旋度、度、电场强度.ppt

欢迎学习欢迎学习欢迎学习欢迎学习四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院电工电子基础教学实验中心电工电子基础教学实验中心电工电子基础教学实验中心电工电子基础教学实验中心朱英伟朱英伟朱英伟朱英伟学习内容回顾学习内容回顾0 引言引言1.1 电磁场物理模型的构成电磁场物理模型的构成1.2 矢量分析矢量分析1.3 场论基础场论基础p 科学内涵和应用领域科学内涵和应用领域 p 发展历程与发展简史发展历程与发展简史考察标量场等值面的变化率设等值面方程为考察标量场等值面的变化率设等值面方程为   (x, y, z) = C 标量场梯度的图示标量场梯度的图示标量场的特性分析标量场的特性分析梯度梯度是描述标量场各点最大空间是描述标量场各点最大空间变化率的变化率的矢量矢量方向导数方向导数是描述标量场各点空间是描述标量场各点空间变化率的变化率的数值数值电磁场是矢量场，电磁场是矢量场，矢量场的性质由其矢量场的性质由其散度散度和和旋度旋度确定确定.—— —— 通量源通量源强度的量度强度的量度—— —— 旋涡源旋涡源强度的量度强度的量度矢量场的特性分析？矢量场的特性分析？Ø 散度是散度是通量通量（矢量面积分）的体密度，（矢量面积分）的体密度，Ø 旋度是旋度是环量环量 （矢量线积分）的面密度。

矢量线积分）的面密度考察环向矢量考察环向矢量F的的环量密度环量密度，取其围定的，取其围定的微小微小面积为面积为 S，令，令 en 为为  S 的法向单位矢量，它与环向矢量的法向单位矢量，它与环向矢量 l 构成右螺旋关系，则定义构成右螺旋关系，则定义旋度为：旋度为： 1.矢量场的旋度是一个矢量；矢量场的旋度是一个矢量；2.其方向和环量积分路径循行的方向满足其方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定则，且为获得最大环量位置的面右螺旋定则，且为获得最大环量位置的面积元的法线方向积元的法线方向 en ；；3.其大小表征了每单位面积上矢量场的最其大小表征了每单位面积上矢量场的最大环量2. 2. 矢量场的旋度矢量场的旋度Ø旋度描述了旋涡源的强度，也表明了场的形状旋度描述了旋涡源的强度，也表明了场的形状Ø旋度表达式旋度表达式旋度的物理意义旋度的物理意义• 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数;• 点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值;• 在矢量场中，若  A=J  0 , 称之为旋度场(或涡旋场)， J 称为旋度源(或涡旋源)；• 点P 的旋度的方向是该点最大环量密度的方向;• 若矢量场处处  A= 0，称之为无旋场。

Ø无旋场无旋场：无旋场是旋度恒为零的场，即：无旋场是旋度恒为零的场，即存在矢量恒等式存在矢量恒等式可以看出，可以看出，无旋场可以用另一个标量的梯度表达无旋场可以用另一个标量的梯度表达，即，即一般称标量一般称标量   是矢量场是矢量场 F 的的标量位标量位 静电场的电场强度静电场的电场强度 E 旋度处处为零，静电场是一个无旋场，旋度处处为零，静电场是一个无旋场，因此，电场强度因此，电场强度 E 可以表示为标量电位可以表示为标量电位 的梯度，即的梯度，即 1.1.通量通量通量：通量： 矢量矢量 A 沿某一沿某一有向曲面有向曲面 S 的面积分称为矢量的面积分称为矢量 A 通过该有向曲通过该有向曲面面 S 的通量，以标量的通量，以标量  表示，即表示，即 1.3.3 矢量场的散度矢量场的散度一般取曲面的外侧为一般取曲面的外侧为正侧正侧，即由内侧指向外侧为法向正方向即由内侧指向外侧为法向正方向闭合面通量闭合面通量：：  > > 0 0 (有正源有正源)  < 0< 0 (有负源有负源)  = = 0 0 (无源无源)如果如果S为闭合曲面，一般取其外表面法线向外为正方向。

