北京文科高考真题-导数和极限.pdf

1 4北京文科导数与极限一 选 择、填空题1（0 7 北京文）9.7（无）是/（x）=g/+2x +l 的导函数，则/（一 1）的值是2（0 8 北京文）（1 3）如图,函数外）的图象是折线段A B C,其中A,B,C的坐标分别为（0,4）,（2,0）,（6,4）（则 欢 0）=;函数4 x）在 4 1处的导数/）=.1.(3)2.(2,-2)二解答题1 （0 5 北京文）（1 9）（1 4 分）已知函数y（x）=一丁+3 +9 工+I）求大x）的单调递减区间；（II）若人x）在区间-2,2 上的最大值为2 0,求它在该区间上的最小值.解：（I）/（X）=3X2+6X+9.令/（X）0,解得 X 3,所以函数1 x）的单调递减区间为（-8,-1）,（3,+o o）.（II）因为八一2）=8+1 2 1 8+2+“，负2）=8+1 2+1 8+“=2 2+，所以1 2）次-2）.因 为 在（一1,3）上尸（x）0,所以段）在 T,2 上单调递增，又由于4 x）在-2,1 上单调递减，因此.穴2）和八一1）分别是凡r）在区间 2,2 上的最大值和最小值，于是有 2 2+4=2 0,解得 a=-2.故火）=一丁+3+9 _ 2,因此负-1）=1+3 9-2=7,即函数人）在区间-2,2 上的最小值为一7.2（0 6 北京文）1 6 （1 3分）已知函数/（x）=加+法 2+c x 在点/处取得极大值5,其导函数y =/（x）的图象经过点（1,0）,（2,0）,如图所示.求:(I)X。

的值;(n )a,b,c 的值.解法一:(I )由图象可知,在(-8,1)上可，任)0,在(1,2)上/(x)0.故人外在(-%i),(2,+8)上递增，在(1,2)上 递 减.因 此 4 x)在 处 取 得极大值，所以必=1.(H)f M=3ax2+2bx+c,由/(1)=0,f(2)=0,%)=5,3a+2b+c-0,得“1+4/?+c =0,解得 a-2,b-9,c=1 2.a+b+c=5.解法二：(I)同解法一.(II)设 f (x)-m(x-)(x-2)-nv-3mx+2m,又 f(x)-3a)+2bx+c,所以m,3a-,b=m,c=2m,3 2加 3 3 2 c,m3fix)-x mx+2 nix.由式1)=5,即-m +2 m =5,得3 2 3 2m=6.所以 a=2力=9,c=1 2.3(07北 京 文)20 .(本 小 题 共 14 分)已 知 函 数 丁 =日 与y =d+2(x 2 0)的图象相交于A(x，y),B g,%)，4，4分别是y =d+2(x 2 0)的图象在A,B两点的切线，M,N 分别是八b 与x轴的交点.(I)求人的取值范围；(H)设，为点用的横坐标，当不 0，(II)由/(x)=2 x,求得切线4 的方程为y =2X I(x-X|)+y,由 y=X；+2,并令 y =0,得/=五一_12%）王，马是 方 程 的两实根，且与%2，故k 一收一8 4X,=-=-7=，2 k+k2-Sk2 近,士是关于上的减函数，所以的取值范围是（0,及）.f是关于玉的增函数，定义域为（0,、历），所以值域为（8,0）,（III）当王 芝时，由（II）可知|0叫=一5+，类似可得|。

