第二个关系式第二个关系式，，，，实际就是线性变换系数的正交条件实际就是线性变换系数的正交条件实际就是线性变换系数的正交条件实际就是线性变换系数的正交条件第一个关系式第一个关系式第一个关系式第一个关系式可以从原子位移为实数的条件得到可以从原子位移为实数的条件得到可以从原子位移为实数的条件得到可以从原子位移为实数的条件得到，因为，因为，因为，因为第 29 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质也可以写成也可以写成也可以写成也可以写成因为原子位移因为原子位移因为原子位移因为原子位移u u u un n n n为实数，所以为实数，所以为实数，所以为实数，所以比较上面两式，可得比较上面两式，可得比较上面两式，可得比较上面两式，可得把上式两端取共轭把上式两端取共轭把上式两端取共轭把上式两端取共轭第 30 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第二个关系式第二个关系式第二个关系式第二个关系式，线性变换系数的正交条件，线性变换系数的正交条件，线性变换系数的正交条件，线性变换系数的正交条件当当当当q q q q≠≠≠≠q’q’q’q’时，时，时，时，当当当当q=q’q=q’q=q’q=q’时，时，时，时，显然成立。

显然成立显然成立显然成立s s为整数，故有为整数，故有第 31 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质利用上述证明的两个关系式，我们可化简系统动能和位能的表达式利用上述证明的两个关系式，我们可化简系统动能和位能的表达式利用上述证明的两个关系式，我们可化简系统动能和位能的表达式利用上述证明的两个关系式，我们可化简系统动能和位能的表达式利用等比级数前利用等比级数前利用等比级数前利用等比级数前n n项求和项求和项求和项求和公式公式公式公式第 32 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质晶格动能：晶格动能：晶格动能：晶格动能：当当时时第 33 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质有有同理可求出晶格势能同理可求出晶格势能同理可求出晶格势能同理可求出晶格势能：：：：其中其中其中其中是一维简单格子的色散关系是一维简单格子的色散关系。

是一维简单格子的色散关系是一维简单格子的色散关系第 34 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　这样可以写出晶格振动总能量如下：　　这样可以写出晶格振动总能量如下：　　这样可以写出晶格振动总能量如下：　　这样可以写出晶格振动总能量如下：　　至此，晶格的动能和势能都化成了平方和的形式，这说明　　至此，晶格的动能和势能都化成了平方和的形式，这说明　　至此，晶格的动能和势能都化成了平方和的形式，这说明　　至此，晶格的动能和势能都化成了平方和的形式，这说明Q(q)Q(q)Q(q)Q(q)确实确实确实确实是系统的简正坐标是系统的简正坐标是系统的简正坐标是系统的简正坐标第 35 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　　　　　　　引入简正坐标以后：引入简正坐标以后：引入简正坐标以后：引入简正坐标以后：　　晶格振动的总能量可以表示为　　晶格振动的总能量可以表示为　　晶格振动的总能量可以表示为　　晶格振动的总能量可以表示为N N N N个独立简谐振子的能量之和。