为闭合曲面，一般取其外表面法线向外为正方向表示穿出闭合面表示穿出闭合面S的净通量的净通量 例：如果曲面例：如果曲面 s 是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：闭合面通量闭合面通量物理意义物理意义：：表示穿入穿出曲面矢量通量的代数和表示穿入穿出曲面矢量通量的代数和 在电场电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量电通量；；在在磁场磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量磁通量  考察矢量考察矢量F 对闭合通量的体密度对闭合通量的体密度作包围 P 点的一相当小的点的一相当小的封闭曲面封闭曲面 S 如图示，则当如图示，则当 V→0时，即时，即  V 收缩为收缩为 P 点时，定点时，定义通量义通量    对于体积对于体积  V 的变化率的极限值为矢量的变化率的极限值为矢量 F 在在 P点的点的散度，记作散度，记作2. 2. 矢量场的散度矢量场的散度1.散度是一个标量；散度是一个标量；2.它可以理解为通过包围单位体积闭合面它可以理解为通过包围单位体积闭合面的通量，即通量的体密度；的通量，即通量的体密度；3.它可以判断通量源它可以判断通量源(有无源、正负源有无源、正负源)。

Ø散度描述了发散源的强度，也表明了场的形状散度描述了发散源的强度，也表明了场的形状散度的计算：散度的计算：§不失一般性，令包围不失一般性，令包围P P点的微体积点的微体积 V V 为一直平行六面体为一直平行六面体散度的物理意义 在矢量场中，若• A=  0，称之为有源场， 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 • A=0 ，称之为无源场矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性 (无源） (正源) (负源)Ø无散场无散场：无散场是散度恒为零的场，即：无散场是散度恒为零的场，即 由矢量恒等式由矢量恒等式可以看出，可以看出，任意矢量场任意矢量场 A 的旋度的散度恒等于零的旋度的散度恒等于零 无散场可以用另一个矢量的旋度表达，即无散场可以用另一个矢量的旋度表达，即一般称一般称 A 是矢量场是矢量场F 的矢量位的矢量位 恒定磁场的磁感应强度恒定磁场的磁感应强度B的散度处处为零，恒定磁场是的散度处处为零，恒定磁场是一个无散场，因此，磁感应强度一个无散场，因此，磁感应强度B可以表示矢量磁位可以表示矢量磁位A的旋的旋度，即度，即 。

方向导数方向导数梯度梯度通量通量散度散度环量环量环量面密度环量面密度旋度旋度取体密度取体密度取最大值取最大值取最大值取最大值Ø梯度、散度、旋度定义：梯度、散度、旋度定义：梯度、散度、旋度定义：梯度、散度、旋度定义：判断下列矢量场的散度和旋度是否为零？判断下列矢量场的散度和旋度是否为零？上式称上式称为散度定理散度定理, 也称也称为高斯公式高斯公式1.3.4 1.3.4 高斯定理高斯定理既然矢量的散度代表的是其既然矢量的散度代表的是其通量的体密度通量的体密度, , 因此直观地可知因此直观地可知, , 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量总通量, , 即即 v从从数学角度数学角度可以认为高斯定理建立了可以认为高斯定理建立了面积分面积分和和体积分体积分的关系v从从物理角度物理角度可以理解为高斯定理建立了区域可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区中的场和包围区域域 V 的闭合面的闭合面 S 上的场之间的关系上的场之间的关系v如果已知区域如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，上的场，反之亦然。

