修正混合Halpern迭代序列的强收敛性【文献综述】.doc

毕业设计文献综述数学与应用数学修正混合Halpern迭代序列的强收敛性非线性算了方程属于非线性泛函分析的范畴，是泛函分析的理论和应用的一个重要组 成部分，它的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分，而且在微分方程，积分方程, 力学，控制论，对策论，经济平衡理论，交通运输，社会和经济模型等许多方面都有着重要 的应用.因此，研究非线性算了方程解的存在性及迭代算法理论不仅具有重要的理论意义, 而且也具有重要的应用价值.而非线性算子方程的解往往可以转化为某个非线性算子的不 动点问题.自20世纪初著名的Banach压缩映像原理⑴和Brouwer不动点定理⑵问世以来, 特别是最近二三十年-来，由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力，这门学科的理论及 hVJ\\的研究己取得重要的进展，并且口趋完善.非线性算子类型很多，包括压缩映像，非扩张映像，伪压缩映像，渐近非扩张映像，渐 近伪压缩映像，单调映像，增生映像等等.非扩张映像是压缩映像的一种推广，在求解方程的不动点的问题上起到很重要的作用, 它在近代数学许多分支都有应用，特别是在非线性半群，遍历定理和单调算了理论方面有着 重要的应用.随者非扩张映像不动点理论的发展，学者们得出了关于非扩张映像的一系列结 论.其中，非扩张映像的定义为设E是一实Banach空间，C是E中的闭凸了集，T .C — C的一个映射，若||7x-7>||<||A-y||, Vx,*.则T是一非扩张映像.Mann⑶受到Banach压缩映像原理的启发，在1953年,Mann引进了如下迭代方法，称为Mann迭代格式(1.1)Vx() G C,由=(1一。

)也+八7\，其中E是Banach空间，是E的闭凸了集，｛｝<=[0, 1].对于非扩张映像我们可以利用Mann迭代序列得到弱收敛定理，而要想得到强收敛定理却要加上一定的紧性条件.1974年,Ishikawa*提出了比Mann迭代序列更一般的形式，即Ishikawa迭代序列Vx0 w C,f+1=(1一匕)儿+"乂，(]2) 事=(1-s〃反+sj\,心 0.其中C是Banach空间C的闭凸子集,化｝, ｛ %｝u[0, 1].Mann迭代序列对于非扩张映像即使在Hilbert空间框架下也没有强收敛定理，但是用 Halpern迭代序列逼近非扩张映像不动点是一个有效的算法，可以得到强收敛定理.1967年,Halpern[5)首次引进了如下迭代格式< / 、 (1.3)氐="+(1-%)言Halpern指出如果迭代序列(1.3)收敛于7中的不动点.贝此％｝满足以下两个条件lim〃* % = 0, XL % = 00 •1977年,Lions161研究了在Hilbert空间中满足下列条件lim a = 0, V = oo, lim —―r 1 - = 0.n 7 / / n ，%则迭代序列(1.3)强收敛于7在C+-个不动点.然而，Lions的条件在参数的选择上是更加严 格，但是排除了 ｛%=：｝的这种日然选择. 1980年，Reich〔"提出如果空间已是一个一致光 滑的，并且｛%｝ = /?T(Ov$vl),贝怡迭代序列(1.3)强收敛于丁的一个不动点.最近Xu[8]改进了 Lions的结果，他证明了如果｛%｝满足条件lim att = 0, ｝ % = oo, lim — = 0./?—>cc /?—>00 ry〃=1 f则迭代序列(1.3)强收敛.1992年,Wittmann网克服了这个缺陷，指出当E是一个Hilbert空间，并且｛%｝满足CO Slim % = 0, Z % = 00， E l%+i — % I v oo‘1* n=l n=\则迭代序列(1.3)强收敛于丁在C中一个不动点.1994年，Reich［10］指出当E是一个一致光滑并且具有弱连续的对偶映像，可以减少两个必要的条件，迭代(1.3)也成立.最近Chang回继续研究迭代格式，当E是一致光滑Banach空间，并且｛%｝满足Slim au - 0,〃一＞8Z%=，hxFTO.〃=1则｛丛｝强收敛于丁的一个不动点.张石生教授在最近的文章【⑵中也证明了上述定理.同时，关于迭代参数限制的放宽和算法的改进研究一直是该领域的重要课题.引入夏合 Halpern迭代程序得到了非扩张映像的强收敛定理不仅具有重要的理论意义，而且也具有重 要的应用价值.近几年秦小龙等人回给出如下复合Halpern迭代格式& =兀/〃+(1一儿)7\,5 =龙总+(1-四)及” (14)、知i=" + (l-％)丹・其中，“是C中任一给定的一个点,｛%｝, ｛腐｝和化｝是［0,1］中的实序列.在参数｛%｝, ｛及｝和｛/｝满足一定条件下,证明了在(1.4)定义下的｛%｝强收敛于T的一个不动点.在(1.4) 中，如果片=0,儿=1,那么我们就得到通常的Halpern迭代格式(1.3).当儿=1,则(1.4) 迭代格式如下［易袒=%"+(1一%)义・ •称此迭代格式为两步Halpern迭代格式.2007年，邢林芳［⑷研究了非扩张映像不动点的迭代逼近问题以及应用.2008年，Qin, Su和Shang引入的复合Halpern迭代更一般的具误差项的p -步复合 Halpern新迭代，在一•致光滑Banach空间框架下，对迭代参数作适当的假定，证明了此算法 强收敛于非扩张映射的不动点，从而将Qin、Su和Shang［顷的2008年结果从无误差项的三 步复合Halpern迭代木质地推广到具误差项的多步复合Halpern迭代 与此同时，姚永红等人 问提出两步Halpern迭代，而秦小龙等人的提出了三步粘滞迭代序列，证明了 ｛舄 强收敛 到T的不动点，其中T是非扩张映像.近几年来，粘滞迭代方法也是众多学者关注的对象，不仅利用这种方法研究非线性算子 方程的不动点，而且用来研究变分不等式解的问题.2000年，MoudaM引入粘滞迭代方法 逼近给定非扩张映像的特定不动点，具体证明了如下定理定理1设E是一致光滑的Banach空间，C是E的闭凸了集，映像T.CtC是具有 非空不动点集的非扩张映像，f enc是一收缩.又设序列｛%,｝ u（0,1）且满足下列条件限 制（z） liman =0 ;co（H） % = ；同（Hi） lim角11 = 1 或-an 0.产生的序列｛丛｝就强收敛到映像丁的不动点.2004年，Xu网改进了 Moudaf［，?l的结果，在一致光滑的Banach空间中给出了非扩张粘 滞迭代的强收敛定理.2005年，Song和Chen网对Xu网的结果进行了推广与改进.2006年, Marino和Xu网研究了 Hilbert空间中非扩张映像的不动点的迭代逼近问题.同年, Martinez 和Xu［2，］在Hilbert框架下借助于度量投影，针对非扩张映像修正了 Ishikawa迭代程序.2010年，杨柳，王元恒研究了在一致光滑Banach空间框架下建立了三步粘滞迭代格 证明了三步粘滞迭代序列逼近非扩张映像不动点的强收敛定理 总=兀冉+（1-儿）片"20< y〃=—x“+（l 0 （L6）由=%/00+（1一%）义・〃2。

