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超级数学家柯尔莫哥洛夫关键词： 概率，统计，动力系统，俄国数学家2003年1月16日至21日，一批世界著名数学家云集莫斯科，参加一个名为"柯尔莫哥洛夫与当代数学（Kolmogorov and Contemporary Mathematics）"的学术会议会议规格之高，与国际数学家大会类似：12位当今一流的数学家做1小时主题报告，其中包括菲尔兹奖获得者斯梅尔（S. Smale，1930-）、诺维科夫（S. P. Novikov，1938-），沃尔夫奖获得者阿诺尔德（V. I. Arnold，1937-）、希策布鲁赫（F. E. P. Hirzebruch，1927-）、卡尔森（L. Carleson，1928-）和西奈依（Y. G. Sinai，1935-）更多的人做了45分钟报告与20分钟报告这些报告或多或少地触及了柯尔莫哥洛夫（A. N. Kolmogorov）极广的研究领域4月29日，莫斯科大学又举行纪念会，隆重纪念这位20世纪的伟大数学家、数学教育家百年诞辰早年的经历柯尔莫哥洛夫1903年4月25日出生于俄国坦波夫省，1987年10月20日在莫斯科逝世他的祖父是牧师，父亲卡塔耶夫（N. Kataev）是位农学家，曾遭到流放，十月革命后回来担任农业部某部门的领导，1919年在战斗中牺牲。

母亲出生贵族，因难产而死柯尔莫哥洛夫的童年是在外祖父家度过的，姨妈把他抚养成人尽管出生后就失去了母爱，也从未得到父爱，但柯尔莫哥洛夫是在关爱中长大的在很小的时候，姨妈就教育他热爱学习知识，热爱大自然五六岁时，柯尔莫哥洛夫就独自发现了奇数与平方数的关系：1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,⋯体会到了数学发现的乐趣外祖父家办了一份家庭杂志《春燕》，年幼的柯尔莫哥洛夫竟然负责起其中的数学栏目来，他把自己的上述发现发表在杂志上6岁时，他随姨妈去了莫斯科，在一所被认为是当时最进步的预科学校读书求学期间，柯尔莫哥洛夫的兴趣异常广泛，他认真学习了生物学和物理学；14岁时，他从一部百科全书中学习了高等数学他对象棋、社会问题和历史也产生了兴趣1920年中学毕业后，柯尔莫哥洛夫当了短时间的列车售票员；工作之余，他写了一本关于牛顿力学定律的小册子同年，柯尔莫哥洛夫洛夫进莫斯科大学学习除了数学，他还学习了冶金和俄国史他对历史特别着迷，曾写了一篇关于15-16世纪诺夫格勒地区地主财产的论文关于这篇论文，他的老师、著名历史学家巴赫罗欣（S. V. Bakhrushin）说：· “你在论文中提供了一种证明，在你所研究的数学上这也许足够了，但对历史学家来说是不够的，他至少需要五种证明。

也许这位历史教授的回答对柯尔莫哥洛夫产生了重要影响：他选择了只需要一种证明的数学突入数学王国在莫斯科大学，柯尔莫哥洛夫听大数学家鲁津（N. N. Luzin，1883-1950）的课，且与鲁津的学生亚历山德罗夫（P. S. Alexandrov，1896-1982）、乌里松（P. S. Urysohn，1898-1924）、苏斯林（M. Y. Suslin）等有了学术上的频繁接触在鲁津的课上，这位一年级的大学生竟反驳了老师的一个假设，令人刮目相看柯尔莫哥洛夫还参加斯捷班诺夫（V. Stepanov，1889-1950）的三角级数讨论班，解决了鲁津提出的一个问题鲁津知道后对他十分赏识，主动提出收他为弟子尽管柯尔莫哥洛夫还只是一名大学生，但他却取得了举世瞩目的成就：1922年2月他发表了集合运算方面的论文，推广了苏斯林的结果；同年6月，发表了一个几乎处处发散的傅里叶级数（到1926年，他进而构造出了处处发散的傅里叶级数）据他自己说，这个级数是他当列车售票员时在火车上想出的柯尔莫哥洛夫一时成为世界数学界一颗闪亮的新星几乎同时，他对分析中的其他许多领域，如微分和积分问题、测度论等也产生了兴趣1925年，柯尔莫哥洛夫大学毕业，成了鲁津的研究生。