反之亦然散度定理的物理意义：散度定理的物理意义：因因为旋度代表旋度代表环量的面密度量的面密度, 因此矢量因此矢量场在在闭曲曲线 l上的上的环量量就等于就等于l 所包所包围的曲面的曲面S上的旋度之上的旋度之总和和, 即即 此式称此式称为斯托克斯斯托克斯定理或定理或斯托克斯公式斯托克斯公式1.3.5 1.3.5 斯托克斯定理斯托克斯定理 同高斯定理类似，从数学角度可以认为同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯斯托克斯定理建立定理建立了了面积分面积分和和线积分线积分的关系从物理角度可以理解为的关系从物理角度可以理解为斯托克斯斯托克斯定定理建立了区域理建立了区域 S 中的场和包围区域中的场和包围区域 S 的闭合曲线的闭合曲线 l 上的场之间上的场之间的关系因此，如果已知区域的关系因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界可求出边界 l 上的场，反之亦然上的场，反之亦然1.3.6 1.3.6 唯一性定理唯一性定理 + + 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在空间有限区域在空间有限区域 V 内的某一矢量场内的某一矢量场 F，由它的，由它的散度散度、、旋度旋度和和边界条件边界条件唯一地确定唯一地确定，且可被表示为一个，且可被表示为一个标量函数的梯度标量函数的梯度和一和一个个矢量函数的旋度矢量函数的旋度之和之和，即，即 式中式中•研究一个矢量场时一定要从散度和旋度两个方面进行。

•既要导出矢量场散度应满足的关系，又要导出矢量场旋度应满足的关系，这种关系决定了场的基本性质,故又称为微分形式的基本方程•也可用矢量沿闭合面的通量和矢量沿闭合路径的环流去研究，从而得到积分形式的基本方程 Ø亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理定理的意义电磁场基本规律电磁场基本规律麦克斯韦方程组积分形式麦克斯韦方程组微分形式全电流定律全电流定律电磁感应定律电磁感应定律磁通连续性原理磁通连续性原理高斯定律高斯定律辅助方程：辅助方程：1.4 麦克斯韦方程组电磁能流方程：电磁能流方程：第一章 静电场 基本实验定律（库仑定律）基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）基本物理量（电场强度）EE 的的旋度旋度E E 的的散度散度基本方程基本方程微分方程微分方程边值问题边值问题唯一性定理唯一性定理分界面衔接条件分界面衔接条件电位电位（（ ））边界条件边界条件数值法数值法有限差分法有限差分法解析法解析法直接积分法直接积分法分离变量法分离变量法镜像法，电轴法镜像法，电轴法静电参数静电参数( (电容及部分电容电容及部分电容) )静电能量与力静电能量与力图图1.0 1.0 静电场知识结构图静电场知识结构图§1-1　电场强度　电场强度一　预备知识一　预备知识 二　电场强度矢量二　电场强度矢量——从力的强弱侧面反映电场强弱从力的强弱侧面反映电场强弱 1.基本电荷基本电荷 2.电荷守恒定律电荷守恒定律 3.研究静电荷的物理模型研究静电荷的物理模型——点电荷模型点电荷模型 4.点电荷的静电作用力点电荷的静电作用力——库仑实验定律库仑实验定律1. 电场强度的定义电场强度的定义 2.电场强度的计算电场强度的计算一　预备知识一　预备知识 1.基本电荷基本电荷 基本电荷基本电荷：物体携带电荷电量的最小单位：物体携带电荷电量的最小单位(e =1.602×10-19 C)。

　　说明说明：任何带电体携带的电量都是基本电荷的整数倍任何带电体携带的电量都是基本电荷的整数倍2.电荷守恒定律电荷守恒定律 电荷守恒定律：电荷守恒定律：当物体携带电荷发生转移时，其当物体携带电荷发生转移时，其电荷总量守恒电荷总量守恒 说明说明：理论探明，电荷守恒是规范对称的必然要求：理论探明，电荷守恒是规范对称的必然要求3.研究静电荷的物理模型研究静电荷的物理模型——点电荷模型点电荷模型 当当带带电电体体自自身身线线度度和和与与其其相相互互作作用用的的带带电电体体之之间间的的距距离离相相比比可可以以忽忽略略不不计计时时，，可可将将该该带带电电体体当当作作没没有有体体积积、、但但集集中中了了所所有有电电量的量的数学点数学点，该数学点称为点电荷该数学点称为点电荷自然界中只存在两种电荷：自然界中只存在两种电荷：正电荷正电荷和和负电荷负电荷q1q2rF4.点电荷的静电作用力点电荷的静电作用力——库仑实验定律库仑实验定律 真空中真空中, 点电荷点电荷 q1 对点电荷对点电荷 q2 的作用力为的作用力为 说明说明：：A.适用条件：静电荷的点电荷模型适用条件：静电荷的点电荷模型B.矢量性、独立性矢量性、独立性——大小、方向、运算法则、叠加原理。