个独立简谐振子的能量之和个独立简谐振子的能量之和个独立简谐振子的能量之和　　这里所引入的线性变换可与量子力学中的表象变换类比考虑　　这里所引入的线性变换可与量子力学中的表象变换类比考虑　　这里所引入的线性变换可与量子力学中的表象变换类比考虑　　这里所引入的线性变换可与量子力学中的表象变换类比考虑: : : :实际坐标空间的实际坐标空间的实际坐标空间的实际坐标空间的N N N N个相互作用的原子体系的微振动和个相互作用的原子体系的微振动和个相互作用的原子体系的微振动和个相互作用的原子体系的微振动和简正坐标所构成的态空间中简正坐标所构成的态空间中简正坐标所构成的态空间中简正坐标所构成的态空间中N N N N个独立谐振子个独立谐振子个独立谐振子个独立谐振子等效等效等效等效第 36 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质三、声子三、声子三、声子三、声子　　根据量子力学对谐振子的处理，频率为　　根据量子力学对谐振子的处理，频率为　　根据量子力学对谐振子的处理，频率为　　根据量子力学对谐振子的处理，频率为ωωωωq q q q的谐振子的能量本征值是的谐振子的能量本征值是的谐振子的能量本征值是的谐振子的能量本征值是所以晶格的总能量所以晶格的总能量所以晶格的总能量所以晶格的总能量　　上述结论可直接推广到三维情况，三维晶格的振动总能量为　　上述结论可直接推广到三维情况，三维晶格的振动总能量为　　上述结论可直接推广到三维情况，三维晶格的振动总能量为　　上述结论可直接推广到三维情况，三维晶格的振动总能量为第 37 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　　　引入声子的概念引入声子的概念引入声子的概念引入声子的概念：：：：　　由于格波的能量是以　　　为单位量子化的，通常把这个能量量　　由于格波的能量是以　　　为单位量子化的，通常把这个能量量　　由于格波的能量是以　　　为单位量子化的，通常把这个能量量　　由于格波的能量是以　　　为单位量子化的，通常把这个能量量子称为子称为子称为子称为声子声子声子声子。

　　声子是玻色子声子是玻色子声子是玻色子声子是玻色子：：：： 　　声子既具有能量又具有动量，即具有粒子的属性，所以我们可以把　　声子既具有能量又具有动量，即具有粒子的属性，所以我们可以把声子看成是一种声子看成是一种““准粒子准粒子””由于同种声子（由于同种声子（ωω和和q q都相同的声子都相同的声子）之）之间不可区分而且自旋为零，间不可区分而且自旋为零，声子是玻色子声子是玻色子声子是玻色子声子是玻色子　　　　平均声子数：平均声子数：平均声子数：平均声子数：　　　　由于对每个声子能级　　　　，声子的占据数没有限制，声子遵从由于对每个声子能级　　　　，声子的占据数没有限制，声子遵从玻色统计，对　　　　能级的平均占据数由普朗克公式给出：玻色统计，对　　　　能级的平均占据数由普朗克公式给出：第 38 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　　　声子的准动量声子的准动量声子的准动量声子的准动量　　　　　　　　　　声子不仅是一个能量子，它还具有　　声子不仅是一个能量子，它还具有　　声子不仅是一个能量子，它还具有　　声子不仅是一个能量子，它还具有““““动量动量动量动量””””。

　　波矢　　波矢　　波矢　　波矢q q q q的方向代表格波的传播方向，引入声子概念后它就是声子的的方向代表格波的传播方向，引入声子概念后它就是声子的的方向代表格波的传播方向，引入声子概念后它就是声子的的方向代表格波的传播方向，引入声子概念后它就是声子的波矢，其方向代表声子的运动方向，类似光子，称　　为声子的波矢，其方向代表声子的运动方向，类似光子，称　　为声子的波矢，其方向代表声子的运动方向，类似光子，称　　为声子的波矢，其方向代表声子的运动方向，类似光子，称　　为声子的准动量准动量准动量准动量第 39 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便：　　引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便：　　引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便：　　引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便：　　　　　　　　（（（（1 1 1 1））））简谐近似下晶格振动的热力学问题就可简谐近似下晶格振动的热力学问题就可简谐近似下晶格振动的热力学问题就可简谐近似下晶格振动的热力学问题就可看做由看做由看做由看做由3nN3nN3nN3nN种不同声子种不同声子种不同声子种不同声子组成的理想气体系统组成的理想气体系统组成的理想气体系统组成的理想气体系统处理，如果考虑非谐效应，可看成有相互作用的声处理，如果考虑非谐效应，可看成有相互作用的声处理，如果考虑非谐效应，可看成有相互作用的声处理，如果考虑非谐效应，可看成有相互作用的声子气体。