这一年柯尔莫哥洛夫发表了8篇读大学时写的论文！在每一篇论文里，他都引入了新概念、新思想、新方法他的第一篇概率论方面的论文就是在这一年发表的，此文与辛钦（A. Y. Khinchin，1894-1959）合作，其中含有三角级数定理，以及关于独立随机变量部分和的不等式，后来成了鞅不等式以及随机分析的基础他证明了希尔伯特变换的一个切比雪夫型不等式，后来成了调和分析的柱石1928年，他得到了独立随机变量序列满足大数定律的充要条件；翌年，又发现重对数律的广泛条件此外，他的工作还包括微分和积分运算的若干推广以及直觉主义逻辑等1929年夏，柯尔莫哥洛夫与亚历山德罗夫乘船从雅洛斯拉夫尔（Yaroslavl）出发，沿伏尔加河穿越高加索山脉，最后到达亚美尼亚的塞万（Sevan）湖，在湖中的一个小半岛上住下在那里，享受游泳和日光浴乐趣的同时，亚历山德罗夫戴着墨镜和巴拿马草帽，在阳光下撰写一部拓扑学著作此书与霍普夫（H. Hopf，1894-1971）合作，一问世即成为经典柯尔莫哥洛夫则在树荫下研究连续状态和连续时间的马尔可夫过程柯尔莫哥洛夫完成的结果发表于1931年，是扩散理论之滥觞两人的终生友谊即始于这次长途旅行。

亚历山德罗夫后来回忆道：· “1979年是我与柯尔莫哥洛夫友谊的五十周年，在整整半个世纪里，这种友谊不仅从未间断过，而且从未有过任何争吵在任何问题上，我们之间从未有任何误解，无论它们对于我们的生活和我们的哲学是如何重要；即便是在某个问题上有分歧，我们彼此对对方的观点也抱有完全的理解和同情而柯尔莫哥洛夫则把这一友谊看作是他一生幸福的原因！1930年夏，柯尔莫哥洛夫与亚历山德罗夫作了另一次长途旅行这次他们访问了柏林、格丁根、慕尼黑、巴黎柯尔莫哥洛夫结识了希尔伯特（D. Hilbert，1862-1943）、库朗（R. Courant，1888-1972）、兰道（E. Landau，1877-1938）、外尔（C. H. Weyl，1885-1955）、卡拉泰奥多里（C. Carathéodory，1873-1950）、弗雷歇（M. Fréchet，1878-1973）、波雷尔（E. Borel，1871-1956）、莱维（P. Lévy，1886-1971）、勒贝格（H. Lebesgue，1875-1941）等一流数学家，与弗雷歇、莱维等进行了深入的学术讨论1930年代是柯尔莫哥洛夫数学生涯中的第二个创造高峰期。

这个时期，他在概率论、射影几何、数理统计、实变函数论、拓扑学、逼近论、微分方程、数理逻辑、生物数学、哲学、数学史与数学方法论等方面发表论文80余篇1931年，柯尔莫哥洛夫被莫斯科大学聘为教授1933年，他出版了《概率论的基本概念》，是概率论的经典之作该书首次将概率论建立在严格的公理基础上，解决了希尔伯特第6问题的概率部分，标志着概率论发展新阶段的开始，具有划时代的意义同年，柯尔莫哥洛夫发表了"概率论中的分析方法"这篇具有重要意义的论文，为马尔可夫随机过程理论奠定了基础，从此，马尔可夫过程理论成为一个强有力的科学工具在拓扑学上，柯尔莫哥洛夫是线性拓扑空间理论的创始人之一；他和美国著名数学家亚历山大（J. W. Alexander，1888-1971）同时独立引入了上同调群的概念1934年柯尔莫哥洛夫研究了链、上链、同调和有限胞腔复形的上同调在1936年发表的论文中，柯尔莫哥洛夫定义了任一局部紧致拓扑空间的上同调群的概念1935年，在莫斯科国际拓扑学会议上，柯尔莫哥洛夫定义了上同调环1935年，柯尔莫哥洛夫和亚历山德罗夫在莫斯科郊外的一个名叫科马洛夫卡（Komarovka）的小村庄里买了一座旧宅邸。