大小、方向、运算法则、叠加原理同号电荷相斥同号电荷相斥, 异号电荷相吸异号电荷相吸电力作用相互性：电力作用相互性：电力相互作用电力相互作用er 是从点电荷是从点电荷q1指向点电荷指向点电荷q2的单位矢量的单位矢量 r 则表示两个点电荷之间的距离则表示两个点电荷之间的距离 电力叠加原理电力叠加原理实验证明：实验证明：实验证明：实验证明：多个点电荷存在时，任意一个点电荷受的静电力等于多个点电荷存在时，任意一个点电荷受的静电力等于其它各个点电荷对它的作用力的矢量和其它各个点电荷对它的作用力的矢量和q1q0q2q3qn库仑定律库仑定律电力叠加原理电力叠加原理是静止电荷相互作用的基本实验定律是静止电荷相互作用的基本实验定律有限大小的带电体间相互作用力的计算？有限大小的带电体间相互作用力的计算？在在带电体上取电荷元带电体上取电荷元点电荷点电荷点电荷系点电荷系库仑定律库仑定律积分积分电场强度的定义电场强度的定义：：二、二、电场强度矢量电场强度矢量————从力的强弱侧面反映电场强弱从力的强弱侧面反映电场强弱 1. 电场强度的定义电场强度的定义 电场强度（电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正电荷在电场表示单位正电荷在电场中所受到的力中所受到的力 F , 它它是空间坐标的矢量函数是空间坐标的矢量函数, 定义式给出了定义式给出了E 的的大小大小、、方向方向与与单位单位。

a. 任何电荷都在其周围空间产生电场任何电荷都在其周围空间产生电场b. 电荷之间的相互作用力是通过电场来进行的电荷之间的相互作用力是通过电场来进行的电场电场电荷电荷q1电荷电荷 q2F12F21 设设源源电电荷荷是是由由n个个点点电电荷荷q1, q2,… qn构构成成,在在该该电电场场中中试试验验电荷电荷qo受的力为受的力为2. 电场强度的叠加原理电场强度的叠加原理上上式式表表示示:在在n个个点点电电荷荷产产生生的的电电场场中中某某点点的的电电场场强强度度等等于于每每个个点点电电荷荷单单独独存存在在时时在在该该点点所所产产生生的的电电场场强强度度的的矢矢量量和和, 这这一一结果称为场强叠加原理结果称为场强叠加原理 式中，式中，Ei 是电荷是电荷 qi 单独存在时产生的电场强度单独存在时产生的电场强度E 的大小：的大小：E 的方向：的方向：若若q > 0, 电场方向电场方向由点电荷沿径向指向四周由点电荷沿径向指向四周；； 若若q < 0, 则反向即点电荷的电场具有球对称性即点电荷的电场具有球对称性3.3.电场强度的计算！电场强度的计算！0.位于原点的点电荷位于原点的点电荷 q 在在 P 点产生的电场点产生的电场V/ma) a) 单个单个点电荷产生的电场强度点电荷产生的电场强度Ø叠加积分法计算电场强度叠加积分法计算电场强度E空间任意点电荷产生的电场空间任意点电荷产生的电场其中，其中， b) n 个点电荷产生的电场强度个点电荷产生的电场强度 (矢量叠加矢量叠加)c) 连续分布电荷产生的电场强度连续分布电荷产生的电场强度由由n个个点点电电荷荷q1, q2, … qn 产产生生的的电电场场，，可可利利用用点点电电荷荷场场强强公公式式，，直接由叠加原理，求得直接由叠加原理，求得对对电电荷荷连连续续分分布布的的带带电电体体,可可划划分分为为无无限限多多个个电电荷荷元元 dq , 用用点点电电荷荷的场强公式积分。