证明了当｛%｝, ｛/?〃｝, ｛儿｝满足一定条件时，（1.6）中的序列｛兀,｝强收敛到7的不动点.显 然，在（1.6）中令儿=1就变成了两步修正迭代序列，令f（x„） = u就变成了三步复合Halpern迭代序列.本文在一致光滑Banach空间中的非扩张映像下主要通过构造一步Halpern迭代序列和两 少Halpern迭代序列，以及一步粘滞迭代序列和两步粘滞迭代序列来研究非扩张映像的修正 混含Halpern迭代序列的强收敛性.参考文献[I ] S. Banach. Surlcs operations dans les ensembles abstraitset leur application ausequations integreles [J]. Fund. Math., 1922, 39: 133〜181.[2] L. E. J. Brouwer. Uber Abbildungv on Manigtaltigkeiten [J]. Math. Ann., 1912, 71: 97〜114.[3] W. R. Mean value methods in iteration [J]. Proc. Amer. Math. Soc., 1953,4: 506〜510.[4] S. Ishikawa. Fixed point by a new iteration method [J]. Proc. Amer. Math. Soc., 1974, 44: 147〜150.[5] B. Halpern. Fixed points of nonexpansive maps [J]. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)., 1967, 73: 957〜961.[6] P. L. Lions. Approximation de points fixes be contractions [J]. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser., 1977, 284: 1357〜1359.[7] S. Reich. Strong convergence theorems for resolvent of accretive operators in Banach spaces [J]. J. Math. Anal. Appl., 1980, 75: 287〜292.[8] H. K. Xu. Another control condition in an iterative method fbr nonexpansive mappings [J]. Bull. Austral. Math. Soc., 2002, 65: 109-113.[9] R. Wittmann. Approximation of fixed points nonexpansive mappings [J], Arch. Math. (Basel)., 1992, 59: 486〜491.[10] S. Reich. Approximating fixed points of nonexpansive mappings [J], Panamer Math., 1994 4: 486〜491.[11] S. S. Chang. On Halperns open question [JJ. Acta. Math. Sinica., 2005,48: 979〜984.[12] S. S. Zhang. On Halperns open question [J]. Acta. Math. Sin., 2005, 48: 23〜34.[13] X. L Qin, Y. F. Su, M. J. Shang. Strong convergence of the composite Halpern iteration [J]. J. Math. Anal. Appl., 2008, 339: 996〜1002.[14] 邢林芳.非扩张映像不动点的迭代逼近及应用[D].天津工业大学,2007.[15] Y. Yao, R. Chen, J. C. Yao. Strong convergence and c。