子气体　　　　　（　（　（　（2 2 2 2））））光子、电子、中子等与晶格振动相互作用，就可看成是光子、光子、电子、中子等与晶格振动相互作用，就可看成是光子、光子、电子、中子等与晶格振动相互作用，就可看成是光子、光子、电子、中子等与晶格振动相互作用，就可看成是光子、电子、中子等与声子的碰撞作用，这样就使得问题的处理大大简化电子、中子等与声子的碰撞作用，这样就使得问题的处理大大简化电子、中子等与声子的碰撞作用，这样就使得问题的处理大大简化电子、中子等与声子的碰撞作用，这样就使得问题的处理大大简化　　　　　　　　（（（（3 3 3 3））））元激发：声子反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元，固元激发：声子反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元，固元激发：声子反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元，固元激发：声子反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元，固体中微观粒子在特定相互作用下产生的集体运动状态的的激发单元常称体中微观粒子在特定相互作用下产生的集体运动状态的的激发单元常称体中微观粒子在特定相互作用下产生的集体运动状态的的激发单元常称体中微观粒子在特定相互作用下产生的集体运动状态的的激发单元常称为元激发。

相互作用性质不同，对应不同的元激发，但处理这些元激发为元激发相互作用性质不同，对应不同的元激发，但处理这些元激发为元激发相互作用性质不同，对应不同的元激发，但处理这些元激发为元激发相互作用性质不同，对应不同的元激发，但处理这些元激发的理论方法是相类似的的理论方法是相类似的的理论方法是相类似的的理论方法是相类似的第 40 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质§3.4 §3.4 §3.4 §3.4 晶格振动谱的实验测定方法晶格振动谱的实验测定方法晶格振动谱的实验测定方法晶格振动谱的实验测定方法　　除了少数几个极简单模型，其晶格振动谱可以从理论上导出外，绝　　除了少数几个极简单模型，其晶格振动谱可以从理论上导出外，绝　　除了少数几个极简单模型，其晶格振动谱可以从理论上导出外，绝　　除了少数几个极简单模型，其晶格振动谱可以从理论上导出外，绝大部分实际晶体的晶格振动谱需要实验测定大部分实际晶体的晶格振动谱需要实验测定大部分实际晶体的晶格振动谱需要实验测定大部分实际晶体的晶格振动谱需要实验测定一、定义：一、定义：一、定义：一、定义：晶格振动谱就是格波的色散关系晶格振动谱就是格波的色散关系晶格振动谱就是格波的色散关系晶格振动谱就是格波的色散关系ωωωω（（（（q q q q），也称声子谱。

也称声子谱也称声子谱也称声子谱　　　　　　　　实验测定实验测定实验测定实验测定ωωωω（（（（q q q q））））: : : :粒子与晶格振动的非弹性散射　　粒子与晶格振动的非弹性散射　　粒子与晶格振动的非弹性散射　　粒子与晶格振动的非弹性散射　　　　　　　　　　中子、光子等与声子的碰撞中子、光子等与声子的碰撞中子、光子等与声子的碰撞中子、光子等与声子的碰撞　　当　　当　　当　　当中子、光子中子、光子中子、光子中子、光子入射到晶体，可以和晶格振动交换能量，总是以入射到晶体，可以和晶格振动交换能量，总是以入射到晶体，可以和晶格振动交换能量，总是以入射到晶体，可以和晶格振动交换能量，总是以为单元交换能量使谐振子从一个激发态跃迁到另一个激发态用声子为单元交换能量使谐振子从一个激发态跃迁到另一个激发态用声子为单元交换能量使谐振子从一个激发态跃迁到另一个激发态用声子为单元交换能量使谐振子从一个激发态跃迁到另一个激发态用声子概念说，就是产生或者消灭了一个声子，发射或吸收一个声子概念说，就是产生或者消灭了一个声子，发射或吸收一个声子概念说，就是产生或者消灭了一个声子，发射或吸收一个声子概念说，就是产生或者消灭了一个声子，发射或吸收一个声子。