的场强公式积分电荷元电场电荷元电场 例例1 有一均匀带电直线，单位长度的电量为有一均匀带电直线，单位长度的电量为  (电荷线密度电荷线密度)，，求离直线的距离为求离直线的距离为 a 的的 P 点处的场强点处的场强 解解: 此类题可按下列步骤求解此类题可按下列步骤求解: (1) 建立适当的坐标系建立适当的坐标系，如图所示如图所示 (2) 将直线分为长将直线分为长 dx 的无限多个电荷元的无限多个电荷元 dq =   dx (视为点电视为点电荷荷)，并写出一个有代表性，并写出一个有代表性(位置用变量位置用变量 x 表示表示)的电荷元在的电荷元在 P 点点产生的电场：产生的电场：由于不同位置的电荷元在由于不同位置的电荷元在 P 点产点产生的场强生的场强 dE 方向不同方向不同, 故应将故应将 dE 向向 x 轴和轴和 y 轴方向投影轴方向投影, 有有(3) 分析问题的对称性分析问题的对称性dExdEyoPaxy xdq= dx dxrdEx= dE cos  (4)统一积分变量统一积分变量,定积分限定积分限,完成完成积分积分,得到所求场强分量式得到所求场强分量式x = -a ctg dEy= dE sin  1 2dExdEyoPaxy xdqdxr转换变量，方便积分运算转换变量，方便积分运算dE 沿沿 x 和和 y 方向的分量为：方向的分量为： (1) 对无限长带电直线对无限长带电直线, 说明说明: : (2) 对平面、柱面的场强求解，可利用带电直线公式进行积分。

对平面、柱面的场强求解，可利用带电直线公式进行积分  1= 0和和  2=   ；代入得；代入得 1 2dExdEyoPaxy xdqdxr例例例例2. 2. 一无限大带电平面，面电荷密度一无限大带电平面，面电荷密度   ，，求其电场分布求其电场分布yx.P解：解：解：解：平面可看成无数条宽为平面可看成无数条宽为 dy 的细线组成的细线组成每个每个 dy 在在 P 点产生的场为：点产生的场为：由对称性：由对称性：方向垂直于平面方向垂直于平面r(匀强电场匀强电场)E=0E=0记住无限大记住无限大平面电场！平面电场！+-正负电极板间的电场正负电极板间的电场两正电极板间的电场两正电极板间的电场解：解：解：解：由对称性可知，由对称性可知，P点场强只有点场强只有x分量分量例例例例3. 3.均匀带电圆环轴线上一点的场强均匀带电圆环轴线上一点的场强 （圆环带电量为（圆环带电量为 q，，半径为半径为 R））讨论：讨论：讨论：讨论：方向由方向由 q 的正负决定的正负决定说明远离环心的场强相当于点电荷的场说明远离环心的场强相当于点电荷的场P（（1）当）当（（2）当）当（（3）考虑）考虑E最大值对应位置点最大值对应位置点 任何均匀带电的旋转体任何均匀带电的旋转体(如圆形、球形、柱形如圆形、球形、柱形)用圆环公式积分求电场最为方便。

用圆环公式积分求电场最为方便由极值定理由极值定理得：得： 作作 业业2.3.试证明下列各题试证明下列各题1.参考参考《《电磁场与电磁波电磁场与电磁波》》—杨儒贵杨儒贵 主编主编P7P17P164. P13 习题习题 1-1-1 Thanks！。