叫=半 _；.|0徵|叫=_ 七 迨+五 土 强.由 可知%=2 .从而|O N|=0 .当 不时，有相同的结果|必|一|次|=0 .所OM=ON.4（0 8 北京文）（1 7 ）（1 3 分）已 知 函 数/(x)=x3+OX1+3/?x+c(w O),且g(x)=f(x)2 是奇函数.(I )求 ,c的值；(I D求函数危)的单调区间.解：(I )因为函数g)可-2为奇函数，所以，对任意的x R,g(二-g(幻，即/(-%)2=-f(x)+2.又 J(x)=x+cu+3 bx+c,f i f f l i l-x3+t 7 J V2-3Z?x+c-2=-x3-6 f J v2-3 fe x-c 4-2.(I I )由(I )j(x)=x3+3bx+2.所以/(x)=3/+3/?(厚0).当b 0时，由了(x)=0得4土 匚 石.x变化时,/(x)的变化情况如下表:(-00,-A/-)-J b,J b)所以，当b 0时，/(x)0.所以函数f(x)在(-0 0,+oo)上单调递增.5 (0 9北京文)18.(本小题共14分)设函数f(x)-3ax+b(a*0).(I)若曲线y =/(x)在点(2,/(2)处与直线y =8相切，求。

力的(I I)求函数/(%)的单调区间与极值点.(I )/(X)=3X2-3 ,.曲线 y =/(x)在 点(2J(2)：处与直线y =8相切,3(4-a)=08 64,b=24.(I I)/(x)=3(x2-)(a 0),当a 0,函数/(x)在(T O,中功上单调递增，此时函数/(%)没有极值点.当”0时，由 /(%)=O =x =&,当了4-8,-时，/(x)0,函数/(尤)单调递增，当时，/(x)0 函数/(x)单调递增，此时x=-a是f(x)的极大值点，x =G 是/(x)的极小值点.6 (1 0北京文)18 .(本小题共1 3分)设 函 数/(x)=x3+/x2+c r+0),且方程/(x)-9 x =0 的两个根分别为 1 ,4 .(I )当a=3 且曲线y =x)过原点时，求 的 解 析 式；(I I )若/(X)在(-0),贝U P (x)=2a x,k1=2a,g(x)=x3+b x,则 g (x)=3 x2+b,k2=3+b,由(1,c)为 公 共 切 点，可 得：2a=3+b 又 f(1)=a+l,g(1)=l+b,a+l=l+b 即a=b,代 入 式，可 得：a=3,b=3.(2)当 a=3,b=-9 时，设 h(x)=f(x)+g(x)=x3+3 x2-9 x+l则 h (x)=3X2+6X-9,令 h (x)=0,解 得:X|=-3,X 2=l；.*.k -3时，函 数h(x)在(-8,-3)上 单 调 增，在(-3,1上 单 调 减，(1,2)上 单 调 增，所 以 在 区 间 k,2上的最大值为h(-3)=28-3 V k 2时，函 数h(x)在 区 间 k,2上 的 最 大 值 小 于28所 以k的 取 值 范 围 是(-8,-3 9 (13 北 京 文)18.(13 分)已知函数/(X)=炉+x s in x+c os x(1)若曲线y =/(x)在点(a,7(a)处与直线y =b相切，求。

与2)若曲线)，=/(x)与直线y =b有两个不同的交点，求力的取值范围解：(1)f (x)=2x+xcosx=x(2+c o s x)因为曲线 y =/(x)在点(a,/(a)处的切线为y =8fa)=0 2a +c os =0 fa =0所以,，即0 所以当无 0时/(x)0,/(x)单调递增当x0时/(x)0,/(x)单调递减所以当x =0 H寸，/(外 取得最小值/(0)=1,所以匕的取值范围是(L+0 0)10 (14北京文)2 0.(本小题满分13分)已知函数/()=2丁 3 x.(1)求/(x)在 区 间 上 的 最 大 值；(2)若过点尸(1J)存在3条直线与曲线y =/(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(-l,2),5(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线丁 =/(幻相切？(只需写出结论)解：(I )由 f(x)=2x，-3 x 得 f(x)=6 x2-3,令F (x)=0得，x二-返 或 小 返，2 2Vf(-2)=-10,f(-返)=正，f(返)=-血，f(1)=-1,2 2：.f(x)在区间-2,1上的最大值为力.(I I )设过点P (1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x o，y o),则y=2x/3 x。