他们的许多数学工作都是在这里完成的许多著名数学家都访问过科马洛夫卡，包括阿达玛（J. Hadamard）、弗雷歇、巴拿赫（S. Banach）、霍普夫、库拉托夫斯基（K. Kuratowski）等等莫斯科大学的研究生们经常结伴"数学郊游"，来到科马洛夫卡拜访两位数学大师，在那里，柯尔莫哥洛夫和亚历山德罗夫招待学生们共进晚餐到了晚上，学生们尽管有些疲劳，但总是带着数学上的收获快乐地回到莫斯科后来成为苏联科学院院士的著名数学家马尔采夫（A. I. Malcev）和盖尔范德（I. M. Gelfand）就是其中的两位研究生柯尔莫哥洛夫的博士生、著名数学家格涅坚科（B. V. Gnedenko）回忆说：· “对于柯尔莫哥洛夫的所有学生来说，师从柯尔莫哥洛夫做研究的岁月是终生难忘的：在科学与文化上的发奋努力、科学上的巨大进步、科学问题的全身心投入难以忘怀的是周日那一次次的郊游，柯尔莫哥洛夫邀请所有他自己的学生（研究生或本科生）以及别的导师的学生在这些30～35公里远直到波尔谢夫（Bolshevo）、克里亚竺马（Klyazma）和别的地方附近的郊游过程中，我们一直讨论着当前的数学（及其应用）问题，还讨论文化进步，特别是绘画、建筑和文学问题。

1930年代末，柯尔莫哥洛夫发展了平稳随机过程理论，美国数学家维纳（N. Wiener，1894-1964）稍后获得了同样的结果柯尔莫哥洛夫还把研究领域拓广到行星运动和空气的湍流理论柯尔莫哥洛夫做出重要贡献的湍流1940年代，柯尔莫哥洛夫的兴趣转向应用方面1941年，他发表了湍流方面的两篇具有重要意义的论文，成了湍流理论历史上最重要的贡献之一柯尔莫哥洛夫所得到的一个著名结果是"三分之二律"：在湍流中，距离为r的两点的速度差的平方平均与r2/3成正比这个时期，除了数学，柯尔莫哥洛夫在遗传学、弹道学、气象学、金属结晶学等方面均有重要贡献在1940年发表的一篇论文里，柯尔莫哥洛夫证明了李森科（T. D. Lysenko，1898-1976）的追随者们所收集的材料恰恰是支持孟德尔定律的当时，孟德尔定律在苏联是受批判的，柯尔莫哥洛夫的论文反映了他追求真理的科学精神1950年代，是柯尔莫哥洛夫学术生涯的第三个创造高峰期这个时期的研究领域包括经典力学、遍历理论、函数论、信息论、算法理论等1953和1954年，柯尔莫哥洛夫发表了两篇动力系统及其在哈密顿动力学中的应用方面的论文，标志着KAM（即Kolmogorov-Arnold-Moser）理论的肇始。

1954年，柯尔莫哥洛夫应邀在阿姆斯特丹国际数学家大会上作了"动力系统的一般理论与经典力学"的重要报告后来的研究证明了他深刻的洞察力这个时期，柯尔莫哥洛夫还开始了自动机理论和算法理论的研究他和学生乌斯宾斯基（V. A. Uspenskii）建立了今称"柯尔莫哥洛夫-乌斯宾斯基机"的重要概念他还力排反对意见，支持计算理论的研究许多苏联的计算机科学家都是柯尔莫哥洛夫的学生或学生的学生1950年代中后期，柯尔莫哥洛夫致力于信息论和动力系统遍历论的研究他在动力系统理论中引入了熵的重要概念，开辟了一个广阔的新领域，后来还导致混沌理论的诞生1958-1959年，柯尔莫哥洛夫将遍历理论应用于一类湍流现象，对后来的工作产生了深远影响1957年，柯尔莫哥洛夫和学生阿诺尔德完全解决了希尔伯特第13问题：存在连续的三元函数，不能表成二元连续函数的叠合答案是否定的：任意多个变量的连续函数都可表成单变量连续函数的叠合1960年代以后，柯尔莫哥洛夫又开创了演算信息论（今称"柯尔莫哥洛夫复杂性理论"）和演算概率论这两个数学分支柯尔莫哥洛夫的研究几乎遍及数论之外的一切数学领域1963年，在第比利斯召开的概率统计会议上，美国统计学家沃尔夫维茨（J. Wolfowitz，1910-1981）说：“我来苏联的一个特别的目的是确定柯尔莫哥洛夫到底是一个人呢，还是一个研究机构。

独特的教学研究方式在半个多世纪的漫长学术生涯里，柯尔莫哥洛夫不断提出新问题、构建新思想、创造新方法，在世界数学舞台上保持着历久不衰的。