第三章 一元函数积分学.doc

第三章 一元函数积分学第一节 不定积分1．两个概念: 1）原函数： 2）不定积分：2．基本积分公式：1) 2)3) 4) 5) 6) 3．三种主要积分法 1）第一类换元法（凑微分法） 若2）第二类换元法： 3）分部积分法 “适用两类不同函数相乘”，4．三类常见可积函数积分1）有理函数积分 （1）部分分式法（一般方法）； （2）简单方法（凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分 （1）万能代换（一般方法） 令 （2）简单方法 （三角变形，换元，分部）3) 简单无理函数积分 令 例一 基本题例3.1 解法1 解法2 例3.2 解 例3.3 解法1 令，则 = =解法2 = = =例3.4 解 （令） = 则 例3.5 解法1 原式= = = =原式=解法2 令，则原式= = =例3.6 解法1 原式= = = =解法2 令，则原式= = = =例3.7 解法1 （令）解法2 解法3 例3.8 例3.9 解法1解法2解法3令例3.10 解 令，则原式= = =例3.11 解法1（令） 解法2 例3.12 解 1）若2) 若3）若（令）例3.13 。

解法1令 原式= = =解法2 原式= = =例二 变花样例3.14 若 求解 由知 则 例3.15 若为的一个原函数， 求解 例3.16 设为的原函数，且当时，，已知求.解法1由 由解法2 = = = ，例3.17 设求 解法1 令，则 = =则解法2 由知 = =则 例3.18 求不定积分 解 连续,原函数必连续, 在连续. 令 则故 第二节 定 积 分1定义：2可积性：1）必要条件：有界；2）充分条件:连续或仅有有限个第一类间断点； 3计算： 1） 2）换元法3）分部积分法 4）利用奇偶性，周期性5）利用公式4变上限积分：1) 连续性：设上可积，则在上连续2）可导性：设上连续，则在上可导且变上限求导的三个类型：3）奇偶性：i）若为奇函数，则为偶函数 ii）若为偶函数，则为奇函数。

例1（06年数二）：设是奇函数，除外处处连续，是第一类间断点，则是： .(A)连续的奇函数; (B)在间断的奇函数;(C)连续的偶函数; (D)在间断的偶函数. 例2(01年,数3，4)设其中则在区间（0,2）内 （A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续例3（99年数一至四，05年数一二）． 设是连续函数，是的原函数，则（A） 是奇函数 必是偶函数；（B） 是偶函数 必是奇函数；（C） 是周期函数 必是周期函数；（D） 是单调增函数 必是单调增函数.5性质：1)不等式：i) 若 则 ii) 若在上连续，则 iii) 2)中值定理： i） 若在上连续，则ii） 若在上连续，不变号，则 例（96年数四）设在上连续，在内可导，且。

求证：在内至少存在一点，使例 题例一 基本题例3.19 解 = = = （其中，单位图在第象限面积）例3.20 解法1 原式= = = =.解法2 原式= = =.例3.21 解 = = =例3.22 解 令，则 =例3.23 解 令，则， =.例3.24 设，计算解法1 = =解法2 = =解法3 例3.25 解 令，则 = =.例3.26 ； 解法1，令则，解得 =解法2令，则 = =例3.27 解 = = = =例3.28 已知连续，的值. 解 令得 =从而有令得： 例3.29 设,,求. 解法1 = = = = （令） =.解法2 = =以下同解法1例二 综合题例3.30 求 解 令 则 =原式=例3.31设连续,且,则 . 解 （利用积分中值定理） = =6例3.32 求极限 解法1由于 则 解法2 由积分中值定理得 为无穷小量.介于1与之间为有界量，则例3.33 设函数连续，且，求极限。

解 = （令）原式= = （洛比达法则） = = （积分中值定理） =例3.34 设, 则___ A) 为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数解：由于知，也可由以为周期得则为常数.又 = = =注：说明积分最简单的方法是几何的方法.例3.35 试证:在上最大值不超过.证 令得 ， （）由于在邻近两侧不变号，则不是的极值点，而当时，，当时，，则在取极大值，又因为为在上唯一的极值点，则该极大值为最大值. 原题得证例3.36 设是区间上的单调、可导函数，且满足.其中是的反函数，求.解 等式两端对求导得即 而则例3.37 设函数在内连续，，且对所有满足条件，求 解 等式 两端对求导得令得，上式两端对导得，又，则例3.38 若,求. 解 等式两端同乘并从到积分得 = = =则例3.39 设连续,. 令1) 试证曲线在上是凹的.2) 当为何值时,取得最小值. 3) 若的最小值可表示为,试求. 解1) 证：由于 = = =则曲线在上是凹的2) 令得 （为偶函数）又，则单调增，从而为在上唯一的驻点，又，则在取极小值，由唯一性知，在取最小值.3) 在上最小值为从而有上式两端对求导得，解此一阶线性微分方程得又，则，从而例三 积分不等式证明积分不等式常用的方法：1）变量代换； 2）积分中值定理 ； 3）变上限积分；4）柯希积分不等式； ；例3.40 求证:.证： = （令） =而 = （令）则例3.41 设在上连续,非负，单调减。

求证:证法1 只要证即 由积分中值定理知 由于单调减，则则原题得证证法2 = （令） 由于单调减，，则从而有 即 例3.42 设在上连续，单调增求证:证法1，令只要证明，显然而 = = 则原式得证.证法2 由于在上单调增，则从而有即 又 则 即 例3.43 设在上可导,且.求证:. 证 令只要证，又由，知， =令则单调增，又，则 从而 则单调增，从而，原题得证.例3.44 设在上有连续导数,,求证:证 故 例3.45 设在上有连续导数,且,求证: 证 ;. 第三节 反 常 积 分1)无限区间；（1） . （2） （3） 若和都收敛，则称收敛常用结论： ， 2)无界函数：设为的无界点， =常用结论： 例3.46 计算 解 原式= = =例3.47 计算 解：原式= = = 例3.48 计算 解 原式= = = = 例3.49 求证。