中考教育数学锐角三角函数经典压轴题含学习解析.docx

中考教育数学锐角三角函数经典压轴题含答案学习分析中考数学锐角三角函数-经典压轴题含答案分析一、锐角三角函数1．某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，仰头向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40o，从前脚落地址D看上嘴尖A的仰角恰好60o，CB＝5m,CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参照数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84.21.41,31.73）【答案】AB的长约为0.6m．【分析】【分析】作BFCE于F，依照正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可．【详解】解：作BFCE于F，在RtBFC中，BF＝BCsinBCF3.20，CF＝BCcosBCF3.85，在RtADEE中，DEAB331.73，tanADE3BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CDDE﹣CF＝0.58由勾股定理得，ABBH2AH20.6(m)，答：AB的长约为0.6m．【点睛】观察的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的看法、熟记锐角三角函数的定义是解题的要点．2．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值.【答案】（1）证明见分析；（2）PA=3，tanD=.【分析】试题分析:（1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，尔后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，尔后依照切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，尔后依照射影定理可求PC的值，进而可求OP的值，尔后依照勾股定理可求AP的值．试题分析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直均分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90，°∴∠PAO=90，°即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OCPC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判断与性质；2.相似三角形的判断与性质；3.解直角三角形．3．如图13，矩形的对角线，订交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完好程所需的时间．【答案】（1）详见分析；（2）①②和走完好程所需时间为【分析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的地址，再计算运到的时间试题分析：解：（1）证明：四边形是矩形.与交于点O,且关于对称.；四边形是菱形.（2）①连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中，为的中点，且O为AC的中点为的中位线同理可得：为的中点，②过点P作由运动到交于点所需的时间为3s由①可得，点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A即：由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.以以下图，当P运动到,即时，所用时间最短.在中，设解得：和走完好程所需时间为考点：菱形的判断方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特别地址4．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．1）求tan∠DBC的值；2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【分析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线分析式能够求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果获取：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，经过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题分析：1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45．°在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45，°∴∠PBF=∠DBC，tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数5．如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F.（1）求证：DF⊥AC；（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值.【答案】(1)证明见分析;(2)tan∠BCO=3.9【分析】试题分析：（1）连接OD，依照三角形的中位线定理可求出OD∥AC，依照切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．（2）过O作OF⊥BD，依照等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，依照三角函数的定义求解．试题分析：证明:连接OD∵DE为⊙O的切线,∴OD⊥DE∵O为AB中点,D为BC的中点∴OD‖AC∴DE⊥AC(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD在Rt△BFO中，∠ABC=30°∴OF=1OB,BF=3OB22∴ BD=DC,BF=FD，FC=3BF=33OB2OF1OB32在Rt△OFC中，tan∠BCO=.FC33OB92点睛：此题主要观察了三角形中位线定理及切线的性质与判断、三角函数的定义等知识点，有必然的综合性，依照已知得出OF=1OB，BF=3OB，FC=3BF=33OB是解题关222键．6．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主授课楼AB的高度，由于授课楼底部不能够直接到达，故兴趣小组在平川上选择一点C，用测角器测得主授课楼顶端A的仰角为30°，再向主授课楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同素来线上），又测得主授课楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主授课楼AB的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【分析】【分析】第一分析图形，依照题意构造直角三角形．此题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=3，AGAG∴FG=，tanAFG3在Rt△ACG中，tan∠ACG=AG，CGAG∴CG=tanACG=3AG．又∵CG﹣FG=24m，AG即3AG﹣=24m，3AG=123m，∴AB=123+1.6≈22m.4．7．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O0,0，点A3,0，点C0,4，连接OB，以点A为中心，顺时针旋转矩形AOCB，旋转角为0360，获取矩形ADEF，点O,C,B的对应点分别为D,E,F.(Ⅰ)如图，当点D落在对角线OB上时，求点D的坐标；(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB与DE交于点H.①求证BDEDBA；②求点H的坐标.(Ⅲ)为何值时，FBFA.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D的坐标为(54,72)；(Ⅱ)①证明见分析；②点H的坐标为(3，25)；25258(Ⅲ)60或300.【分析】【分析】(Ⅰ)过A、D分别作AMOB,DNOA，依照点A、点C的坐标可得出OA、OC的长，依照矩形的性质可得AB、OB的长，在Rt△OAM中，利用∠BOA的余弦求出OM的长，由旋转的性质可得OA=AD，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM，在Rt△ODN中，利用∠BOA的正弦和余弦可求出DN和ON的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA，依照锐角互余的关系可得ABDBDE，利用SAS即可证明△DBA≌△BDE；②依照△DBA≌△BDE可得∠BEH=∠DAH，BE=AD，即可证明△BHE≌△DHA，可得DH=BH，设AH=x，在Rt△。