第 41 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　　　　　　　晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类：：：：光子散射方法，中子散射方法光子散射方法，中子散射方法光子散射方法，中子散射方法光子散射方法，中子散射方法　　　　　　　　二、光子散射二、光子散射二、光子散射二、光子散射　　设入射　　设入射　　设入射　　设入射光子的频率为光子的频率为光子的频率为光子的频率为ΩΩ，波矢为，波矢为，波矢为，波矢为k k，与，与，与，与频率为频率为频率为频率为ωωωω、、、、波矢为波矢为波矢为波矢为q q的声子的声子的声子的声子碰撞后，光子的频率和波矢分别变成碰撞后，光子的频率和波矢分别变成碰撞后，光子的频率和波矢分别变成碰撞后，光子的频率和波矢分别变成　　碰撞过程中，能量守恒和准动量守恒　　碰撞过程中，能量守恒和准动量守恒　　碰撞过程中，能量守恒和准动量守恒　　碰撞过程中，能量守恒和准动量守恒两种过程：两种过程：两种过程：两种过程：吸收声子过程：吸收声子过程：吸收声子过程：吸收声子过程：第 42 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质以上四式可化成以下两式以上四式可化成以下两式产生（又称发射）声子过程：产生（又称发射）声子过程：产生（又称发射）声子过程：产生（又称发射）声子过程：第 43 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　当入射光的频率　当入射光的频率　当入射光的频率　当入射光的频率ΩΩΩΩ及波矢及波矢及波矢及波矢k k k k一定，在不同方向一定，在不同方向一定，在不同方向一定，在不同方向(k’(k’(k’(k’的方向的方向的方向的方向) ) ) )测出散射光的频率测出散射光的频率测出散射光的频率测出散射光的频率Ω’Ω’Ω’Ω’，由，由，由，由ΩΩΩΩ与与与与Ω’Ω’Ω’Ω’的差值求出声子频率的差值求出声子频率的差值求出声子频率的差值求出声子频率ωωωω，，，，　由　由　由　由k k k k与与与与k’k’k’k’的方向及大小求出声子波矢的方向及大小求出声子波矢的方向及大小求出声子波矢的方向及大小求出声子波矢q q q q的大小及方向，即的大小及方向，即的大小及方向，即的大小及方向，即可求出晶格振动频谱。

可求出晶格振动频谱可求出晶格振动频谱可求出晶格振动频谱　　　　实验方法：实验方法：实验方法：实验方法：第 44 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质　　　　　　　　测定长声学格波的部分频谱，实验还可进一步简化测定长声学格波的部分频谱，实验还可进一步简化测定长声学格波的部分频谱，实验还可进一步简化测定长声学格波的部分频谱，实验还可进一步简化: : : :　　光被长声学波的散射称为布里渊散射由于长声学波的能量非常小，　　光被长声学波的散射称为布里渊散射由于长声学波的能量非常小，　　光被长声学波的散射称为布里渊散射由于长声学波的能量非常小，　　光被长声学波的散射称为布里渊散射由于长声学波的能量非常小， q→ 0q→ 0q→ 0q→ 0（不会超出第一布里渊区），因此，散射光的频率和波矢的改变非（不会超出第一布里渊区），因此，散射光的频率和波矢的改变非（不会超出第一布里渊区），因此，散射光的频率和波矢的改变非（不会超出第一布里渊区），因此，散射光的频率和波矢的改变非常小，可以近似认为常小，可以近似认为常小，可以近似认为常小，可以近似认为即右图中三角形近似为等腰三角形，声子波矢的模可由下式求得即右图中三角形近似为等腰三角形，声子波矢的模可由下式求得即右图中三角形近似为等腰三角形，声子波矢的模可由下式求得即右图中三角形近似为等腰三角形，声子波矢的模可由下式求得kq波矢波矢波矢波矢q q的方向由光子入射方向与散射方向决定，即由的方向由光子入射方向与散射方向决定，即由的方向由光子入射方向与散射方向决定，即由的方向由光子入射方向与散射方向决定，即由方向决定。

