二次曲线中的万能弦长公式.doc

二次曲线中的万能弦长公式王忠全我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式设直线方程为：y=kx+b(特殊情况要讨论k的存在性)，二次曲线为f(x,y)=0,把直线bcX1+x2=-，xlx2=，12a12aIABl„(x-x》+(y-y)2„(x-x》+(kx+b-kx-b)212121212„(1+k2)(x-x)2„1+k2-(x+x)2-4xx121212„1+k2，|a|同理：若化为关于y的方程ay2+by+c=0,则IABI=1+.k2|a|例、已知过点M(-3,-3)的直线m被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线m的方程解析:设直线方程m:y+3=k(x+3),即y=kx+3k-3,代入x2+y2+4y-21=0,得x2+k2x2+9k2+9+6k2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0,即(1+k2)x2+(6k2-2k)x+9k2-6k-24=0,那么36k4-24k3+4k2-36k4+24k3+60k2-24k+961+k2„45I1+k2I64k2-24k+96即„45，两边平方，得1+k264k2-24k+96„80+80k2，16k2-24k-1616„0，2k2-3k-2„0k„——,k„2,所求直线方程为x+2y+9„0,或2x—y+3„0122当k不存在时，直线m为x=-3,代入x2+y2+4y-21=0,得交点为(-3,2),(-3,-6)|AB|=8€45(不合题意)综上所述：所求直线方程为x,2y,9=0,或2x-y,3=0.x2y2变式：已知过点M(-3,-3)的直线m被椭圆厂+罕=1所截得的弦长为2,求直线m的164方程。

评析：用公式解决弦长问题,计算量大,容易出错,这正是高考考查学生计算能力的一个重要方面,这种“设而不求”的思想,在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。