且切线斜率为k=6切线方程为y-3)(1-X n),同3X O46 xv02+t+3=0,设g(x)=4 x3-6 x2+t+3,则“过 点P (1,t)存 在3条直线与曲线y=f(x)相切”，等价于“g(x)有3个不同的零点”.*.*g,(x)=12x2-12x=12x (x -1),/.g(x)与 g，(x)变化情况如下:X(-G O,0)0 (0,1)1(1,g(X)+o-0g(x)/t+3 Xt+1；.g(0)=t+3是g(x)的极大值，g(1)=t+l是g(x)的极小值.当 g(0)=t+3 -1 时，g(x)在 区 间(-8,0 和(0,+oo)上分别至多有一个零点，故g(x)至多有2个零点.当 g(0)0 且 g(1)0,B P -3 t -I 时，Vg(-1)=t-7 0,A g(x)分别在区间-1,0),0,1)和 1,2)上 恰 有1个零点，由于g(X)在 区 间(-8,0)和 1,+oo)上单调，故g(X)分别在区间(-8,0)和 1,4-0 0)上恰有1个零点.综上所述，当过点过点P(l,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时，t的取值范围是(-3,-1).(I ll)过点A (-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B (2,10)存在2 条直线与曲线y=f(x)相切；过点C (0,2)存 在 1 条直线与曲线y=/(x)相切.X11(15 北京文)(19)(13 分)设函数/(x)=-Z in 尤,k 0.(I )求 的 单 调 区 间 和 极 值；(I I)证明：若f(x)存在零点，则/(X)在区间(1,五 上仅有一个零点。

X 2卜 v-2 K解：(1)由/的=khk 0 得：f(x)=x一一=-，由2 x x/，(幻=0解 得 工=五/(%)与 八 幻 在区间(0,+8)上的情况如下：X(0,m)&(,+oo)/5)-0+/(X)k(l-ln k)2所以，/(X)的单调递减区间是(),、),单调递增区间是(、伍,+8);fix)在 x=处取得极小值于=0；展)(I I )由(I )知，/(%)在 区 间(K o o 上 的 最 小 值 为/(G)=因为/(x)存在零点，所以从而k i e当G =e 时，/(x)在区间(1,&)上单调递减，且/(&)=0,所以x=&是/(x)在区间(1,五 上的唯一零点当 k e时，/(%)在 区 间(觞上 单 调 递 减，且/=；0,/(五)=0是/(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.解：函 数 f (x)=x3+a x?+b x+c 的导数为 f (x)=3 x2+2 a x+b,可得y=f (x)在 点(0,f (0)处的切线斜率为k=F(0)=b,切 点 为(0,c),可得切线的方程为y=b x+c；(2)设 a=b=4,即有 f(x)=X3+4X2+4X+C,由 f(x)=0,可得-c=x3+4 x2+4 x,由 g (x)=x3+4 x?+4 x 的导数 g (x)=3X2+8X+4=(X+2)(3X+2),2,当 x -w 或 x 0,g (x)递增；2当-2 x-w时，s(x)0,g (x)递减.即有g (x)在X=-2处取得极大值，且为0；g (x)在x=-g处取得极小值，且 为-第 .3 2739由函数f(x)有三个不同零点，可 得-为-c0,解得0 c0,即 4 a2-12 b 0,即为 a2-3 b 0；若 a 2-3 b 0,即有导数f (x)=3 x?+2 a x+b 的图象与x 轴有两个交点,当 c=0,a=b=4 时,满足 a 2-3 b 0,即有火X)=X(X+2)2,图象与x 轴交于(0,0),(-2,0),则 f (x)的零点为 2个.故 a2-3 b 0 是 f (x)有三个不同零点的必要而不充分条件.13 (17 北京文)2 0.(13 分)已知函数/(x)=ecosx-x.(1)求曲线y守(X)在 点(0,/(0)处的切线方程；1T(2)求函f(x)在区间 0,5 上的最大值和最小值.解：(1)函数 f (x)=exco s x-x 的导数为/(x)=ex(co。