由此即可确定出传播方向上长声学波的频谱方向决定由此即可确定出传播方向上长声学波的频谱方向决定由此即可确定出传播方向上长声学波的频谱方向决定由此即可确定出传播方向上长声学波的频谱第 45 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质其中　　是晶体中的声速其中　　是晶体中的声速喇曼散射：喇曼散射：喇曼散射：喇曼散射：　　　　　　　　　　　　光子和长光学波声子相互作用，称这类光子的散射为光子的喇曼散光子和长光学波声子相互作用，称这类光子的散射为光子的喇曼散光子和长光学波声子相互作用，称这类光子的散射为光子的喇曼散光子和长光学波声子相互作用，称这类光子的散射为光子的喇曼散射　　　　　　　　由于长光学波声子能量较大，其频率基本与波矢无关，（可由光学由于长光学波声子能量较大，其频率基本与波矢无关，（可由光学由于长光学波声子能量较大，其频率基本与波矢无关，（可由光学由于长光学波声子能量较大，其频率基本与波矢无关，（可由光学波的色散关系曲线非常平缓看出），所以喇曼频移相当大波的色散关系曲线非常平缓看出），所以喇曼频移相当大。

波的色散关系曲线非常平缓看出），所以喇曼频移相当大波的色散关系曲线非常平缓看出），所以喇曼频移相当大第 46 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质三、中子散射方法三、中子散射方法三、中子散射方法三、中子散射方法　　中子与声子相互作用满足能量守恒及动量守恒定律　　中子与声子相互作用满足能量守恒及动量守恒定律　　中子与声子相互作用满足能量守恒及动量守恒定律　　中子与声子相互作用满足能量守恒及动量守恒定律设中子的质量：设中子的质量：设中子的质量：设中子的质量：mm，，，，入射中子的动量：入射中子的动量：入射中子的动量：入射中子的动量：P P，，，，散射后中子的动量：散射后中子的动量：散射后中子的动量：散射后中子的动量：由散射过程中能量守恒，得由散射过程中能量守恒，得由散射过程中能量守恒，得由散射过程中能量守恒，得由动量守恒，得由动量守恒，得由动量守恒，得由动量守恒，得第 47 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质＋号对应吸收一个声子的过程，＋号对应吸收一个声子的过程，＋号对应吸收一个声子的过程，＋号对应吸收一个声子的过程，的两声子是等价的条件。

的两声子是等价的条件的两声子是等价的条件的两声子是等价的条件动量守恒中利用了波矢动量守恒中利用了波矢动量守恒中利用了波矢动量守恒中利用了波矢q q与波矢与波矢与波矢与波矢倒逆散射过程或倒逆散射过程或倒逆散射过程或倒逆散射过程或U U U U过程正常散射过程正常散射过程正常散射过程正常散射过程－号对应发射一个声子的过程－号对应发射一个声子的过程－号对应发射一个声子的过程－号对应发射一个声子的过程第 48 页第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质第三章　晶体振动和晶体的热学性质由（由（由（由（1010）式）式）式）式求出波矢的模求出波矢的模求出波矢的模求出波矢的模由（由（由（由（9 9）式）式）式）式求出频率求出频率求出频率求出频率，即可确定出某方向上的振动谱，即可确定出某方向上的振动谱，即可确定出某方向上的振动谱，即可确定出某方向上的振动谱对于正常散射过程对于正常散射过程对于正常散射过程对于正常散射过程，由（，由（，由（，由（7 7））））和（和（和（和（8 8）两式分别得）两式分别得）两式分别得）两式分别得与与的夹角的夹角的夹角的夹角求出波矢的方向求出波矢的方向求出波矢的方向求出波矢的方向由由由由。